本章研究流体平衡规律，由平衡条件求静压分布，并求静水总压力。

    静止是相对于坐标系而言的，不论相对于惯性系或非惯性系静止的情况，流体质点之间肯定没有相对运动，这意味着粘性将不起作用，所以本章的讨论不须区分流体是实际（粘性）流体或理想流体。

§2—1 流体静压强及其特性

●

静止流体的应力只有法向分量（因无相对运动），而且沿内法线方向（流体不能受拉），称为静压强。

●静压强p仅取决于场点的空间位置，而与作用面的方位无关。对如图以M为顶点的小四面体，写出平衡方程，再令小四面体趋于M点，注意到质量力比起面力为高阶无穷小，即得证。

●静止流体的应力状态只须用一个静压强数量场p=p(x,y,z)来描述，任意一点、任意方位上的应力为：.

§2—2 流体的平衡微分方程

●在直角坐标系中，取体积微元六面体，建立流

体的平衡微分方程：

    ；；.

合并表示成矢量形式      .

X,Y,Z是质量力的三个分量，是静压强场的梯度：. 流体的平衡微分方程实质上表明了质量力和压差力之间的平衡。

●把  称为哈米尔顿算子,它同时具有矢量和微分（对跟随其后的变量）运算的功能。用它来表达梯度，非常简洁，并便于记忆。

●的三个分量是压强在三个坐标轴方向的方向导数，它反映了数量场在空间上的不均匀性。流体的平衡微分方程实质上表明了质量力和压差力之间的平衡，压强对流体受力的影响是通过压差来体现的。

§2—3 重力作用下的液体平衡

一. 重力作用下的平衡方程

●重力（z轴垂直向上），液体（看成不可压缩流体）的平衡微分方程具体化为：. 其解为：. 有时令（向下为正），则. 其中p0为z=0处的压强。显然等压面为水平面，与质量力（重力）垂直。

●重力场中连通的同种静止液体中：①压强随位置高程线性变化；②等压面是水平面，与重力垂直；③是常数。

二. 绝对压强、相对压强、真空

●

压强p记值的零点不同，有不同的名称：绝对压强 —— 以完全真空为零点，记为 pabs；相对压强 —— 以当地大气压pa为零点，记为 pr . 两者的关系为:. 相对压强为负值时，其绝对值称为真空压强。

●今后讨论压强一般指相对压强，省略下标，记为p. 若指绝对压强则特别注明。

●如果z=0为静止液体的自由表面，自由表面上压强为pa，则液面以下h处的相对压强为，所以在液体指定以后，用高度也可度量压强，称为液柱高，例如：××m(H2O)，××mm(Hg) 等。特别地，将水柱高称为水头。把真空压强转换成水柱高表示，称为真空度。

●一个工程大气压为kgf / cm2，相当于10 m(H2O)或736 mm(Hg).

三. 位置水头、压强水头、测管水头

    液体平衡微分方程：，积分得.这里基准面z=0是水平面，可以任取。各项量纲为长度，称为水头（液柱高）。将z称为位置水头；称为压强水头；位置水头与压强水头之和称为测管水头。各项也可解释成单位重量液体的能量，分别对应为位置势能（从基准面z=0算起）、压强势能（从大气压强算起）和总势能。液体的平衡规律表明：位置水头（势能）与压强水头（势能）可以互相转换，但它们之和——测管水头（总势能）是保持不变的。

§2—4 静止液体作用在平面上的总压力

●这是一种比较简单的情况，是平行力系的合成，即. 作用力垂直于作用面，指向自己判断。

●静压强分布是不均匀的，沿铅垂方向呈线性分布，其平均值为作用面（平面图形）形心处的压强。总压力大小等于作用面形心C处的压强pC乘上作用面的面积A .即

●平面上均匀分布力的合力作用点将是其形心，而静压强分布是不均匀的，浸没在液面下越深处压强越大，所以总压力作用点位于作用面形心以下。

§2—5 静止液体作用在曲面上的总压力

●对曲面A求解总压力时，必须先分解成各分量计算，然后再合成。

●

x方向水平力的大小为. 这里， 是曲面A 沿x轴向oyz平面的投影，是平面图形的形心浸深。这说明，静止液体作用在曲面上的总压力在x方向分量的大小等于作用在曲面沿x轴方向的投影面上的总压力。y方向水平力大小的算法与x方向类似。

●z方向(垂向)力的大小为. 这里，是曲面A 沿z轴向oxy平面的投影，称为压力体，是曲面A与之间的柱体体积。这说明，静止液体作用在曲面上的总压力的垂向分量的大小等于压力体中装满此种液体的重量。

●压力体应由曲面A向上一直画到液面所在平面。压力体中，不见得装满了液体。严格的压力体的概念是与液体重度联系在一起的，这在分层流体情况时，显得尤为重要。

●总压力各分量的大小已知，指向自己判断，这样总压力的大小和方向就确定了。总压力的作用点为水平方向两条作用线和过压力体形心的铅垂线的交点。特别地，当曲面是圆柱或球面的一部分时，总压力是汇交力系的合成，必然通过圆心或球心。

§2—6 非惯性系中液体的平衡 — 相对平衡

●根据达朗伯原理，在非惯性系中液体的平衡机理是：质量力、压差力及惯性力的平衡。惯性力与质量成比例，在力的表现形式上也属质量力范畴，若将它合并到流体质点所受的真实质量力（外力，一般为重力）中去，那么平衡方程就与惯性系没有区别了。

●单位质量流体的惯性力为流体质点的加速度，冠以负号：.

●

相对于匀加速直线运动的坐标系静止的所有流体质点加速度大小、方向都相同，重力加上惯性力仍是均匀的，因此等压面还是平面，但不再是水平的，除非加速度在铅垂方向。

●如果铅垂方向只有重力作用（惯性力在铅垂方向无分量），那么铅垂方向压强分布仍与自由面下垂直距离h成正比。

●相对平衡原理可用来测量加速度。下载本文