第1讲　坐标系

【2015年高考会这样考】

考查极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题．

【复习指导】

复习本讲时，要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点，这样就可以把极坐标问题转化为直角坐标问题解决，同时复习以基础知识、基本方法为主.   

基础梳理

1．极坐标系的概念

在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

2．直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则或

3．直线的极坐标方程

若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)．

几个特殊位置的直线的极坐标方程

(1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；

(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；

(3)直线过M且平行于极轴：ρsin θ＝b.

4．圆的极坐标方程

若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆方程为

ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ－r2＝0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程

(1)当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r；

(2)当圆心位于M(a,0)，半径为a：ρ＝2acos_θ；

(3)当圆心位于M，半径为a：ρ＝2asin_θ.

双基自测

1．点P的直角坐标为(－，)，那么它的极坐标可表示为________．

解析　直接利用极坐标与直角坐标的互化公式．

答案　

2．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________．

解析　∵ρ＝2sin θ＋4cos θ，∴ρ2＝2ρsin θ＋4ρcos θ.

∴x2＋y2＝2y＋4x，即x2＋y2－2y－4x＝0.

答案　x2＋y2－4x－2y＝0

3．(2011·西安五校一模)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________．

 解析　ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，ρcos θ＝－1的直角坐标方程为x＝－1，联立方程，得解得即两曲线的交点为(－1,1)，又0≤θ＜2π，因此这两条曲线的交点的极坐标为.

答案　

4．在极坐标系中，直线l的方程为ρsin θ＝3，则点到直线l的距离为________．

解析　∵直线l的极坐标方程可化为y＝3，点化为直角坐标为(，1)，

∴点到直线l的距离为2.

答案　2

5．(2011·广州调研)在极坐标系中，直线ρsin＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________．

解析　由ρsin＝2，得(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x＋y－2＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得：2＝2＝4.

答案　4

考向一　极坐标和直角坐标的互化

【例1】►(2011·广州测试(二))设点A的极坐标为，直线l过点A且与极轴所成的角为，则直线l的极坐标方程为________________．

[审题视点] 先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程．

解析　∵点A的极坐标为，∴点A的平面直角坐标为(，1)，又∵直线l过点A且与极轴所成的角为，∴直线l的方程为y－1＝(x－)tan，即x－y－2＝0，∴直线l的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ－2＝0，可整理为ρcos＝1或ρsin＝1或ρsin＝1.

答案　ρcos＝1或ρcos θ－ρsin θ－2＝0或ρsin＝1或ρsin＝1.

 (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一．

(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围．要注意转化的等价性．

【训练1】 (2011·佛山检测)在平面直角坐标系xOy中，点P的直角坐标为(1，－)．若以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P的极坐标可以是________．

解析　由极坐标与直角坐标的互化公式ρcos θ＝x，ρsin θ＝y可得，ρcos θ＝1,

 ρsin θ＝－，解得ρ＝2，θ＝2kπ－(k∈Z)，故点P的极坐标为(k∈Z)．

答案　(k∈Z)

考向二　圆的极坐标方程的应用

【例2】►(2011·广州测试)在极坐标系中，若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线ρ＝4cos θ于A、B两点，则|AB|＝________.

[审题视点] 先将直线与曲线的极坐标方程化为普通方程，再利用圆的知识求|AB|.

解析　注意到在极坐标系中，过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是x＝1，曲线ρ＝4cos θ的直角坐标方程是x2＋y2＝4x，即(x－2)2＋y2＝4，圆心(2,0)到直线x＝1的距离等于1，因此|AB|＝2＝2.

答案　2

 解决此类问题的关键还是将极坐标方程化为直角坐标方程．

【训练2】 (2011·深圳调研)在极坐标系中，P，Q是曲线C：ρ＝4sin θ上任意两点，则线段PQ长度的最大值为________．

解析　由曲线C：ρ＝4sin θ，得ρ2＝4ρsin θ，x2＋y2－4y＝0，x2＋(y－2)2＝4，即曲线C：ρ＝4sin θ在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以2为半径的圆，易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长，因此线段PQ长度的最大值是4.

答案　4

考向三　极坐标方程的综合应用

【例3】►如图，在圆心的极坐标为A(4,0)，半径为4的圆中，求过极点O的弦的中点的轨迹．

[审题视点] 在圆上任取一点P(ρ0，θ0)，建立P点与P的中点M的关系即可．

解　设M(ρ，θ)是所求轨迹上任意一点．连接OM并延长交圆A于点P(ρ0，θ0)，则有θ0＝θ，ρ0＝2ρ.由圆心为(4,0)，半径为4的圆的极坐标方程为ρ＝8cos θ，得ρ0＝8cos θ0.所以2ρ＝8cos θ，即ρ＝4cos θ.故所求轨迹方程是ρ＝4cos θ.它表示以(2,0)为圆心，2为半径的圆．

 求轨迹的方法与普通方程的方法相同，但本部分只要求简单的轨迹求法．

【训练3】 从极点O作直线与另一直线ρcos θ＝4相交于点M，在OM上取一点P，使|OM|·|OP|＝12，求点P的轨迹方程．

解　设动点P的坐标为(ρ，θ)，则M(ρ0，θ)．

∵|OM|·|OP|＝12.∵ρ0ρ＝12.ρ0＝.

又M在直线ρcos θ＝4上，∴ cos θ＝4，∴ρ＝3cos θ.这就是点P的轨迹方程．

高考中极坐标问题的求解策略

从近两年新课标高考试题可以看出，高考对该部分重点考查极坐标与直角坐标的互化以及圆的极坐标问题，但各省市的要求不尽相同．

【示例1】► (2011·安徽)在极坐标系中，点到圆ρ＝2cos θ的圆心的距离为

(　　)．

A．2      B.      C.      D. 

【示例2】► (2010·广东)在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，曲线ρ(cos θ＋sin θ) ＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标为________．下载本文