11．2 与三角形有关的角
11．2.1 三角形的内角
【出示目标】
1．会阐述三角形内角和定理．
2．会应用三角形内角和定理进行计算(求三角形的角的度数)．
3．能通过动手实践去验证三角形的内角和定理．
【预习导学】
自学指导：阅读教材第P11—14，回答下列问题
1．三角形的内角和等于__180°__.
2．在△ABC中，∠A＝80°，∠B＝∠C，则∠C＝__50°__.
3．已知三角形三个内角的度数之比为1∶3∶5，则这三个内角的度数分别为__20°、60°、100°__.
4．若△ABC中，∠A＝40°，∠B＝50°，则△ABC为__直角__三角形．
【自学反馈】
1．△ABC中，若∠A＋∠B＝∠C，则△ABC是( B )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
【教师点拨】利用三角形的内角和是180°，即∠A＋∠B＋∠C＝180°，又因为∠A＋∠B＝∠C，等量代换得到2∠C＝180°，从而得出∠C＝90°，所以选B.
2．一个三角形至少有( B )
A．一个锐角 B．两个锐角
C．一个钝角 D．一个直角
【教师点拨】用假设进行反证，与三角形的内角和定理相矛盾的选项排除，剩下正确答案．
3．如图，某同学把一块三角形的玻璃打碎成三片，现在他要到玻璃店去配一块形状完全一样的玻璃，那么最省事的办法是( C )
A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．带①和②去
【教师点拨】延长第③块中的三角形的两个内角边长，使其相交，就可以确定原三角形的形状．
【合作探究】
活动1 揭示三角形的内角和
1．幻灯片出示：解释“什么是三角形的内角”，并通过“内角三兄弟之争”的数学故事引出本节内容．
数学故事：在一个直角三角形里住着三个内角，平时，它们三兄弟非常团结．可是有一天，老二突然不高兴，发起脾气来，它指着老大说：“你凭什么度数最大，我也要和你一样大！”“不行啊！”老大说：“这是不可能的，否则，我们这个家就再也围不起来了……”“为什么？”老二很纳闷．同学们，你们知道其中的道理吗？
2．利用三角板的三个角之和为多少度来探索三角形的内角和．
30°＋60°＋90°＝180°，45°＋45°＋90°＝180°
想一想：任意三角形的三个内角之和也为180度吗？
活动2 探索并证明三角形的内角和定理
做一做
1．在所准备的三角形硬纸片上标出三个内角的编码．
2．让学生动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
3．剪下∠A，按图2拼在一起，从而还可得到∠A＋∠B＋∠ACB＝180°.
,图1 图2)
图3
4．把∠B和∠C剪下按图3拼在一起，用量角器量一量∠MAN的度数，会得到什么结果．
想一想
如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢？
已知△ABC，说明∠A＋∠B＋∠C＝180°，你有几种方法？结合图1、图2、图3说明这个结论成立(幻灯片出示证明过程)
活动3 跟踪训练
(1)在△ABC中，∠A＝35°，∠B＝43°则∠C＝__102°__.
(2)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4则∠A＝__40°__，∠B＝__60°__，∠C＝__80°__.
(3)一个三角形中最多有n个直角？__1个__
(4)一个三角形中最多有n个钝角？__1个__
(5)一个三角形中至少有n个锐角？__2个__
(6)任意一个三角形中，最大的一个角的度数至少为__60°__.
活动4 例题解析
如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
(幻灯片出示解题过程)
活动5 拓展与思考
1．甲楼高16米，乙楼座落在甲楼的正北面，已知当地冬至中午12点，太阳光线与水平面夹角为45°，如果甲楼的影子刚好不落在乙楼上，那么两楼的距离应是多少？
解：由题意知
∠ABC＝90°，∠ACB＝45°.
∴∠BAC＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－90°－45°＝45°.∴BC＝AB＝16.
答：两楼的距离是16米．
2．在△ABC中，如果∠A＝∠B＝∠C，那么△ABC是什么三角形？
解：设∠A＝x，那么∠B＝2x，∠C＝3x.
根据题意得：x＋2x＋3x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形．
活动6 课堂小结
【随堂训练】
教学至此，敬请使用学案随堂训练部分
11．2.2 三角形的外角
【出示目标】
1．在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质．
2．利用学过的定理论证这些性质．
3．能利用三角形的外角性质解决与外角有关的实际问题．
【预习导学】
自学指导：阅读教材P14—15，回答下列问题：
1．如图1，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做__三角形的外角__．
如图2，一个三角形有6个外角．每个顶点处有2个外角．
,图1) ,图2)
2.如图1，△ABC中，∠A＝80°，∠B＝40°，∠ACD是△ABC的一个外角，则∠ACD＝__120°__.试猜想∠ACD与∠A，∠B的关系是__∠A＋∠B＝∠ACD__.
3．试结合图形写出证明过程：
证明：过点C作CM∥AB，延长BC到D.
则∠1＝∠A(两直线平行，内错角相等)，
∠2＝∠B(两直线平行，同位角相等)，
所以∠1＋∠2＝∠A＋∠B.
即__∠ACD__＝∠A＋∠B.
一般地，有下面的结论：
三角形的外角等于与它不相邻的__两个内角的和__．
【自学反馈】
1．判断下列∠1是哪个三角形的外角：
解：(1)∠ACB (2)∠ADB (3)∠ACB (4)∠AEC
,第1题图) ,第2题图)
2．求下列各图中∠1的度数．
解：(1)75° (2)95° (3)170° (4)115°
【合作探究】
活动1 我思考，我发现(有勇气就会创造奇迹！)
1．定义：三角形__一边__与另一边的__延长线__组成的角，叫做三角形的外角．
,第1题图) ,第2题图)
2．画△ABC，你能画出所有的外角来吗？动手试一试，同时想一想，△ABC的外角共有几个呢？
解：6个．
活动2 三角形外角的性质
(1)看一看：图中哪些角是三角形的内角，哪些角是三角形的外角？
解：∠A、∠B、∠ACB是三角形的内角，∠ACD是三角形的外角．
(2)算一算：若∠A＝70°，∠B＝60°，你能求出∠ACD吗？如果能，∠ACD与∠A，∠B有什么关系？
解：∠ACD＝130°，∠ACD＝∠A＋∠B.
(3)想一想：任何三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
解：有．
(4)证一证：证明你的猜想∠ACD＝∠A＋∠B.
解：因为∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∠ACD＋∠ACB＝180°，
所以∠ACD＝∠A＋∠B.
结论：
三角形的外角等于__与它不相邻的__两个内角之和．
活动3 三角形的外角和定理
1．如图，∠1＋∠2＋∠3＝？
解：∠1＋∠BAC＝180°，
∠2＋∠ABC＝180°，
∠3＋∠ACB＝180°，
三个式子相加得到：
∠1＋∠2＋∠3＋∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝540°.
而∠BAC＋∠ABC＋∠ACB＝180°，
所以∠1＋∠2＋∠3＝360°.
2．结论：三角形的外角和是__360°__.
活动4 快乐之旅(闯关我们最棒！)
教师利用央视李勇主持的《非常6＋1》的创意进行出题，提升学生学习兴趣．
1．求下列各图中∠1的度数．
∠1＝90° ∠1＝80° ∠1＝95°
2．求下列各图中∠1和∠2的度数．
解：(1)∠1＝60°，∠2＝30° (2)∠1＝50°，∠2＝140°
3．已知三角形各外角的比为2∶3∶4，求则它的每个外角的度数．
解：设三个外角度数分别为：2x、3x、4x，由三角形外角和为360°得
2x＋3x＋4x＝360° 解得x＝40°
所以三个外角度数分别为80°，120°，160°.
4．如图，AB∥CD，∠A＝40°，∠D＝45°，求∠2和∠3.
解：∠2＝40°，∠3＝85°.
活动5 课堂小结
三角形外角的性质
1．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
2．三角形的外角和是360°.
【随堂训练】
教学至此，敬请使用学案随堂训练部分下载本文
