(全国新课标卷II)

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知集合，，则＝(　　)．

A．{0,1,2}           B．{－1,0,1,2}      C．{－1,0,2,3}       D．{0,1,2,3}

2．设复数z满足，则z＝(　　)．

A．－1＋i       B．－1－I       C．1＋i         D．1－i

3．等比数列的前项和为，已知，，则(　　)．

A．       B．       C．       D． 

4．已知，为异面直线，平面，平面.直线满足，，，，则(　　)．

A．∥且∥                    B．且

C．与相交，且交线垂直于        D．与相交，且交线平行于

5．已知的展开式中的系数为5，则(　　)．

A．－4       B．－3       C．－2       D．－1

6．执行下面的程序框图，如果输入的，那么输出的(　　)．

A．       

B． 

C．      

 D． 

7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zOx平面为投影面，则得到的正视图可以为(　　)．

8．设，，，则(　　)．

A．       B．      C．       D． 

9．已知，，满足约束条件若的最小值为1，则(　　)．

A．       B．       C．1       D．2

10．已知函数，下列结论中错误的是(　　)．

A．，；

B．函数的图像是中心对称图形；

C．若是的极小值点，则在区间单调递减；

D．若是的极值点，则.

11．设抛物线：的焦点为，点在上，，若以为直径的圆过点(0,2)，则的方程为(　　)．

A．或        B．或

C．或       D．或

12．已知点，，，直线将分割为面积相等的两部分，则的取值范围是(　　)．

A．(0,1)              B．        C．       D． 

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．已知正方形的边长为2，为的中点，则＝__________.

14．从个正整数1,2，…，中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则

_________.

15．设为第二象限角，若，则__________.

16．等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为__________．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．(本小题满分12分)的内角，，的对边分别为，，，已知

.

(1)求；

(2)若，求面积的最大值．

18． (本小题满分12分)如图，直三棱柱，，分别是，的中点，

.

(1)证明：∥平面；

(2)求二面角的正弦值．

19． (本小题满分12分)经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出该产品获利润500元，未售出的产品，每亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了该农产品．以(单位：，)表示下一个销售季度内的市场需求量， (单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．

(1)将表示为的函数；

(2)根据直方图估计利润不少于57 000元的概率；

(3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，并以需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若需求量，则取，且的概率等于需求量落入的频率)，求的数学期望．

20． (本小题满分12分)平面直角坐标系中，过椭圆： 右焦点的直线交于，两点，为的中点，且的斜率为.

(1)求的方程；

(2)，为上两点，若四边形的对角线，求四边形面积的最大值．

21． (本小题满分12分)已知函数．

(1)设是的极值点，求，并讨论的单调性；

(2)当时，证明.

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22． (本小题满分10分)选修4—1：几何证明选讲

如图，CD为△ABC外接圆的切线，AB的延长线交直线CD于点D，E，F分别为弦AB与弦AC上的点，且BC·AE＝DC·AF，B，E，F，C四点共圆．

(1)证明：CA是△ABC外接圆的直径；

(2)若DB＝BE＝EA，求过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值．

23． (本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程

已知动点，都在曲线： (为参数)上，对应参数分别为与，为的中点．

(1)求的轨迹的参数方程；

(2)将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点．

24． (本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲

设，，均为正数，且，证明：

(1)；

(2).

2013年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类

（全国新课标卷II)

第Ⅰ卷

 (

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．

答案：A

解析：解不等式(x－1)2＜4，得－1＜x＜3，即M＝{x|－1＜x＜3}．而N＝{－1,0,1,2,3}，所以M∩N＝{0,1,2}，故选A.

2．

答案：A

解析：＝＝－1＋i.

3． 

答案：C

解析：设数列{an}的公比为q，若q＝1，则由a5＝9，得a1＝9，此时S3＝27，而a2＋10a1＝99，不满足题意，因此q≠1.

∵q≠1时，S3＝＝a1·q＋10a1，

∴＝q＋10，整理得q2＝9.

∵a5＝a1·q4＝9，即81a1＝9，∴a1＝.

4．

答案：D

解析：因为m⊥α，l⊥m，lα，所以l∥α.同理可得l∥β.

又因为m，n为异面直线，所以α与β相交，且l平行于它们的交线．故选D.

5．

答案：D

解析：因为(1＋x)5的二项展开式的通项为(0≤r≤5，r∈Z)，则含x2的项为＋ax·＝(10＋5a)x2，所以10＋5a＝5，a＝－1.

6．

答案：B

解析：由程序框图知，当k＝1，S＝0，T＝1时，T＝1，S＝1；

当k＝2时，，；

当k＝3时，，；

当k＝4时，，；…；

当k＝10时，，，k增加1变为11，满足k＞N，输出S，所以B正确．

7． 

答案：A

解析：如图所示，该四面体在空间直角坐标系O－xyz的图像为下图：

则它在平面zOx上的投影即正视图为，故选A.

8．

答案：D

解析：根据公式变形，，，，因为lg 7＞lg 5＞lg 3，所以，即c＜b＜a.故选D.

9．

答案：B

解析：由题意作出所表示的区域如图阴影部分所示，

作直线2x＋y＝1，因为直线2x＋y＝1与直线x＝1的交点坐标为(1，－1)，结合题意知直线y＝a(x－3)过点(1，－1)，代入得，所以.

10．

答案：C

解析：∵x0是f(x)的极小值点，则y＝f(x)的图像大致如下图所示，则在(－∞，x0)上不单调，故C不正确．

11．

答案：C

解析：设点M的坐标为(x0，y0)，由抛物线的定义，得|MF|＝x0＋＝5，则x0＝5－.

又点F的坐标为，所以以MF为直径的圆的方程为(x－x0)＋(y－y0)y＝0.

将x＝0，y＝2代入得px0＋8－4y0＝0，即－4y0＋8＝0，所以y0＝4.

由＝2px0，得，解之得p＝2，或p＝8.

所以C的方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.

12． 

答案：B

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答。第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．

13．答案：2

解析：以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则点A的坐标为(0,0)，点B的坐标为(2,0)，点D的坐标为(0,2)，点E的坐标为(1,2)，则＝(1,2)，＝(－2,2)，所以.

14．答案：8

解析：从1,2，…，n中任取两个不同的数共有种取法，两数之和为5的有(1,4)，(2,3)2种，所以，即，解得n＝8.

15．答案： 

解析：由，得tan θ＝，即sin θ＝cos θ.

将其代入sin2θ＋cos2θ＝1，得.

因为θ为第二象限角，所以cos θ＝，sin θ＝，sin θ＋cos θ＝.

16．答案：－49

解析：设数列{an}的首项为a1，公差为d，则S10＝＝10a1＋45d＝0，①

S15＝＝15a1＋105d＝25.②

联立①②，得a1＝－3，，所以Sn＝.

令f(n)＝nSn，则，.

令f′(n)＝0，得n＝0或.

当时，f′(n)＞0,时，f′(n)＜0，所以当时，f(n)取最小值，而n∈N＋，则f(6)＝－48，f(7)＝－49，所以当n＝7时，f(n)取最小值－49.

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．

解：(1)由已知及正弦定理得

sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①

又A＝π－(B＋C)，故

sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②

由①，②和C∈(0，π)得sin B＝cos B，

又B∈(0，π)，所以.

(2)△ABC的面积.

由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－.

又a2＋c2≥2ac，故，当且仅当a＝c时，等号成立．

因此△ABC面积的最大值为.

18．

解：(1)连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点．

又D是AB中点，连结DF，则BC1∥DF.

因为DF⊂平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.

(2)由AC＝CB＝得，AC⊥BC.

以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.

设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)．

设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，

则即

可取n＝(1，－1，－1)．

同理，设m是平面A1CE的法向量，

则可取m＝(2,1，－2)．

从而cos〈n，m〉＝，

故sin〈n，m〉＝，即二面角D－A1C－E的正弦值为.

19．

解：(1)当X∈[100,130)时，T＝500X－300(130－X)＝800X－39 000，

当X∈[130,150]时，T＝500×130＝65 000.

所以

(2)由(1)知利润T不少于57 000元当且仅当120≤X≤150.

由直方图知需求量X∈[120,150]的频率为0.7，所以下一个销售季度内的利润T不少于57 000元的概率的估计值为0.7.

(3)依题意可得T的分布列为

20．

解：(1)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，

则，，，

由此可得.

因为x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2y0，，所以a2＝2b2.

又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2－b2＝3，因此a2＝6，b2＝3.

所以M的方程为.

(2)由，解得或，因此|AB|＝.

由题意可设直线CD的方程为

y＝，设C(x3，y3)，D(x4，y4)．

由得3x2＋4nx＋2n2－6＝0，是x3,4＝.

因为直线CD的斜率为1，所以|CD|＝.

由已知，四边形ACBD的面积.

当n＝0时，S取得最大值，最大值为.

所以四边形ACBD面积的最大值为.

21．

解：(1)f′(x)＝.

由x＝0是f(x)的极值点得f′(0)＝0，所以m＝1.

于是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定义域为(－1，＋∞)，f′(x)＝.

函数f′(x)＝在(－1，＋∞)单调递增，且f′(0)＝0.

因此当x∈(－1,0)时，f′(x)＜0；

当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＞0.

所以f(x)在(－1,0)单调递减，在(0，＋∞)单调递增．

(2)当m≤2，x∈(－m，＋∞)时，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需证明当m＝2时，f(x)＞0.

当m＝2时，函数f′(x)＝在(－2，＋∞)单调递增．

又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，

故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一实根x0，且x0∈(－1,0)．

当x∈(－2，x0)时，f′(x)＜0；

当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)＞0，从而当x＝x0时，f(x)取得最小值．

由f′(x0)＝0得＝，ln(x0＋2)＝－x0，

故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＞0.

综上，当m≤2时，f(x)＞0.

请考生在第22、23、24题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号．

22．

解：(1)因为CD为△ABC外接圆的切线，

所以∠DCB＝∠A，由题设知，

故△CDB∽△AEF，所以∠DBC＝∠EFA.

因为B，E，F，C四点共圆，所以∠CFE＝∠DBC，故∠EFA＝∠CFE＝90°.

所以∠CBA＝90°，因此CA是△ABC外接圆的直径．

(2)连结CE，因为∠CBE＝90°，所以过B，E，F，C四点的圆的直径为CE，由DB＝BE，有CE＝DC，又BC2＝DB·BA＝2DB2，所以CA2＝4DB2＋BC2＝6DB2.

而DC2＝DB·DA＝3DB2，故过B，E，F，C四点的圆的面积与△ABC外接圆面积的比值为.

23．

解：(1)依题意有P(2cos α，2sin α)，Q(2cos 2α，2sin 2α)，

因此M(cos α＋cos 2α，sin α＋sin 2α)．

M的轨迹的参数方程为(α为参数，0＜α＜2π)．

(2)M点到坐标原点的距离

(0＜α＜2π)．

当α＝π时，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．

24．

解：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.

由题设得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1.

所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤.

(2)因为，，，

故≥2(a＋b＋c)，

即≥a＋b＋c，所以≥1.下载本文