年12月
年-2022年学年第一学期期末试卷
一、（6分，A班不做）设x1，x2。，xn是来自正态总体N( , 2)的样本，令
，
试证明T服从t-分布t（2）
二、（6分，B班不做）统计量F-F(n,m)分布，证明
的 （0 1）的分位点x 是
。
三、（8分）设总体X的密度函数为
其他
其中
，是位置参数。x1，x2。，xn是来自总体
的简单样本，
试求参数 的矩估计和极大似然估计。
四、（12分）设总体X的密度函数为
，x
，
其它
其中
已知， 0,
是未知参数。x1，x2。，xn是来自总
体X的简单样本。
（1）试求参数 的一致最小方差无偏估计 ； （2） 是否为 的有效估计？证明你的结论。
五、（6分，A班不做）设x1，x2。，xn是来自正态总体N( 简单样本，y1，y2。，yn是来自正态总体N( 两样本相互，其中 设
的
的简单样本，且
是未知参数，
。为检验假
可令zi xi yi, i 1,2,...,n , 1 2 ,
则上述假设检验问题等价于H0: 1 0, H1: 1 0,这样双样本检验问题就变为单检验问题。基于变换后样本z1，z2。，zn，在显著性水平 下，试构造检验上述问题的t-检验统计量及相应的拒绝域。
六、（6分，B班不做）设x1，x2。，xn是来自正态总体N( 简单样本， 0已知， 2未知，试求假设检验问题
的
的水平为 的UMPT。
七、（6分）根据大作业情况，试简述你在应用线性回归分析解决实际问题时应该注意哪些方面？
八、（6分）设方差分析模型为
服从正态总体分布N(0, )且 ij相互
和 满足
总离差平方和
中SA q (xi x),x
且E(SE)=(p-1)(q-1) .
的拒绝
试求E(SA)，并根据直观分析给出检验假设H0: 1 2域形式。
九、（8分）某个四因素二水平试验，除考察因子A、B、C、D外，还需考察A B，B C。今选用表L
，表头设计及试验数据如表所
示。试用极差分析指出因子的主次顺序和较优工艺条件。
十、（8分）对某中学初中12岁的女生进行体检，测量四个变量，身高x1，体重x2，胸围x3，坐高x4。现测得58个女生，得样本数据（略），经计算指标X
的协方差阵V的极大似然估计为
， 3 3.38， 4 1.00。 且其特征根为 1 50.46，
（1）试根据主成分85%的选择标准，应选取几个主要成分？ （2）试求第一主成分。
年级硕士研究生《应用数理统计》试题
一、 选择题（每小题3分，共12分）
统计量T~t（n）分布，则统计量T2的α（0α1）分位点xα （P{T2≤xα}=α）是（ ）
设随机变量X～N(0，1)，Y～N(0，1)，则（ ）
分布 B.X2+Y2都服从
服从
分布
和Y2-分布 D. X2/Y2服从F-分布
某四因素二水平实验，选择正交表L8(27)，已填好A，B，C三个因子，分别在第一，第四，第七列，若要避免“混杂”，应安排因子D在第（ ）列.A.5 B.2 C.3 D.6
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
假设总体X服从两点分布，分布率为P{X=x}=p x(1-p)1-x，其中x=0或1，p为未知参数，X1,X2, ，Xn是来自总体的简单样本，则下面统计量中不是充分统计量的是（ ）
二.填空题(每小题3分,共12分)
设X1,X2, ，Xn是来自总体N(0， )的简单样本,则常数
时统计量____________
服从t-分布（1 m n），其自由度为
设X1,X2, ，Xn是来自总体N( ， )的简单样本,其中 已知。
则在满足P{X间类{[
的均值 的置信度为1-α的置信区
常数}中区间长度最短的置信区间为
（ ）
的简单样本, 3. 设X1,X2, ，Xn是来自总体N( ，
已知，则
的无偏估计
，
中较优的是
（ ）
．在双因素实验的方差分析中，总方差ST的分解中包含误差平方和
，则SE的自由度为（ ）
三，（12分）设X1,X2, ，Xn来自指数分布
的简
单样本，试求参数 的极大似然估计 ，它是否是无偏估计？（2）求
样本的Fisher信息量；（3）求 的一致最小方差无偏估计;(4)问 是否
是 的有效估计？
四．（6分，A班不做）在多元线性回归Y
中，参数 的最小
二乘估计为 (X'X)X'Y
，残差向量为
。
令
当 ~N(0, I)时，Z
服从多元正态分布。
试证明 与e相互。
五．（6分，A班不做）
设某切割机切割金属棒的长度X服从正态分布，正常工作时，切割每段金属棒的平均长度为10.5cm。某日为了检验切割机工作是否正常，随机抽取15段进行测量，得平均样本值x=10.48cm，样本方差s2=0.056cm2。在显著性水平α=0.05下，试问该切割机工作是否正常(
？
）
六．（6分，B班不做）设X～N( ， ), 已知，X1,X2, ，Xn来自X的样本，并设 的先验分布为 ～N( , ), 的Bayes估计为
已知，则可知均值
试通过此例说明Bayes估计的特点。
七．（B班不做）设总体X服从正态总体N(0， )，X1,X2, ，Xn是来自总体的简单样本，考虑检验问题
在显著水平α=0.05下，求最优检验（MP）的拒绝域。
八．研究小麦品种与施肥的农田实验，考察的因素与水平如下表所示:
据经验需考虑交互作用A×B，选用正交表L8(27)，数据如表所示。
用极差分析确定最优方案（以数据大者为好）
九．（6分）设X= (X1,X2,X3,X4)’的协方差阵为
已知V的特征根是
，
，其中 =0.83，
试根据85%的选取标准确定确定主成分个数，并求出主成分。
应用数理统计（2022年 年）
一、填空
、设x1,x2。x10 来自总体N(0,1) 的样本， 若y=k1(x1+2x2+3x3)2+k2(x4+x5+。+x10)2~x2(2)，则k1=__________ k2=__________
、设x1,x2。x2m来自总体N(4,9)的样本，若y=，
且
，服从t分布，则
、设x1,x2。x2m来自总体N(μ,σ2)的样本，已知y=( x2-x1)2+（x3-x4） 2 +。+(x2m-x2m-1)2，且Z=cy为σ2的无偏估计，则c=_________
、上题中，Dz=_________
、由总体F(x)与G(x)中依次抽得容量为12 和11 的样本，已计算的游程总个数
，试在水平α=0.05 下检验假设H0：F(x)= G(x)，其结论为___________ （U0.05（12，11）=8）
二、设x1,x2。x61 来自总体N(0,1) 的样本， 令y=，
试求P
三、设总体x 的密度函数为
而（x1,x2。xn）为来自x的样本，试求α 的极大似然估计量。
四、设x~N(μ1,σ2)，y~ N(μ2,σ2),今抽取x的样本x1,x2。x8；y的样本y1,y2。y8； 计算得
．试在水平α=0.01 下检验假设H0：μ1=μ2，H1：μ1μ2 2．试求α=0.02 时，μ2-μ1的估计区间（t0.99(14)=2.6245）
五、欲考察因子A,B,C,D及交互作用A×C，且知B也可能与其它因子存在交互作
用，试在L8(27)上完成下列表头设计。并说明理由。
用L8(27)的交互作用表
六、已知(x1, y1), (x2, y2)。, (x9, y9)为一组实验值，且
计
算
得
试求线性回归方程y = a + b x
七、x1,x2。x100来自总体x~π(λ)的一个样本，试求参数λ的近似(1-α)置信区间，
八、在一元线性回归中，lyy=Q+U,F=U来判定回归显著性的办法。
试给出用F值
应用数理统计（2022年 年）
一、 填空（每空3 分，共30 分）
．设x1,x2。 ， x10 为来自总体N （ 0 ， 1 ） 的样本， 若y ＝
。＋x10)2,且y~x2(2).则k1=_______,k2=_______
．设x1,x2。，x12为来自总体N（0，A）的样本，若y=（x12+x22+x32）÷（x12+x22+。＋x12）且Z＝cy~F分布，则c=__,Z~F( )
．若x1,x2。，x20为来自总体N（μ，σ2）的样本,若y=(x2-x1)2+(x4-x3)2+。＋（x20-x19）2，且Z=cy为σ2的无偏估计，则c=__,DZ=__
．若x1,x2。，x100为来自总体N（10，σ2
）的样本，若
，则Ey=__,Dy__
．若x1,x2。，x16为来自总体N（μ，0.012）的样本,其样本平均值x---=2.215,则μ的0.20 置信区间为_________（取三位小数），（已知Ф（1.5）＝0.95，Ф（1.282）＝0.90）
二（10 分）设总体X 的概率密度函数为
材料学院研究生会学术部
而x1,x2。，xn为来自X的样本，试求α的矩估计量和极大似然估计量。
三（10 分）设x1,x2。，x61为来自总体N（0，1）的样本。令
且P （x61/y≤k）＝0.95，试求k。
四（10 分）设X~N（μ1，σ2）,Y~N（μ2，σ2）令抽取A的样本x1,x2。，x8，Y的样本y1,y2。，y8试推导假设H0：μ1＝μ2；H1：
＞μ2的拒绝域，设若
是否接受H0？
五（10 分）设y～N（Ae-Bx，σ2）,试由样本（x1,y1）（x2,y2）。（xn,yn）估计参数A及B（可利用已有的结论或公式些出相应的结果）。
六（10 分）今有正交试验结果列于下表（大者为好）
试用级差分析对结果进行分析判断，若A、B、C 的水平数皆为实际条件数据由小到大排列，试选出最优工艺条件并指出进一步试验的方
向。
七、（10 分）设t~t(n)，F~F(n, 1)且p{t≤tα(n)}=α，p{F≤Fα(n, 1)}=α
试证明：
八、（10 分）设X 的概率密度函数为
试求β 的极大似然估计量，并由此求一个
的无偏估计量
应用数理统计（2022年 年）
设X1, X2, 。 , X100为来自正态总体N(0,σ2)的样本，若
，求EY，EY2。
设总体X~N(μ,σ2)，X1，X2。，Xn为来自X的样本，记
求ES4。
已知随机变量X的分布律为：P{X=k}=qpk-1，k=1，2。，（q=1- p）
试求X 的特征函数 (t)，并由此求EX，DX。
设总体X的概率密度为f(x;θ)= 为常数，试用来自X的样本
其中c0
构造的θ矩估计量。
设总体X~N(μ,52)，其样本为（X1，X2。，Xn），这时μ的置信区间为1-α， 的置信区间为_____
当 n 固定时，若要提高置信度，置信区间长度会＿ ② 当置信度固定时，增大 n，置信区间长度会＿
设（X1，X2。，Xn）为来自正态总体N(0,σ2)的样本，若 下载本文
