题目  故事中的数学

论文摘要：小时侯，我们每个人都是听着长辈们所讲的故事长大的。聆听着这些故事，我们渐渐地成长起来，也渐渐地把它们淡忘了。但是，这些故事毕竟曾经带领幼小的我们认识了这个世界，甚至是第一次感受了这个世界。也许你会说，我长大了，那些故事太幼稚。真的是这样吗？在这篇论文中，我就是从现在还依稀记得的故事入手，带领大家走进奇妙的数学世界。

          本论文主要分为三大部分。

      1、讲述一个富有趣味的故事。由于该故事的版本非常多，让我不禁产生了疑问：这个故事是不是有无穷种呢？然而，通过更多的实验，我发现结果并不是这样的，这又是为什么呢？

      2、通过分析，列出方程，由于这类方程是第一次遇到，求方程的解更是难上加难，于是决心通过查阅资料，自己解决困难。

      3、明确问题的结论。叙述通过这次论文的撰写，自己的内心感受。

关键词：故事    数学    生活

故事中的数学

一、有趣的故事（问题的提出）

你看过“聪明的邻居”这个看似简单，其实蕴涵深刻道理的故事吗？这个故事是在阿拉伯民间开始流传的。后来，它传到了世界各国，一次又一次地被编到各种读物中。看过这个故事的人们，无不赞叹邻居的机智聪颖和解决问题的巧妙程度，他带给人们一种“魔幻”的震撼力。

故事是这样的：从前有个农民，他有17只羊。临终前，他嘱咐把羊分给3个儿子。他说，大儿子分一半，二儿子分1/3，小儿子分1/9，但是不许把羊杀死或卖掉。3个儿子没有办法分，就去请教邻居。聪明的邻居带了1只羊来给他们，羊就有18只了。于是，大儿子分1/2，得9只；二儿子分1/3，得6只；小儿子分1/9，得2只。3个人共分去17只。剩下的1只，由邻居带了回去。

听完了这个故事，你有什么想法？是不是觉得很凑巧？那么，到底有没有不这么凑巧的情况呢？我们接着研究……

二、模仿原故事（分析与假设）

    现在，让我们来改动一下这个故事里的数字，看看结果是怎样的呢？

    假设农民还有17只羊，还是分给3个儿子，还是大儿子分1/2，二儿子分1/3。但是，小

儿子不是分1/9，而是分1/6。要是这时邻居牵了一只羊送去，结果：大儿子得9只，二儿子

得6只，小儿子得3只。18只羊都分光了，邻居则损失了1只羊。

    再假设农民对17只羊的分配方案是：大儿子1/3，二儿子1/6，小儿子1/9。要是这时邻

居送1只羊去，大儿子分得6只，二儿子分得3只，小儿子分得2只。这时，18只羊还剩下

7只，邻居不可能把它们都拿走吧？！

 想要充当故事里聪明的角色并不是那么容易的，需要弄清里面的道理，才能避免失败。

要是你忘记了农民有多少只羊，也记不清分配方案，又想向别人讲这个故事，应该怎样把忘

记的数字找回来呢？我们接着研究……

三、列方程求解（建立模型）

1、农民有n只羊。其中，n是一个未知的正整数。

2、农民要求大儿子分1/x，二儿子分1/y，小儿子分1/z。其中，x、y、z也是3个未知的正

整数。

在这3个未知数中，1＞1/x＞1/y＞1/z

            所以，1＜x＜y＜z

3、牵来一只羊后，羊就能够分配了。这就是说，x、y、z都能整除（n+1）。

4、3个儿子分过之后，还剩下1只羊。

    根据以上这些条件，我们来建立方程——

大儿子分到的羊数：（n+1）/x

二儿子分到的羊数：（n+1）/y

小儿子分到的羊数：（n+1）/z

            方程：（n+1）/x+（n+1）/y+（n+1）/z=n

两边除以（n+1），得：1/x+1/y+1/z=n/（n+1）=1-1/（n+1）

          移项，得：1/x+1/y+1/z+1/（n+1）=1

设n+1=w，得：1/x+1/y+1/z+1/w=1

方程得到了，那么这个不定方程需满足哪些条件呢？

1、x、y、z、w必须是正整数

2、x、y、z能整除w

3、1＜x＜y＜z＜w

这样的方程能解吗？我们接着研究……

四、想办法解方程（模型的解）

解法一：∵x＜y＜z＜w   又∵1/x+1/y+1/z+1/w=1

        ∴1/x+1/x+1/x+1/x＞1/x+1/y+1/z+1/w=1

  ∴4/x＞1 即x＜4

因为x不能等于1，而且x是正整数，所以x等于2或3。在故事中，大儿子必须分到1/2或1/3。

        设x=2，代入1/x+1/y+1/z+1/w=1

               得1/y+1/z+1/w=1/2

        ∵y＜z＜w      又∵1/y+1/z+1/w=1/2

        ∴1/y＜1/2，3/y＞1/2

        ∴2＜y＜6 即y=3、4、5

在故事中，当大儿子分1/2时，二儿子只能分1/3、1/4、1/5。

    设x=3，得1/y+1/z+1/w=2/3

    同理得，3/2＜y＜9/2 即y=2、3、4

    若y=2、3，就小于或等于x了，所以y=4

在故事中，当大儿子分1/3时，二儿子只能分1/4。

按照这种方法，我们可以把各种可能的分配方案都找出来。

  z=7     z=8    z=9    z=10    z=11    z=12

 w=42   w=24   w=18   w=15   w=66/5  w=12

                 z=5    z=6     z=7      z=8

                w=20   w=12   w=28/3   w=8

y=3           y=4

z=7、8、9、    z=5、6、

10、11、12      7、8

  x=2                            x=3

y=3、4                           y=4

             树1＜x＜4根

1/x+1/y+1/z+1/w=1

             （x＜y＜z＜w）

解法二：

五、故事的七种（结论）

论文从一个故事引出了一个不定方程，讨论了不定方程的解法。一是从未知数的范围入手；二是建立一个树的模型，从中直观地看出方程的解，简单而又方便。为今后的数学学习提供了基础。

七、写作感受

小时侯，长辈们经常给我讲许多像这样的故事。当时的我只是觉得有趣，长大后，通过书本上数学知识的学习，就可以自己揭开一些谜团。这时，我才深刻地体会到，课本上的知识对我们解决实际问题起着相当重要的作用。这些知识可以使我们在思考问题时，从多个角度，运用多种方法，更全面地认识问题。通过这次撰写论文，使我对数学知识应用有了更深一层的认识。这是一个充满智慧与探索的领域，同样也充满了挑战。在亲身实践的过程中，培养了自己严谨的科学态度，勤奋追求、勇于创新的精神。虽然论文中的某些内容不尽完善，但它是心血的结晶。这次研究，提高了自己的学习能力，增强了自己运用数学的意识，积累了学习数学的方法，而且体会到了数学与人类生活的密切联系。学会用数学知识解决问题，可以帮助我们更好地认识自然和人类社会，更好地适应日常生活，理解周围世界，可以促进我们有条理地思考，有效地进行表达和交流。我一直坚信，结果并不重要，最重要的是自己在这个过程中所体会到的艰辛与快乐，所经历过的失败与成功。

参考文献：《数学之眼看世界》    主编：唐安华

         《帮你学数学》        主编：张景中下载本文