一、选择题（共12个小题）.

1．（4分）下列各数中，最小的数是　　

A． B．0 C．1 D．2

2．（4分）下列图形是轴对称图形的是　　

A． B．    

C． D．

3．（4分）在今年举行的第127届“广交会”上，有近26000家厂家进行“云端销售”．其中数据26000用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

4．（4分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为　　

A．10 B．15 C．18 D．21

5．（4分）如图，是的切线，为切点，连接，，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

6．（4分）下列计算中，正确的是　　

A． B． C． D．

7．（4分）解一元一次方程时，去分母正确的是　　

A． B． C． D．

8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段的长度为　　

A． B．2 C．4 D．

9．（4分）如图，在距某居民楼楼底点左侧水平距离的点处有一个山坡，山坡的坡度（或坡比），山坡坡底点到坡顶点的距离，在坡顶点处测得居民楼楼顶点的仰角为，居民楼与山坡的剖面在同一平面内，则居民楼的高度约为（参考数据：，，　　

A． B． C． D．

10．（4分）若关于的一元一次不等式组的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之积是　　

A．7 B． C．28 D．

11．（4分）如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为2，则点到的距离为　　

A． B． C． D．

12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点，，且，的面积为18，则的值为　　

A．6 B．12 C．18 D．24

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．

13．（4分）计算：　　．

14．（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是　　．

15．（4分）现有四张正面分别标有数字，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为，．则点在第二象限的概率为　　．

16．（4分）如图，在边长为2的正方形中，对角线的中点为，分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为　　．（结果保留

17．（4分），两地相距，甲货车从地以的速度匀速前往地，到达地后停止．在甲出发的同时，乙货车从地沿同一公路匀速前往地，到达地后停止．两车之间的路程与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示．其中点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是　　．

18．（4分）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为．随着促进消费的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是　　．

三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

19．（10分）计算：

（1）；

（2）．

20．（10分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．

七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．

八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：

七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：

（1）直接写出上述表中的，，的值；

（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；

（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？

21．（10分）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，．平分．

（1）若，求的度数；

（2）求证：．

22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象； 

①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴．

②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值．

③当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．

（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留1位小数，误差不超过．

23．（10分）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数 “差一数”．

定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．

例如：，，所以14是“差一数”；

，但，所以19不是“差一数”．

（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；

（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．

24．（10分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对，两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年，两个品种各种植了10亩．收获后，两个品种的售价均为2.4元，且的平均亩产量比的平均亩产量高，，两个品种全部售出后总收入为21600元．

（1）请求出，两个品种去年平均亩产量分别是多少？

（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在，种植亩数不变的情况下，预计，两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加和．由于品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨，而品种的售价不变．，两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加．求的值．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中，．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值；

（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

26．（8分）如图，在中，，，点是边上一动点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接，．点是的中点，连接．

（1）求证：；

（2）如图2所示，在点运动的过程中，当时，分别延长，，相交于点，猜想与存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

（3）在点运动的过程中，在线段上存在一点，使的值最小．当的值取得最小值时，的长为，请直接用含的式子表示的长．

2020年重庆市中考数学试卷（A卷）

参与试题解析

一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑．

1．（4分）下列各数中，最小的数是　　

A． B．0 C．1 D．2

解：，

这四个数中最小的数是．

故选：．

2．（4分）下列图形是轴对称图形的是　　

A． B．    

C． D．

解：、、都不是轴对称图形，是轴对称图形，

故选：．

3．（4分）在今年举行的第127届“广交会”上，有近26000家厂家进行“云端销售”．其中数据26000用科学记数法表示为　　

A． B． C． D．

解：，

故选：．

4．（4分）把黑色三角形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个黑色三角形，第②个图案中有3个黑色三角形，第③个图案中有6个黑色三角形，，按此规律排列下去，则第⑤个图案中黑色三角形的个数为　　

A．10 B．15 C．18 D．21

解：第①个图案中黑色三角形的个数为1，

第②个图案中黑色三角形的个数，

第③个图案中黑色三角形的个数，

第⑤个图案中黑色三角形的个数为，

故选：．

5．（4分）如图，是的切线，为切点，连接，，若，则的度数为　　

A． B． C． D．

解：是的切线，为切点，

，

，

，

故选：．

6．（4分）下列计算中，正确的是　　

A． B． C． D．

解：．与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；

．2与不是同类二次根式，不能合并，此选项计算错误；

．，此选项计算正确；

．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；

故选：．

7．（4分）解一元一次方程时，去分母正确的是　　

A． B． C． D．

解：方程两边都乘以6，得：，

故选：．

8．（4分）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，，以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为，则线段的长度为　　

A． B．2 C．4 D．

解：以原点为位似中心，在原点的同侧画，使与成位似图形，且相似比为，

而，，

，，

．

故选：．

9．（4分）如图，在距某居民楼楼底点左侧水平距离的点处有一个山坡，山坡的坡度（或坡比），山坡坡底点到坡顶点的距离，在坡顶点处测得居民楼楼顶点的仰角为，居民楼与山坡的剖面在同一平面内，则居民楼的高度约为（参考数据：，，　　

A． B． C． D．

解：如图，由题意得，，，，

在中，

山坡的坡度，

，

设，则，由勾股定理可得，

又，即，

，

，，

，

在中，

，

，

故选：．

10．（4分）若关于的一元一次不等式组的解集为；且关于的分式方程有正整数解，则所有满足条件的整数的值之积是　　

A．7 B． C．28 D．

解：不等式组整理得：，

由解集为，得到，

分式方程去分母得：，即，

解得：，

由为正整数解，且得到，7

，

故选：．

11．（4分）如图，三角形纸片，点是边上一点，连接，把沿着翻折，得到，与交于点，连接交于点．若，，，的面积为2，则点到的距离为　　

A． B． C． D．

解：，

，

，

由翻折可知，，，

，，

，

，

，

，

设点到的距离为，则有，

，

故选：．

12．（4分）如图，在平面直角坐标系中，矩形的对角线的中点与坐标原点重合，点是轴上一点，连接．若平分，反比例函数的图象经过上的两点，，且，的面积为18，则的值为　　

A．6 B．12 C．18 D．24

解：如图，连接，，过点作于，过点作于．

，，

，

，

，在反比例函数的图象上，

，

，

，

，

，

，

平分，

，

四边形是矩形，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

．

故选：．

二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上．

13．（4分）计算：　3　．

解：，

故答案为：3．

14．（4分）一个多边形的内角和等于它的外角和的2倍，则这个多边形的边数是　6　．

解：设这个多边形的边数为，依题意，得：

，

解得．

故答案为：6．

15．（4分）现有四张正面分别标有数字，1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面朝上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数宇，前后两次抽取的数字分别记为，．则点在第二象限的概率为　　．

解：画树状图为：

共有16种等可能的结果数，其中点在第二象限的结果数为3，

所以点在第二象限的概率．

故答案为．

16．（4分）如图，在边长为2的正方形中，对角线的中点为，分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为　　．（结果保留

解：四边形为正方形，

，，

由勾股定理得，，

，

图中的阴影部分的面积，

故答案为：．

17．（4分），两地相距，甲货车从地以的速度匀速前往地，到达地后停止．在甲出发的同时，乙货车从地沿同一公路匀速前往地，到达地后停止．两车之间的路程与甲货车出发时间之间的函数关系如图中的折线所示．其中点的坐标是，点的坐标是，则点的坐标是　　．

解：根据题意可得，乙货车的速度为：，

乙货车从地到地所用时间为：（小时），

当乙货车到底地时，甲货车行驶的路程为：（千米），

点的坐标是．

故答案为：．

18．（4分）火锅是重庆的一张名片，深受广大市民的喜爱．重庆某火锅店采取堂食、外卖、店外摆摊（简称摆摊）三种方式经营，6月份该火锅店堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额之比为．随着促进消费的出台，该火锅店老板预计7月份总营业额会增加，其中摆摊增加的营业额占总增加的营业额的，则摆摊的营业额将达到7月份总营业额的，为使堂食、外卖7月份的营业额之比为，则7月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比是　　．

解：设6月份堂食、外卖、摆摊三种方式的营业额为，，，设7月份总的增加营业额为，摆摊增加的营业额为，7月份总营业额，摆摊7月份的营业额为，堂食7月份的营业额为，外卖7月份的营业额为，

由题意可得：，

解得：，

月份外卖还需增加的营业额与7月份总营业额之比，

故答案为：．

三、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

19．（10分）计算：

（1）；

（2）．

解：（1），

，

；

（2），

，

，

．

20．（10分）为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识．某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．

七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．

八年级20名学生的测试成绩条形统计图如图：

七、八年级抽取的学生的测试成绩的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比如下表所示：

（1）直接写出上述表中的，，的值；

（2）根据上述数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生掌握垃极分类知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；

（3）该校七、八年级共1200名学生参加了此次测试活动，估计参加此次测试活动成绩合格的学生人数是多少？

解：（1）七年级20名学生的测试成绩为：7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6，

，

由条形统计图可得，，

，

即，，；

（2）八年级学生掌握垃极分类知识较好，理由：八年级的8分及以上人数所占百分比大于七年级，故八年级学生掌握垃极分类知识较好；

（3）从调查的数据看，七年级2人的成绩不合格，八年级2人的成绩不合格，

参加此次测试活动成绩合格的学生有（人，

即参加此次测试活动成绩合格的学生有1080人．

21．（10分）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，．平分．

（1）若，求的度数；

（2）求证：．

【解答】（1）解：，

，

，

，

平分，

，

四边形是平行四边形，

，

，

（2）证明：四边形是平行四边形，

，

，，

，

，

，

．

22．（10分）在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．以下是我们研究函数性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．

（1）请把下表补充完整，并在图中补全该函数图象； 

①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴．

②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值．

③当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．

（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集（保留1位小数，误差不超过．

解：（1）补充完整下表为：

；

（2）根据函数图象：

①该函数图象是轴对称图形，它的对称轴为轴，说法错误；

②该函数在自变量的取值范围内，有最大值和最小值．当时，函数取得最大值3；当时，函数取得最小值，说法正确；

③当或时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大，说法正确．

（3）由图象可知：不等式的解集为或．

23．（10分）在整数的除法运算中，只有能整除与不能整除两种情况，当不能整除时，就会产生余数，现在我们利用整数的除法运算来研究一种数 “差一数”．

定义：对于一个自然数，如果这个数除以5余数为4，且除以3余数为2，则称这个数为“差一数”．

例如：，，所以14是“差一数”；

，但，所以19不是“差一数”．

（1）判断49和74是否为“差一数”？请说明理由；

（2）求大于300且小于400的所有“差一数”．

解：（1），但，所以49不是“差一数”；

，，所以74是“差一数”．

（2）大于300且小于400的数除以5余数为4的有304，309，314，319，324，329，334，339，344，349，354，359，3，369，374，379，384，3，394，399，

其中除以3余数为2的有314，327，344，359，374，3．

故大于300且小于400的所有“差一数”有314，327，344，359，374，3．

24．（10分）“中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”．为优选品种，提高产量，某农业科技小组对，两个小麦品种进行种植对比实验研究．去年，两个品种各种植了10亩．收获后，两个品种的售价均为2.4元，且的平均亩产量比的平均亩产量高，，两个品种全部售出后总收入为21600元．

（1）请求出，两个品种去年平均亩产量分别是多少？

（2）今年，科技小组加大了小麦种植的科研力度，在，种植亩数不变的情况下，预计，两个品种平均亩产量将在去年的基础上分别增加和．由于品种深受市场的欢迎，预计每千克价格将在去年的基础上上涨，而品种的售价不变．，两个品种全部售出后总收入将在去年的基础上增加．求的值．

解：（1）设、两个品种去年平均亩产量分别是千克和千克；

根据题意得，，

解得：，

答：、两个品种去年平均亩产量分别是400千克和500千克；

（2），

解得：，

答：的值为0.1．

25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与直线相交于，两点，其中，．

（1）求该抛物线的函数表达式；

（2）点为直线下方抛物线上的任意一点，连接，，求面积的最大值；

（3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线，平移后的抛物线与原抛物线相交于点，点为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得，解得，

故抛物线的表达式为：；

（2）设直线的表达式为：，则，解得，

故直线的表达式为：，

过点作轴的平行线交于点，

设点，则，

面积，

，故有最大值，当时，的最大值为；

（3）抛物线的表达式为：，

则平移后的抛物线表达式为：，

联立上述两式并解得：，故点；

设点、点，而点、的坐标分别为、；

①当为菱形的边时，

点向右平移1个单位向上平移3个单位得到，同样（E）向右平移1个单位向上平移3个单位得到（D），

即且①或且②，

当点在的下方时，则，即③，

当点在的上方时，则，即④，

联立①③并解得：，或（舍去，故点；

联立②④并解得：，，故点或；

②当为菱形的的对角线时，

则由中点公式得：且⑤，

此时，，即⑥，

联立⑤⑥并解得：，，

故点，

综上，点的坐标为：或或或．

四、解答题：（本大题1个小题，共8分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．

26．（8分）如图，在中，，，点是边上一动点，连接，把绕点逆时针旋转，得到，连接，．点是的中点，连接．

（1）求证：；

（2）如图2所示，在点运动的过程中，当时，分别延长，，相交于点，猜想与存在的数量关系，并证明你猜想的结论；

（3）在点运动的过程中，在线段上存在一点，使的值最小．当的值取得最小值时，的长为，请直接用含的式子表示的长．

【解答】证明：（1），，

，

把绕点逆时针旋转，得到，

，，

，，

又，

，

，

，

点是的中点，

；

（2），

理由如下：如图2，过点作于，

，

设，则，，

，，

，

由（1）可知：，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，，

，

；

（3）如图，将绕点顺时针旋转得到，连接，

，，，

是等边三角形，

，

，

当点，点，点，点共线时，值最小，

此时，如图，连接，

将绕点顺时针旋转得到，

，，，

是等边三角形，是等边三角形，

，，

，，

垂直平分，

，，

，

，，，

，

，

，

，

由（1）可知：．下载本文