数学试题
（满分：160分 时间：120分钟 命题：彭清峰 审校：李志中）
一.填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案填写在答题卡的相应位置上.
1. 等比数列{an}中，a4＝32，a7＝4，则a11等于 ▲ .
2. 已知锐角△ABC的面积为，BC＝4，CA＝1，则角C的大小等于 ▲ .
3. 已知{an}为等差数列，a4＝16，S3＝30，则公差d等于 ▲ .
4. 若不等式的解集是(-1,2)，则a的值是 ▲ .
5. 点P(2,-1)和点Q(-3,2)在直线x-y+m=0的两侧，则m的取值范围是 ▲ .
6. 已知集合，若,，
则的值为 ▲ .
7. 在正项等比数列{an}中，an＋1>an，a3·a7＝6，a4＋a6＝5，则等于 ▲ .
8. 记等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3，S6＝18，则S9等于 ▲ .
9. 设变量x，y满足约束条件，目标函数仅在点(1,1)处取得最大值，则k的取值范围是 ▲ .
10. 如图，在100 m高的山顶A处，测得山下一塔顶C与塔底D的俯角分别
是30°，60°，则塔高为 ▲ m.
11. 若函数的值域是，则实数a的取值范围是 ▲ .
12. 如图，将全体正整数排成一个三角形数阵：
按照以上排列的规律，第20行从左向右的第6个数为 ▲ ．
13. 等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11>0，S12<0，则数列中最大项是第 ▲ 项.
14. 等比数列{an}的公比为q，其前n项的积为Tn，并且满足条件：
0 ①0＜q＜1； ②0 ④使Tn>1成立的最小自然数n等于100. 其中正确的结论是 ▲ . 二.解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （本题14分）在等比数列{an}中，an>0，且a2+a4=5，又a2与a4的等比中项为2. （1）求数列{an}的通项公式； （2）若公比q>1，设bn=2log2an+3，记，求Tn. 16. （本题14分） 已知函数f(x)=x2+x-a2-a， （1）解关于x的不等式f(x)>0； （2）若方程f(x)=0的一个根比-1小，另一个根比1大，求a的取值范围. 17.（本题14分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c. (1)若acosC-b= acosB-c，判断△ABC的形状； (2) 若cosA是关于x的方程4x2+3x-1=0的根，当c＝3,2sinC＝sinB时，求b及a的长． 18.（本题16分）如图，A,B是海面上两个观测点，B位于A正南方向且与A相距20(3＋)海里.现位于A点南偏东45°，B点北偏东30°的C点有一艘轮船发出求救信号，位于B点北偏西30°且与B点相距20海里的D点的救援船立即前往营救，其航行速度为20海里/时，该救援船应该沿什么方向航行，到达C点需要多长时间？ 19. （本题16分）已知数列{an}的前n项和Sn满足mSn+2= Sn+1，且a1=2，a2=1，等差数列{bn}满足b1=a2，b2a4=1， （1）求m的值和数列{an}的通项公式； （2）若数列{cn }满足cn=anbn，前n项和为Tn，证明：Tn<4. 20. （本题16分）已知数列{an}中，，， （1）若数列{bn}满足，求证：数列{bn}是等差数列； （2）求数列{an}的通项公式，并求数列的最大项和最小项； （3）若整数m，n满足：1≤m≤4 数学试题答案及评分参考： 一、填空题 1. 1/4; 2. 60o 3. 3 4. -1 5. (-3,5) 6. -13 7. 2/3 8. 45 9. k>2 10. 200/3 11. a≥4 12. 196 13. 6 14.②③④ 二、解答题 15. 解：（1） ∵a2与a4的等比中项为2，∴a3=2 ……………………2分 ∵a2+a4=5 ∴2q2-5q+2=0 ∴q=1/2或q=2 ……………………4分 ∴an=24-n或an=2n-2; ……………………7分 （2）公比q>1，则an=2n-2; ∴bn=2n-1 ……………………10分 ∵ ……………………12分 ∴…………14分 16. 解：（1）由f(x)>0得，(x-a)(x+a+1)>0 ……………………1分 当a>-a-1,即时，不等式的解集为（-∞,-a-1）∪（a,+∞） 当a<-a-1,即时，不等式的解集为（-∞,a）∪（-a-1,+∞） 当a=-a-1,即时，不等式的解集为（-∞,）∪（,+∞）…………………7分 （2）函数f(x)=x2+x-a2-a的图象是开口向上， ∵方程f(x)=0的一个根比-1小，另一个根比1大， ∴f(-1)<0，且f(1)<0， …………………11分 ∴ 则a的取值范围（-∞,-2）∪（1,+∞） …………………14分 17：解：（1）由正弦定理得sinAcosC-sinB=sinAcosB-sinC, sinAcosC- sinAcosC-cosAsinC= sinAcosB- sinAcosB- cosAsinB …………3分 cosAsinC-cosA=0 ∴cosA=0或sinC=sinB …………………5分 ∵A,B,C∈（0，π），∴A=π/2,或C=B; ∴△ABC是直角三角形或等腰三角形。 …………………8分 (2) ∵cosA是关于x的方程4x2+3x-1=0的根， 解方程得x=1/4，x=-1（舍去） …………………10分 ∴cosA=1/4， ∵c＝3,2sinC＝sinB ∴b=2c=6 …………………12分 ∵a2=b2+c2-2bccosA=36 ∴a=6 …………………14分 18.解：由题意，在△ABC中，AB=20(3＋)，∠BAC=45o，∠ABC=30o， 则∠BCA=105o， …………………2分 由正弦定理得，BC= …………………6分 在△DBC中，∠DBC=60o，BD= 由余弦定理得DC2=3600 ∴DC=60 …………………9分 则t=60/20=3小时 …………………11分 又∵DC2+DB2=BC2 ∴∠BDC=90O, 又B在D的南偏东30o，则DC的方向是北偏东600， ……………14分 答：该救援船应沿着北偏东600方向航行，到达C点需要3小时. ……………16分 19.解：（1）当n=1时，有2m+2=3,则； ……………2分 当n≥2时， Sn+2= Sn+1， Sn-1+2= Sn， ∴an=an+1， ……………5分 上式对n=1也成立， ……………6分 ∴数列{an}是以2为首项，为公比的等比数列； ∴ ……………8分 （2）∵等差数列{bn}满足b1=a2=1，b2=4，则公差d=3, ∴bn=1+3(n-1)=3n-2， ……………10分 ∴cn=， ……………12分 ∴ 相减得 ∴<4. ……………16分 20.解：（1）∵ ∴数列{bn}是等差数列； ……………3分 （2）∵数列{bn}是等差数列,b1=，公差d=1, ∴bn= ……………5分 ∵ ∴ ……………8分 根据函数单调性可知： 当0 则当1≤n≤4时，数列{an}单调递减，且； 当n≥5时，数列{an}单调递减，且 故，最大项为a5=3，最小项为a4=-1. ……………13分 （3）由（2）知，解得 所以，存在整数k=1满足条件. ……………16分下载本文
