玛丽亚.古铁雷斯

                                     李海勇

 杰弗里,巴顿

               材料工程中部分实现210配对实验方法的课程要求

                           2002年秋

                     G. Selvaduray教授

什么是表面电阻率？

定义

表面电阻率可以被定义为材料的固有表面电阻乘以试样表面的尺寸比（电极宽度除以电极之间的距离），如果电极已形成了一个正方形的对立两边，表面电阻率则转换被测电阻

【1】换句话说，它是材料表面固有电阻的量度。表面电阻率不依赖于材料的物理尺寸。根据欧姆法律电路理论，材料的电阻是应用电压除以穿过材料两个电极之间的电流得到的。

R=V/I                                            (1)

其中:

    R为电阻，单位欧姆

V为电压，单位伏特

I为电流，单位安培

这个电阻和样品的长度成正比和样品的横截面面积成反比。比例常数的电阻率

R=ρ l/A                                         (2)

其中：

Ρ为电阻率

A为横截面面积

l为长度

单位

表面电阻率的物理单位是欧姆/平方。在实际中，表面电阻率常常以欧姆/平方的单位给出。这个单位应该被看做是一种标志而不是表面电阻率的物理单位。尽管如此，理解欧姆/平方的意义还是很重要的，因为在绝大多数出版物中，表面电阻率的单位是以那种方式表达的。[2]那些对这个术语不熟悉的人会问，每平方是什么？是英寸？英尺？还是码？答案是，只要量度与方形有关就是每平方。假设测试样品有一个长方形的形状与厚度（t）。那么等式2可以写成

            ρ=R wt/l=Rw/l                  (3)

其中

w为宽度

l为长度

根据电路类推，方形式样的电阻可以认为是一个电路有个电阻值为R0的电阻，如图1所示。根据等式3，电阻率等于电阻，因为w=1.

图1：方形式样作为的电阻

对于长度是其宽度2倍的长方形式样，其电阻为2R0。这可以被认为是2个电阻值为R0的电阻串联到一起，如图2所示。

图2：两个电阻串联的矩形式样

然而，它的电阻率为R0，因为电阻率是一个基本的材料性能，它不依赖于测试式样的尺寸规格。

         ρ=2R0 w/2w= R0

类似地，一个宽度是长度2倍的式样的电阻为1/2R0,可以认为是两个阻值为R0的电阻并联在一起，如图3所示。

 图3：两个电阻并联的矩形式样

它的电阻率预计仍然为R0.

   ρ=1/2R0 2l/l=R0

可以得出结论，相同材料的任何大方块材料将测得相同的近似电阻率。以欧姆/平方表示的术语表面电阻率，是这种测量计算的一种象征。

本节将概述使用相同设备测定一材料表面电阻率的方法。诸如四探针法和范德堡法。对测定高分子材料表面电导率的方法和发展用于特殊应用的先进技术也进行了讨论。

范德堡法

范德堡技术由于其方便而广泛应用于半导体行业，用于确定统一样品的电阻率。【3，4】该技术最初由范德堡设计，它使用任意形状的薄板样本,包括四个至于薄板边缘或最好是拐角的微小的接头。一个长方形的范德堡配置示意图如图4所示。

图4：范德堡配置示意图用于测定两个特征电阻RA和RB

电阻率测量的目的是确定薄板电阻RS。范德堡认为，实际上有两个特征电阻RA和RB，如图4所示的相应端子。通过范德堡方程RA和RB与薄片电阻RS有关：

   exp(-πRA/RS) + exp(-πRB/RS) = 1     （4） 

该方程式通过RS能够解决。体电阻率可以使用下式计算：

     ρ= RSd                                     (5)

 为了获得两个特征电阻，用直流电流I流入接触1，流出接触2，测得接触点3和接触点4间的电压为V43，如图4所示。接下来，用直流电流I流入接触2，流出接触3，测得接触点1和接触点4间的电压为V14。RA和RB通过下面的表达式计算：

  RA = V43/I12 ，RB = V14/I23               （6）

范德堡技术中霍尔测量的目的是通过测量霍尔电压VH确定表载流子密度ns。霍尔电压测量包括恒流I和运用了垂直于样品平面的恒定磁场B的一系列电压测量。方便地，相同的式样如图5所示，也可以用来测定霍尔电压。

          图5：范德堡配置示意图用于测定霍尔电压VH

  为了获得霍尔电压，电流I穿过接触点1和接触点3，霍尔电压VH(等于V24)通过剩余的两个接触点2和接触点测得。一旦获得了霍尔电压VH，薄板的载流子密度NS，可以根据已知的I，B和q值通过ns = IB/ q|VH|求得。

在进行霍尔电压和电导率测定时，有几个实际方面的必须考虑到：

主要关注的是：（1）欧姆接触性能和大小尺寸，（2）样品的均匀性和精确厚度的测定，（3）由于非等温的热磁效应，（4）在黑暗的环境中测量可把光导和光电效应的影响降低到最小。此外，样品的横向尺寸必须比触点的尺寸和样品的厚度大。最后，必须精确测定样品的温度、磁场强度、电流、电压。

样品几何

最好是制作半导体材料的薄板样品，并采取适当的几何形状，如图6所示。

图6：范德堡电阻率和霍尔效应测量样品的几何形状。

 立体交叉设计将有最低的错误，由于其较小却有效的接触尺寸，但它是比的制作一个正方形或长方形更困难。

 接触点的平均直径D和样品厚度d必须比接触点间的尺寸（L）小得多。由非零值D所造成的相关误差与D/L相似。

以下的设备是必须的:

•永久磁铁或电磁铁（500〜5000高斯）•恒流源电流范围从10μA到100 mA（半绝缘砷化镓，ρ〜107Ω·厘米，范围低到1 nA）

•变化范围从1μV至1V的高输入阻抗电压表

•样品温度测量探头（分辨率为0.1℃，工作精度高）

电阻率测量的定义

四引线连接到样品上的四个欧姆触点。将它们标记为1，2，3和4，逆时针方向在图6a所示。重要的是，所有四线使用同一批次的电线，以尽量减少热电效应。同样，所有四个欧姆接触应由相同的材料组成。

我们定义以下参数（见图4）：ρ=样品的电导率（单位：Ω·cm）

d= 导电层厚度（单位：cm）

I12 = 流入接触点1流出接触点2的正直流电I

同样有 I23, I34, I41, I21, I14, I43, I32 （安培，A）

V12 =     无外加磁场（B = 0时）触点1和2（V1 -  V2）之间测得的直流电压同样有V23, V34, V41, V21, V14, V43, V32（伏特，V）

电导率的测量

必须检查数据的内部均匀性、欧姆接触点质量、试样的均匀性

建立一个直流电源使得运用于是试样时功耗不超过5兆瓦（最好是不超过1兆瓦）。在开始自动测量序列前，这种可以通过测量电阻R（1到3或2至4之间的任何两个对立点）来精确确定且设定：

          I <（200R）-0.5                     （7）

•运用电流I21测量电压V34

•反接电流I12测量电压V43

•重复其余六个值(V41, V14, V12, V21, V23, V32)

八个电压测量值产生以下八个电阻值，且它们必须都是正值。

R21,34 = V34/I21, R12,43 = V43/I12,                     (8)

R32,41 = V41/I32, R23,14 = V14/I23,                    （9)

R43,12 = V12/I43, R34,21 = V21/I34,                    (10)

R14,23 = V23/I14, R41,32 = V32/I41.                    (11)

注意，这个交换安排电压表是只读正电压，因此电压表必须仔细较零。因为这一连串测量的后半部分是多余的，它允许检查测量重复性、欧姆接触性能以及试样的均匀性的一致性。

•测量持续电流导向的一致性要求:

 R21,34 = R12,43         R43,12 = R34,21

 R32,41= R23,14          R14,23 = R41,32            (12)

•互易定理要求 ：

R21,34 + R12,43 = R43,12 + R34,21, 和

R32,41 + R23,14 = R14,23 + R41,32.                  (13)

如果上述任何误差在5％（最好是3％）以内，调查误差的

来源。

电阻率的计算

薄板的电阻RS可以由以下两个特征电阻确定

RA = (R21,34 + R12,43 + R43,12 + R34,21)/4 和

RB = (R32,41 + R23,14 + R14,23 + R41,32)/4           (14)

通过范德堡方程6，如果导电层的厚度d是已知的，体电阻率ρ=RSd可以由RS计算得到。

范德堡法的变化：

1.随温度变化的范德堡测量【5】

2.差分的范德堡测量【5】

3.改进后的范德堡方法用于微区【6】

二点探针法和四点探针法

测量材料的表面电阻率的最常用的方法之一是通过使用两点探针法或四点探针法。【7】此方法使用探针线性排列或在排列成一个正方形图案，接触到测试材料的表面。[8]四探针测量表面电阻率的历史可以追溯到1916年，温纳讨论使用这种技术来测量地球的电阻率。【7，8】

二和四探针方法由于具有尽量减小接触电阻的寄生效应能力成为最流行的测量电阻率的方法，RC在公式15所示。【7，8】为了说明为什么一般都采用四探针，两个点探测方法被认为是出于比较的目的。

在两点探测法中，两个电压探头有一个固定的间距并一起沿着材料表面移动。【8】电流通入一个探针并从第二个探针流出。两个探针之间电压由一个电位计或电压表测得。【7】通过结合流入两个表面探针的电流和电压的测量值，可以通过使用下式计算两个探针之间的材料表面阻力：

   Rtotal = Voltage(V)/Current(I) = 2Rc + 2Rsp + Rs .          (15)

图7：两探针法

变量RC是材料表面和探针接触表面之间寄生电阻。Rsp 是扩散电阻或由流入试样表面的电流引起的寄生电阻。变化的值是RS或是特殊材料的表面电阻。虽然两探针法是能够计算出表面电阻率，但是四探针法更好，由于它使用了两个额外的探头。与两探针法相比，四探针法使用两个额外的探针测量材料表面的潜在的电压。这些探头不带任何电流，从而消除了寄生电阻两探针法中测得的寄生电阻Rc 和 Rsp 。

图8：四探针测试装置。探针1和4载电流，探针2和4测电压。【7，8，9】

在四探针装置中，探针电流临近的探针电压V可以这样给出：

      V = ρI/2πr                                 （16）

其中ρ是半无限大小的材料的表面电阻率,I是探针中的电流，r是测量电压探针和侧脸电流探针之间的距离。【7,8】使用图8的数字尺寸图，探针2处的电压是：

V2 = ρI/2π{(1/S1)–(1/(S2+S3))}.               （17）

探针3处的电压是：

V3 = ρI/2π{(1/(S1+ S2))–(1/S3)}.               （18）

为了得到总电压，对电压V2和V3作差：

V = ρI/2π{(1/S1)+(1/S3)-(1/(S2+S3))-(1/(S1+S2))}. (19)

重新计算得到电阻率，

ρ= 2πV/I/{(1/S1)+(1/S3)–(1/(S2+S3))–(1/(S1+S2))}. (20)

然而，如果所有的探针距离是相等的大小s，方程20可以简化为，

     ρ = 2πs(V/I).                                  (21)

多数的表面电阻率是在半导体晶片或在小表面积基片上的薄膜上测得的。此修正系数取决于样品的厚度，边缘效应，厚度效应，以及探针在样品上的位置。对校正因素已经进行了许多研究，列出了必要的调整。四点探针法测量的精确性需要考虑其他方面，如探头间距，温度的影响。探头间距间很小的差异可以导致整个样品表面广泛的电阻值变化。一个高质量的四探针头对获得可重复和可靠电阻值是必要的。当测量低电阻率样品，电流探头需要大电流以方便电压表读数。在大电流时，就很容易把样品表面升温到(原文不全)

聚合物薄膜表面电阻率测量

为何要测量聚合物表面电阻率？

高分子材料作为绝缘材料用于把电系统的元件相互隔离开来，或者与地面隔离开来。为此目的，通常是希望有尽可能高的表面电阻率。在广泛的工业应用如包装，导体，传感器和阳极，控制聚合物的表面电阻率对于整合这些材料是至关重要的。

电路理论的欧姆定律对场理论的欧姆定律

在前面提到，ASTM D257是使用电路的欧姆定律测量绝缘材料表面电阻率的标准测试方法。【1】不幸的是，Tsai and Bresee 发现当使用不同直径的圆形电极时用ASTM 法测得的表面电阻率变化了2-3倍。

当使用两个平行电极之间间距不同时也发生了这种情况。【10】

在本文中，将把使用电路理论欧姆定律测量表面电阻率和利用理论欧姆定律测得的表面电阻率进行比较。在本文的开始部分已经对电路理论的欧姆定律给予了解释。电路理论的欧姆定律只提供一个近似的方式来计算表面电阻率，在高电阻时可能包含很多错误。

当欧姆定律用于场论时，表面电阻率被定义为通过同类表面的电场和流过该表面上单位面积的电流密度之间的一个比例常数。

                  ε= ρJ                           （22）          

其中：

  ε为电场

  ρ为电导率

  J为电流密度

电阻率是电导率的倒数。因此，同样的表达可用于电导率：

                      ε= 1/σJ                     (23)

其中σ为电导率  

如果电极被认为是两个无限平行板如图9所示，作为电流密度可表示为：

                                  (24)        

其中d是两平行板之间的距离

             图9：试样安装在平行电极板上

通过对横截面积进行积分可以的得到两平行板之间的电流：

ρd

然后有 

使用同样的方法，可以得到穿过同轴圆柱形电极之间试样的电流。

               图10：圆柱电极表面电阻率测量

这种情况下表面电阻率为:

其中，b为外部电极的直径，a为内部电极的直径

实验方法

在理解两个欧姆定律之后一定会对它们进行比较。为了进行比较Tsai 和Bresee构造了3种电极。【10】

•圆柱电极：这种电极如图10所示。一个外部直径为4.02厘米，另一个为6.29厘米。它们的内部直径均为0.厘米。这种电极使用场论欧姆定律来测量表面电阻率。

•平行板电极：这种电极如图9所示。

其中一个间距是2.54厘米，另一个是5.1厘米。样品宽度为10.2厘米。这种电极使用场论欧姆定律来测量表面电阻率。

•方形电极:这种类型的电极如图1所示。两根坚固的棒连接着方形的横截面，尺寸为0.32 cm * 0.32 cm。这种电极使用电路理论欧姆定律来测量表面电阻率。使用不同电极测量表面电阻率的材料是

3M的透明薄膜,IR 1140。一根同轴电线连接到一个电极和电源,另一根电线连接到另一个电极和一个电流表。

图11使用圆柱形电极测量聚合物薄膜电阻率的实验装置

这一切都被放置在一个不锈钢测量室并由另一个不锈钢板覆盖着，形成一个密闭的法拉第腔，保护测量室不受外部电场和磁场的影响。使用之前描述的三种不同类型的电极测量电流密度。结果显示在表1和表2。

表1 通过场论欧姆定律测定使用平行板电极和圆柱电极法IR 1140薄膜的表面电阻率 

这些结果来看，可以得出结论，根据基于理论欧姆场定律的电阻率与样品尺寸和电极结构无关。

另一方面，表2显示基于电路理论欧姆法律电阻率不是恒定的。这意味着，使用这一理论，电阻率的值取决于测试样本的长度。提出使用电路理论欧姆定律获得的表面电阻率值不同使用场理论欧姆定律获得的表面电阻率值这一说法是重要的。可以得出结论，测量高耐聚合物薄膜的表面电阻率时，基于电路理论欧姆定律的ASTM测试方法是不准确的。因此，这种测量就必须使用场论欧姆定律。

参考文献：

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