理科数学
第Ⅰ卷（选择题共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的，请将正确答案的编号用铅笔涂在答题卡上。
1.已知全集，，，则集合等于 （ B ）
A． B．
C． D．
2.设：，：，若是的必要而不充分条件,则实数的取值范围是 （ A ）
A． B． C．(-∞,0]∪ D．(-∞,0)∪
3.如图，向量等于 ( D )
A． B．
C． D．
4.给定函数①，②，③，④，其中在区间（0，1）上单调递减的函数序号是 （ B ）
A.①② B.②③ C.③④ D.①④
5. 已知，则的值为 （ D ）
A. B. C. D.
6.把函数的图象向右平移个单位，所得图象关于轴对称，则的值可以是 （ B ）
A. B. C. D.
7.如图为函数的图象，为函数的导函数，则不等式的解集为 （ D ）
A． B．
C． D．
8.设函数是定义在R上的函数，其中的导函数满足对于恒成立，则 （ D ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分，把答案填在答题卷上。
9.已知△ABC中，a＝4，b＝4，∠A＝30°，则∠B等于_60°或120°.
10.函数=的图像与函数=的图像交点个数为___3__．
11．函数的部分图象如图所示，则
_________．
12. 直线与曲线围成的封闭图形的面积为____8_____．
13.关于函数，下列命题：
1若，满足，则成立；
②在区间上单调递增；
③函数的图像关于点成中心对称；
④将函数的图像向左平移个单位后将与的图像重合．
其中正确的命题序号 ① ③ ④ （注：把你认为正确的序号都填上）
14.已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：
①对于任意，函数是上的减函数；
②对于任意，函数存在最小值；
③存在，使得对于任意的，都有成立；
④存在，使得函数有两个零点．
其中正确命题的序号是_____②④______．（写出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明或演算步骤。
15.(本题满分12分)已知向量 (),.
（Ⅰ）当时，求的值；
（Ⅱ）求的取值范围.
解：（Ⅰ）a⊥b ∴ ……… 2分
易知，得 4分
又∵ 即： = ……6分
（Ⅱ）=
……… 9分
… 11分
… 13分
16. (本题满分12分)已知函数，当时，取得极小值.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数在上的最大值和最小值.
解：（Ⅰ）因为 2分
所以 4分
解得 6分
（Ⅱ）因为
所以
所以
列表如下
1 | 2 | ||||
— | 0 | + | |||
单调递减
| 极小值 | 单调递增 |
因为
当时，取得最大值
17.(本题满分14分)已知向量，，函数
.
(Ⅰ)求函数的最小正周期对称中心及单调减区间；
（Ⅱ）已知内角的对边分别为，且，若向量与共线，求的值．
解：
的最小正周期：，
由，得，
的对称中心：，
由，解得，
的单调减区间：
18.(本题满分14分)已知函数，曲线经过点，且在点处的切线为：．
⑴ 求常数，的值；
⑵是否存在常数，使得，恒成立？若存在，求常数的取值范围；若不存在，简要说明理由．
解：⑴……2分，
依题意，即， 4分
解得……6分。
⑵时，，所以恒成立当且仅当
……8分，
记，，……10分，
由得（舍去），……11分
当时，；当时，
所以在区间上的最大值为，常数的取值范围为……14分．
19.(本题满分14分)已知函数，直线图象的一条对称轴．
（1）试求的值：
（2）已知函数的图象是由y=图象上的各点的横坐标伸长到原来的2倍，然后再向左平移个单位长度得到，若的值。
20．(本题满分14分)已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）求函数在区间上的零点的个数（为自然对数的底数）；
（3）设函数图象上任意不同的两点为、，线段的中点为，记直线的斜率为，证明：．
（2）， ，在递增， 递减；
时，取得最大值：
①若，即，图象与轴只有一个交点，故只有一个零点；
②若，即，图象与轴无交点，故没有零点；
③若，即，
，
，，即，
而，
图象与轴有两个交点，故有两个零点；
综上所述：时，只有一个零点；
时，没有零点；
时，有两个零点
