习题2：

据说某地汽油的价格是115美分/gal，为了验证这种说法，一位司机开车随机择了一些加油站，得到某年1月和2月的数据如下（不完整）：

2)分别给出1月和2月汽油价格的置信区间（α=0.05）

3)如何给出1月和2月汽油价格差的置信区间（α=0.05）

1．模型建立

    本题中应该假设两个月该地区加油站的油价整体符合正态分布，可以进行正态性检验。随后进行假设检验：

为价格平均值，由此可以得到1月和2月汽油价格的置信区间；

 对于两个月的价格差的区间估计问题，应该分两种情况进行讨论，一种是认为两个月的数据对应行是来自同一个加油站，则首先应求得两个月差价的20组数据，然后在显著性水平α下确定的置信区间：

如果认为两个月的数据是完全随机的，就不能采用1、2月对应数据的差作为新的数据，应采用两总体的t分布检验，可以利用假设检验的命令实现区间估计。

2．程序设计

 问题1和问题2：

 ）对1月和2月的数据分别进行正态性检验：

x1=[119 117 115 116 112 121 115 122 116 118 109 112 119 112 117 113 114 109 109 118];

x2=[118 119 115 122 118 121 120 122 128 116 120 123 121 119 117 119 128 126 118 125];

mu=115;    原始数据

[h1,p1,lstat1,cv1]=lillietest(x1)

[h2,p2,lstat2,cv2]=lillietest(x2)

%进行Lilliefors检验，适用于一般的正态性检验，即Ho:总体服从正态分布，其中，为样本均值和方差估计。

 ）对1和2月的数据分别进行假设检验，并得到置信区间，由于总体方差未知，所以采用t检验法：

      输出均值

 [h1,sig1,ci1,z1]=ttest(x1,mu,0.05)

  [h2,sig2,ci2,z2]=ttest(x2,mu,0.05)

 针对数据的两种可能采用不同的方法对两个月的数据进行区估计，仍采用假设检验的命令：

 假设两个月的数据是对应的：

 ,0.05);

 假设两个月的数据是完全随机的：

 ]=ttest2(x1,x2,0.05);   两个总体的均值的假设检验

3．运行结果和分析

 ）对1月和2月的数据分别进行正态性检验：

h1 =      0

lstat1= 0.09399251105

cv1 =     0.192000000000000

lstat2= 0.131********4013

 接受1、2月数据负总正态分布的假设，可以进行假设检验。

 2）对1月和2月的数据分别进行假设检验

      % mean(x1)

      % mean(x2)

h       接受1月汽油价格为115美分/gal的假设

sig1 =   0.82160061275        

% 

ci1 =

  1.0e+002 *

   1.133388195729442   1.169611804270558 

%1月汽油价格的置信区间，可以看到115在区间内。

z  统计量　 

h      拒绝接受2月汽油价格为115美分/gal的假设

sig2 =   1.3240735570471e-006

ci2 =

  1.0e+002 *

   1.1901262155904   1.224871037844096

%2月汽油价格的置信区间，可以看到115不在区间内

z2 =

    tstat: 6.928134300817383

结果：

接受1月份价格为115美分/gal的假设，其置信区间为

[113.3388，116.9612];

不接受2月份价格为115美分/gal的假设，其置信区间为

[119.0129，122.4871]

3)针对数据的两种可能采用不同的方法对两个月的数据进行区估计，仍采用假设检验的命令：

◆假设两组数据来自同一个加油站

h       

%拒绝x1-x2=0（１、２月份价格不变）的假设，实际上这一问是做区间估计，假％设检验的结果无所谓

.0392********

%x1-x2的置信区间

结果：

，即１、２月份汽油价格差在３.0393~8.1607区间内的概率是９５％。

◆假设两组数据完全

h    ％拒绝１、２月份价格不变的假设

sig4 =　  3.695200350359776e-005

ci4 =　.027*********

％置信区间

结果：

，即１、２月份汽油价格差在3.1727~8.0274区间内的概率是９５％。

两种计算得到的结果略有不同。

4．SIG参数的意义

    进行假设检验时得到的参数ｓｉｇ，其意义为，可以自编程序实现对ｓｉｇ的重现：

 t=(mean(x2)-mu)/(std(x2)/sqrt(20))  %统计量ｔ（２月）

 tt=tcdf(t,19);       %，

 ttt=tpdf(t,19);       %ｔ值对应的概率密度函数值

 =2*(1-tt)       %

 x=-5:0.01:5;          

 plot(x,tpdf(x,19),t,ttt,'r*');     %绘制ｔ（１９）分布的图形，并标记出统计          %量ｔ的位置

结果：

t =          6.928134300817383

同之前直接利用ttest命令得到的结果相同（蓝色标注）。

可以看到统计量的位置已经大大超过了的范围，sig 的值是上图中红点和其关于０点对称的绿点外侧对应的概率，根据其求解过程，可以将其定义为：在一组统计数据下，错误的否定正确的Ho假设的概率。这是建立在假设Ho恒成立的基本前提下的一种判别方法，事实上体现了假设检验的基本思想。

对1月数据进行同样的处理：

习题8：

20名学生参加了某课程进行的、考察同样知识的两次测验，成绩如下表，根据这些数据判断两次检验的难度是否相同。

表：20名学生的两次测验成绩（每列是同一名学生的两次成绩）

1）本题的两个样本不是的。首先应该检验两次测验成绩的差是否符合总体正态分布，如果符合，可以对差进行假设检验的方法进行处理。

[h0,p0]=lillietest(x(1,:)- x(2,:))

2）在正态检验合格的前提下，对两组数据的差，进行假设检验,其中，Ho: x1-x2=0:

mean(x(1,:)-x(2,:))

mu=0;alpha=0.05;

[h1,sig1,ci1,z1]=ttest(x(1,:)-x(2,:),mu,alpha)

2.运行结果和分析

1) 正态性检验的结果：

2) 假设检验的结果：

h1 =       拒绝接受两次考试成绩相同(难度相同)的假设 

sig1 =    考试难度相同但被错认为难度不同的概率，小于=0.05

c     

%置信区间，因考试难度是不能完全的用成绩差的数字大小衡量，所以此指标实际意义不大

 z1 =     tstat: -2.170746061851117

     df: 19

     sd: 6.798606668397500

总之，不能接受前后两次考试难度一样的假设。下载本文