1.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)= -f(x) ,则f(6)的值为( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
【答案】 B
【解析】 ∵f(x+2)=-f(x),
∴f(6)=f(4+2)=-f(4)=f(2)= -f(0) .
又f(x)为R上的奇函数,∴f(0)=0.
∴f(6)=0.
2.函数sinR),若f(a)=2,则f(-a)的值为( )
A.3 B.0 C.-1 D.-2
【答案】 B
【解析】 设sinx,很明显g(x)是一个奇函数.
∴f(x)=g(x)+1.
∵f(a)=g(a)+1=2,
∴g(a)=1.
∴g(-a)=-1.∴f(-a)=g(-a)+1=-1+1=0.
3.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并满足f(x+2)= 当时,f(x)=x-2,则f(6.5)等于…… ( )
A.4.5 B.-4.5 C.0.5 D.-0.5
【答案】 D
【解析】 由f(x得f(x那么f(x)的周期是4,得f(6.5)=f(2.5).
因为f(x)是偶函数,得f(2.5)=f(-2.5)=f(1.5),
而时,f(x)=x-2,
所以f(1.5)=-0.5.
综上,知f(6.5)=-0.5.
4.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)= 1- 则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】 当x>0时故此时 f(x)<的解集为 .
当x<0时,-x>0,∴f(.
又∵f(x)为R上的奇函数,
∴f(-x)=-f(x).
∴.∴.
∴即.
∴x<-1.
∴不等式的解集是.
5.设g(x)是定义在R上、以1为周期的函数.若函数f(x)=x+g(x)在区间[0,1]上的值域为[-2,5],则f(x)在区间[0,3]上的值域为 .
【答案】 [-2,7]
1.对于定义在R上的任一奇函数f(x),均有( )
A.f(x B.
C.f(x)f(-x)>0 D.f(x)-f(-x)>0
【答案】 A
【解析】 ∵f(-x)=-f(x),
∴f(x)f(.
2.(2012山东济南月考)已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( )
①y=f(|x|);②y=f(-x);③y=xf(x);④y=f(x)+x.
A.①③ B.②③ C.①④ D.②④
【答案】 D
【解析】 由奇函数的定义验证可知②④正确.
3.在R上定义的函数f(x)是偶函数,且f(x)=f(2-x),若f(x)在区间[1,2]上是减函数,则f(x)( )
A.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是增函数
B.在区间[-2,-1]上是增函数,在区间[3,4]上是减函数
C.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是增函数
D.在区间[-2,-1]上是减函数,在区间[3,4]上是减函数
【答案】 B
【解析】 由f(x)=f(2-x)知函数f(x)的图象关于直线x=1对称,作出函数的简图如下.
4.f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数,且f(2)=0,则方程f(x)=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是 ( )
A.2 B.3
C.4 D.7
【答案】 D
【解析】 ∵f(x)是定义在R上以3为周期的奇函数,
∴f(5)=f(2)=0,f(-1)=f(2)=0,
则-f(1)=0,即f(1)=0;f(4)=f(1)=0.
又f(0)=0,∴f(3)=f(0)=0,f(1.5)=f(-1.5)=-f(1.5).
∴f(1.5)=0,则f(4.5)=f(1.5)=0,因此在区间(0,6)上,f(1)=f(1.5)=f(2)=f(3)=f(4)=f(4.5)= f(5)= 0,解的个数的最小值为7.
5.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )
A.f(-25) 【解析】 ∵f(x-4)=-f(x),∴T=8. 又f(x)是奇函数,∴f(0)=0. ∵f(x)在[0,2]上是增函数,且f(x)>0, ∴f(x)在[-2,0]上也是增函数,且f(x)<0. 又时,f(x)=-f(x-4)>0,且f(x)为减 函数 , 同理f(x)在[4,6]上为减函数且f(x)<0.如图. ∵f(-25)=f(-1)<0,f(11)=f(3)>0,f(80)= f(0) =0, ∴f(-25) A.f(-1)>f(2) B.f(-1) 【答案】 A 【解析】 由y=f(x+1)是偶函数,得到y=f(x)的图象关于直线x=1对称,∴f(-1)=f(3). 又f(x)在上为单调增函数, ∴f(3)>f(2),即f(-1)>f(2). 7.已知函数3是偶函数,则m= . 【答案】 -2 【解析】 本题考查了函数的奇偶性.f(x)为偶函数,则m+2=0 ,m=-2. 8.函数f(x)在R上为奇函数,且x>0时则当x<0时,f(x)= . 【答案】 【解析】 ∵f(x)为奇函数,x>0时 ∴当x<0时,-x>0, f(x)=-f(-x 即x<0时. 9.若函数f(x)=log是奇函数,则a= . 【答案】 【解析】 ∵f(x)是奇函数,∴f(0)=0,即log|a|)=0. 则|a|=1,且因此. 10.已知f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数,若F(x)= af(x)+ (x)+2,且F(-2)=5,则F(2)= . 【答案】 -1 【解析】 ∵f(x)与g(x)都是定义在R上的奇函数, ∴f(-x)=-f(x),g(-x)=-g(x). ∴F(2)+F(-2)=af(2)+(2)+2+af(-2)+ (-2)+ 2=af(2)+(2)+2-af(2)-(2)+2=4. 又F(-2)=5,∴F(2)=4-F(-2)=4-5=-1. 11.已知函数f(x)=是奇函数. (1)求实数m的值; (2)若函数f(x)在区间[-1,a-2]上单调递增,求实数a的取值范围. 【解】 (1)设x<0,则-x>0, 所以f(-x)=. 又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x). 于是x<0时 所以m=2. (2)要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增, 结合f(x)的图象知 所以故实数a的取值范围是(1,3]. 12.已知函数. (1)判断f(x)的奇偶性,并说明理由; (2)若f(1)=2,试判断f(x)在上的单调性. 【解】 (1)当a=0时x),函数f(x)是偶函数. 当时常数R), 取得f(-1); f(-1)-f ∴. ∴函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数. (2)若f(1)=2,即1+a=2,解得a=1,这时. 任取且. 则 . 由于且 ∴. ∴. 故f(x)在上是单调递增函数. 13.函数是定义在(-1,1)上的奇函数,且. (1)确定函数f(x)的解析式; (2)用定义证明f(x)在(-1,1)上是增函数; (3)解不等式f(t-1)+f(t)<0. 【解】 (1)依题意得 即 ∴. (2)证明:任取 . ∵ ∴. 又 ∴. ∴. ∴f(x)在(-1,1)上是增函数. (3)f(t-1)<-f(t)=f(-t). ∵f(x)在(-1,1)上是增函数, ∴-1 14.若定义在R上的函数f(x)对任意的R,都有 成立,且当x>0时, f(x)>1. (1)求证:g(x)=f(x)-1为奇函数; (2)求证:f(x)是R上的增函数; (3)若f(4)=5,解不等式. 【解】 (1)证明:定义在R上的函数f(x)对任意的R,都有成立, 令则f(0+0)=f(0) f(0)= 1. 令 则f(x-x)=f(x)+f(-x)-1, ∴[f(x)-1]+[f(-x)-1]=0. ∴g(x)=f(x)-1为奇函数. (2)证明:由(1)知,g(x)=f(x)-1为奇函数, ∴f(-x)-1=-[f(x)-1]. 任取R,且则 ∵ ∴ . ∵当x>0时,f(x)>1, ∴. ∴. ∴f(x)是R上的增函数. (3)∵且f(4)=5, ∴f(4)=f(2). 由不等式得 f(2), 由(2)知,f(x)是R上的增函数, ∴.∴. ∴. ∴不等式的解集为. 下载本文
