教学目的：理解圆轴扭转的受力和变形特点，剪应力互等定理；掌握圆轴受扭时的内力、应力、变形的计算；熟练掌握圆轴受扭时的强度、刚度计

算。

教学重点：外力偶矩的计算、扭矩图的画法；纯剪切的切应力；圆杆扭转时应力和变形；扭转的应变能。

教学难点：圆杆扭转时截面上切应力的分布规律；切应力互等定理，横截面上切应力公式的推导，扭转变形与剪切变形的区别；掌握扭转时的强度

条件和刚度条件，能熟练运用强度和刚度计算。

教具：多媒体。通过工程实例建立扭转概念，利用幻灯片演示和实物演示表示扭转时的变形。

教学方法：采用启发式教学，通过提问，引导学生思考，让学生回答问题。通过例题、练习和作业熟练掌握强度和刚度计算。本章中给出了具体情

形下具体量的计算公式，记住并会使用这些公式，强调单位的统一，

要求学生在学习和作业中体会。

教学内容：扭转的概念；扭转杆件的内力（扭矩）计算和画扭矩图；切应力互等定理及其应用，剪切胡克定律与剪切弹性模量；扭转时的切应力和

变形，圆杆扭转时截面上切应力的分布规律；扭转杆件横截面上的

切应力计算方法和扭转强度计算方法；扭转杆件变形（扭转角）计

算方法和扭转刚度计算方法。

教学学时：6学时。

教学提纲：3.1 扭转的概念和实例

工程实际中，有很多构件，如车床的光杆、搅拌机轴、汽车传动轴等，都是受扭构件。还有一些轴类零件，如电动机主轴、水轮机主轴、机床传动轴等，除扭转变形外还有弯曲变形，属于组合变形。例如，汽车方向盘下的转向轴，攻螺纹用丝锥的锥杆（图3-1）等，其受力特点是：在杆件两端作用大小相等、方向相反、且作用面垂直于杆件轴线的力偶。在这样一对力偶的作用下，杆件的变形特点是：杆件的任意两个横截面围绕其轴线作相对转动，杆件的这种变形形式称为扭转。扭转时杆件两个横截面相对转动的角度，称为扭转角，一般用φ表示（图3-2）。以扭转变形为主的杆件通常称为轴。截面形状为圆形的轴称为圆轴，圆轴在工程上是常见的一种受扭转的杆件。

图3-1

图3-2

本章主要讨论圆轴扭转时的应力、变形、强度及刚度计算等问题，同时非圆截面杆进行简单介绍。作为扭转问题的应用，介绍了圆柱形密圈螺旋弹簧应力及变形的计算。

3.2 外力偶矩与扭矩的计算 扭矩图

3.2.1 外力偶矩的计算

轴扭转时的外力，通常用外力偶矩e M 表示。但工程上许多受扭构件，如传动轴等，往往并不直接给出其外力偶矩，而是给出轴所传递的功率和转速，这时可用下述方法计算作用于轴上的外力偶矩。

设某轴传递的功率为k P ，转速为n ，单位m in r （每分钟转速），由理论力学可知，该轴的力偶矩e M 为ωk

e P M =

其中，ω为该轴的角速度)s rad (，602n ⨯

=πω。若k P 的单位为千瓦)kw (，则n

P M k e 9549≈ )m N (⋅ )13(- 若k P 的单位为马力)W 5.735hp 1(=，则

n

P M k e 7024≈ )m N (⋅ )23(- 应当指出，外界输入的主动力矩，其方向与轴的转向一致，而阻力矩的方向与轴的转向相反。

3.2.2 扭矩和扭矩图

作用在轴上的外力偶矩e M 确定之后，即可用截面法研究其内力。现以图3-3)(a 所示圆轴为例，假想地将圆轴沿n n -截面分成左、右两部分，保留左部分作为研究对象，图3-3)(b 。由于整个轴是平衡的，所以左部分也处于平衡状态，这就要求截面n n -上的内力系必须归结为一个内力偶矩T ，且由左部分的平衡方程 0=-e M T 得 e M T =

n-上的扭矩，是

左、右两部分在n

n-截面上相互作用的

分布内力系的合力偶矩。扭矩的符号规定

如下：若按右手螺旋法则，把T表示为双

矢量，当双矢量方向与截面的外法线方向

一致时，T为正，反之为负（图3-4）。按

照这一符号规定，图3-3)

(b中所示扭矩T

的符号为正。当保留右部分时，图3-3)

(c，

所得扭矩的大小、符号将与按保留左部图3-3

分计算结果相同，如图3-3。

补充知识：右手手心朝向转动轴并握住它，四指指尖与物体转动方向一致，伸开拇指，若拇指指向与转轴的正向一致，则力对轴的矩为正，反之，为负。

图3-4

若作用于轴上的外力偶多于两个，也与拉伸（压缩）问题中画轴力图一样，往往用图线来表示各横截面上的扭矩沿轴线变化的情况。图中以横轴表示横截面的位置，纵轴表示相应横截面上的扭矩。这种图线称为扭矩图。图3-3)

(d为图3-3)

(a所示受扭圆轴的扭矩图。

例 传动轴如图3-5)(a 所示，主

动轮A 输入功率hp 50=A P ，从动轮

B 、

C 、

D 输出功率分别为

hp 15==C B P P ，hp 20=D P ，轴的转速为m in r 300=n ，试画出轴的扭矩

图。

解 按公式)23(-计算出作用于

各轮上的外力偶矩。

m N 1170m N 300507024⋅=⋅⨯

=eA M 图3-5 m N 351m N 300157024⋅=⋅⨯==eC eB

M M m N 468m N 300

207024⋅=⋅⨯=eD M 从受力情况看出，轴在BC 、CA 、AD 三段内，各截面上的扭矩是不相等的。现在用截面法，根据平衡方程计算各段内的扭矩。

在BC 段内，以1T 表示1-1截面上的扭矩，并假设1T 的方向为正向，如图3-5)(b 所示。由平衡方程

01=+eB M T

得 m N M T eB ⋅-=-=3511

等号右边的负号说明，在图3-5)(b 中对1T 所假定的方向与1-1截面上的实际扭矩方向相反。在BC 段内，各截面上的扭矩不变，皆为m N 351⋅-。所以在这一段内扭矩图为一水平线，如图3-5)(e 。在CA 段内，由图4-5)(c ，得

02=++eB eC M M T m N 7022⋅-=--=eB eC M M T

在AD 段内，由图4-5)(d ，得

03=-eD M T m N 4683⋅==eD M T

根据所得数据，把各截面上的扭矩沿轴线变化的情况，用图3-5)(e 表示出来，

就是扭矩图。从图中看出，最大扭矩发生于CA 段内，且m N 702max ⋅=T

对于同一根轴，若把主动轮A 安置于轴的一端，例如放在右端，则轴的扭矩图将如图3-6所示。这时，轴的最大扭矩是m N 1170max ⋅=T 。可见，传动轴上主动轮和从动轮安置的位置不同，轴所承受的最大扭矩也就不同。两者相比，显然图3-5所示布局比较合理。

图3-6

小结：本节课主要讲了扭转变形的概念，扭矩的计算方法，以及纯剪切的条件下的应变计算。

3.3 纯剪切

在讨论圆轴扭转的应力和变形之前，为了研究切应力和切应变的规律以及两者之间的关系，先考察薄壁圆筒的扭转。

所谓的薄壁圆筒，即是其平均半径r≥10δ的圆筒。

3.3.1 薄壁圆筒扭转时的切应力

图3-7)(a 所示为一等厚薄壁圆筒,受扭前在表面上画上等间距的圆周线和纵向线。实验结果表明，扭转变形后由于截面q q -对截面p p -的相对转动，使得圆周线和纵向线所形成的方格的左、右两边发生相对错动，但圆筒轴线及周线的长度都没有变化。于是可设想，薄壁圆筒扭转变形后，横截面保持为形状、大小均无改变的平面，相邻两横截面只是绕圆筒轴线发生相对转动。因此，圆筒横截面和包含轴的纵向截面上都没有正应力，横截面上各点只有切应力τ，且切应力的方向必与圆周相切。圆筒两端截面之间相对转动的角度，称为相对扭转角，用俯Φ表示，图3-7)(b ，而圆筒表面上每个格子的直角都改变了相同的角度γ，

图3-7)(b 、3-7)(c ，这种直角的改变量γ，称为切应变。

图3-7

由相邻两圆周线间每个格子的直角改变量相等的现象，并根据材料是均匀连续的假设，可以推知，沿圆周各点处切应力的方向与圆周相切，且数值相等，同时，由于筒壁的厚度δ很小，可以认为沿筒壁厚度切应力不变，图3-7)(c 。这样，横截面上内力系组成与外加扭转力偶矩Me 相平衡的内力系。由q q -截面以左的部分圆筒的平衡方程∑=0x M ，得 Me = 2πr τδr

δ

πτ22r M e = )33(- 这里r 是圆筒的平均半径。

式)33(-是基于前面的假设而得到的近似公式，可以证明，当10r t ≤时，该公式足够精确，其误差不超过5%。

3.3.2 切应力互等定律

用相邻的两个横截面和相邻的两个纵向平面，从薄壁圆筒中取出一个单元体，它在三个方向的尺寸分别为x d 、y d 和δ，将其放大为图3-7)(d 。单元体的左右两侧面是薄壁圆筒横截面的一部分，所以在这两个侧面上，没有正应力，只有切应力。这两个面上的切应力皆由式)33(-计算，数值相等，但方向相反，其

力偶矩为x y d )d (⋅⋅⋅δτ。因为单元体是平衡的，由∑=0x F 知，它的上、下两个侧面上存在大小相等、方向相反的切应力τ'，于是又组成力偶矩为y x d )d (⋅⋅⋅'δτ的力偶与上述力偶平衡。

这样，由单元体的平衡条件∑=0y M ，得

=⋅⋅⋅x y t d )d (τy x t d )d (⋅⋅⋅'τ

由此求得 ττ'= )43(- 式)43(-表明，在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等，两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一交线。这就是切应力互等定理，也称为切应力双生定理。

3.3.3 切应变、剪切虎克定律

在上述单元体的上下左右四个侧面上，只有切应力而无正应力，这种情况称为纯剪切。纯剪切常用图3-8所示的平面图形表示。薄壁圆筒扭转时，筒壁各处都处于纯剪切。

图3-8

在纯剪切情况下，单元体的相对两侧面将发生微小的相对错动，图3-7)(e ，原来相互垂直的两个棱边的夹角，改变了一个微量γ，这就是切应变。由图3-7)(b 可以看出，若Φ为薄壁圆筒两端截面的相对转角，l 为圆筒的长度，则切应变应为

l r Φγ=

)(a 式中r 为薄壁圆筒的平均半径。

利用上述薄壁圆筒的扭转，可以实现纯切实验。实验结果表明，当切应力不

超过材料的剪切比例极限p τ时，扭转角Φ与扭转力偶矩e M 成正比。由式)33(-和式)(a 可以看出, Φ与γ只相差一个比例常数，而e M 与τ也只差一个比例常数。所以上述实验结果表明：当切应力不超过材料的剪切比例极限p τ时，切应变γ与切应力τ成正比（图3-9）。这就是材料的剪切虎克定律，可以写成

γτG = )53(-

式中G 为比例常数，称为材料的切变模量。因为γ没有量纲，所以G 的量纲与τ的量纲相同，常用单位是GPa 。钢的G 值约为80GPa 。

图3-9

在讨论拉伸和压缩时，曾引进材料的两个弹性常数：弹性模量E 和泊松比μ。现在又引进一个新的弹性常数：切变模量G 。对各向同性材料，可以证明，三个弹性常数E 、G 、μ之间存在下列关系

)

1(2μ+=E G )63(- 可见，三个弹性常数中只要知道任意两个，另一个就可确定，即三个弹性常数中只有两个是的。

3.4 圆轴扭转时的应力

现在讨论横截面为圆形的直杆受扭时的应力。这要综合研究几何、物理和静力等三方面的关系。

3.4.1 变形几何关系

为了观察圆轴的扭转变形，与薄壁圆筒受扭一样，在圆轴表面上做圆周线和纵向线（在图3-10)(a 中，变形前的纵向线由虚线表示）。在扭转力偶矩e M 作用下，得到与薄壁圆筒受扭时相似的现象。即：各圆周线绕轴线相对地旋转了一个角度，但大小、形状和相邻圆周线间的距离不变。在小变形的情况下，纵向线仍近似地是一条直线，只是倾斜了一个微小的角度。变形前表面上的方格，变形后错动成平行四边形。

根据观察到的现象，做下述基本假设：圆轴扭转变形前原为平面的截面，变形后仍保持为平面，形状和大小不变，半径仍保持为直线，且相邻两截面间的距离不变。这就是圆轴扭转的平面假设。按照这一假设，扭转变形中，圆轴的横截面就像刚性平面一样，绕轴线旋转了一个角度。以平面假设为基础导出的应力和变形计算公式，符合试验结果，且与弹性力学一致，这都足以说明假设是正确的。

在图3-10)(a 中，Φ表示圆轴两端截面的相对转角，称为扭转角。扭转角用弧度来度量。用相邻的横截面p p -和q q -从轴中取出长为dx 的微段，并放大为图3-10)(b 。若截面p p -和q q -的相对转角为Φd ，则根据平面假设，横截面q q -像刚性平面一样，相对于p p -绕轴线旋转了一个角度Φd ，半径Oa 转到了a O '。于是，表面方格abcd 的ab 边相对于cd 边发生了微小的错动，错动的距离是Φd R a a ='，因而引起原为直角的abc ∠角度发生改变，改变量为x R ad

a a d d Φγ='= )(a

图3-10

这就是圆截面边缘上a 点的切应变。显然，γ发生在垂直于半径Oa 的平面内。

根据变形后横截面仍为平面，半径仍为直线的假设，用相同的方法，并参考图3-10)(c ，可以求得距圆心为ρ处的切应变为

x

d d Φργρ= )(b 与式)(a 中的γ一样，ργ也发生在与垂直与半径Oa 的平面内。在)(a 、)(b 两式中，x

d d Φ是扭转角Φ沿x 轴的变化率。对一个给定的截面来说，它是常量。故)(b 式表明，横截面上任意点的切应变与该点到圆心的距离ρ成正比。

3.4.2 物理关系

以ρτ表示横截面上距圆心为ρ处的切应力，由剪切虎克定律知，

ρργτG = )(c

以)(b 式代入上式，

x

G d d Φρτρ= )(d 这表明，横截面上任意点的切应力ρτ与该点到圆心的距离ρ成正比。因为ργ发生在垂直于半径的平面内，所以ρτ也与半径垂直，如再注意到切应力互等定理，则在纵向截面和横截面上，沿半径切应力的分布如图3-11所示。

图3-11 图3-12

因为公式)(d 中的

x

d d Φ尚未求出，所以仍不能用它计算切应力，这就要用静力关系来解决。

3.4.3 静力关系

于横截面内，按极坐标取微面积ρθρd d d =A （图3-12）。dA 上的微内力A d ρτ，对圆心的力矩为A d ρτρ⋅。积分得横截面上内力系对圆心的力矩为⎰⋅A A d ρτρ。可见，这里求出的内力系对圆心的力矩就是截面上的扭矩，即

⎰=A

A T d ρρτ )(e 以)(d 式代入)(e 式，并注意到在给定的截面上，

x d d Φ为常量，于是有 ⎰⎰==A A A x G A T d d d d 2ρΦρτρ )(f

以p I 表示上式中的积分，即

⎰=A

p A I d 2ρ )73(- p I 称为横截面对圆心O 点的极惯性矩。这样，)(f 式便可写成

x GI T p d d Φ= )83(-

从公式)(d 和)83(-中消去x

d d Φ，得 p

I T ρτρ= )93(- 由以上公式，可以算出横截面上距圆心为ρ的任意点的切应力。

在圆截面边缘上，ρ为最大值R ，得最大切应力为

p I TR =

m ax τ )(g 引用记号

R I W p

t = )103(-

t W 称为抗扭截面系数，便可把公式)(g 写成

t

W T =m ax τ )113(- 以上诸式是以平面假设为基础导出的。试验结果表明，只有对横截面不变的圆轴，平面假设才是正确的，所以这些公式只适用于等直圆杆。对圆截面沿轴线变化缓慢的小锥度锥形杆，也可近似地用这些公式计算。此外，导出以上诸式时使用了虎克定律，因而只适用于m ax τ低于剪切比例极限的情况。

导出公式)93(-和)113(-时，引进了截面极惯性矩p I 和抗扭截面系数t W ，现在就来计算这两个量。在实心轴的情况下（图3-12），以ρθρd d dA =代入)73(-式 ⎰⎰⎰====πππθρρρ204

4032322d d d D R A I R A p )123(-

式中D 为圆截面的直径。再由)103(-式求出

1623

3

D R R I W p

t ππ=== )133(-

在空心圆轴的情况下（图3-13），由于截面的空心部分没有内力，所以)(f 式和)73(-式的定积分也不应包括空心部分，于是

⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫-=-==-=-===⎰⎰⎰)1(16)(16 )1(32)(32 d d d 43444444203222αππαππθ

ρρρπD d D D R I W D d D A I p t A p D d )143(- 式中D 和d 分别为空心圆截面的外径和内径，R 为外半径，D d =α。

图3-13

3.4.4 圆轴扭转时的强度条件

圆轴扭转时横截面上的最大工作切应力m a x τ不得超过材料的许用切应力

][τ，即

][max ττ≤ )203(-

式)203(-称为圆轴扭转时的强度条件。

对于等截面圆轴，从轴的受力情况或由扭矩图可以确定最大扭矩m ax T ，最大切应力m ax τ发生于m ax T 所在截面的边缘上。因而强度条件可改写为

][m ax m ax ττ≤=t

W T )213(- 对变截面杆，如阶梯轴、圆锥形杆等，t W 不是常量，m ax τ并不一定发生在扭矩为极值m ax T 的截面上，这要综合考虑扭矩T 和抗扭截面系数t W 两者的变化情况来确定m ax τ。

在静载荷情况下，扭转许用切应力][τ与许用拉应力][σ之间有如下关系：

钢 ])[6.0~5.0(][στ=

铸铁 ])[0.1~8.0(][στ=

轴类零件由于考虑到动载荷等原因，所取许用切应力一般比静载荷的许用切应力还要低。

例 由无缝钢管制成的汽车传动轴AB （图3-14），外径mm 90=D ，壁厚mm 5.2=t ，材料为235Q 。使用时的最大扭矩为m kN 5.1⋅=T 。如材料的许用切应力MPa 60][=τ，试校核AB 轴的强度。

图3-14

解 由AB 轴的几何尺寸计算其抗扭截面系数

944.0905.2290=⨯-==

D d α 333

43

)944.01(1690)1(16mm D W t -⨯=-=παπ329470mm =

轴的最大切应力为

][5110

29470105.193max ττ<=⨯⨯==-MPa Pa W T t 所以AB 轴满足强度条件。

例：如把例上题中的传动轴改为实心轴，要求它与原来的空心轴强度相同。试确定其直径，并比较空心轴和实心轴的重量。

解 因为要求与上题的空心轴强度相同，故实心轴的最大切应力也应为MPa 51，若设实心轴的直径为1D ，则

Pa 1051Pa 16

105.1633max ⨯=⨯==D W T t πτ

m 0531.0m 105116105.13

1631=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯=πD 实心圆轴横截面面积为

2422

2

11m 101.22m 40531.04-⨯=⨯==ππD A

空心圆轴横截面面积为

242622222m 1087.6m 10)8590(44)

(--⨯=⨯-⨯=-=π

πd D A

在两轴长度相等，材料相同的情况下，两轴重量之比等于横截面面积之比。而

31.010

1.221087.4

12=⨯⨯=--A A 可见在载荷相同的条件下，空心轴的重量只为实心轴的31%，其减轻重量节约材料的效果是非常明显的。这是因为横截面上的切应力沿半径按线性规律分布，圆心附近的应力很小，材料没有充分发挥作用。若把轴心附近的材料向边缘移置，使其成为空心轴，就会增大p I 和t W ，从而提高了轴的强度。

例 一钢制阶梯状圆轴如图3-15)(a 所示，已知m kN 101⋅=e M ，m kN 72⋅=e M ，m kN 33⋅=e M ，试计算其最大切应力。

图3-15

解 (1)作扭矩图（如上）

用截面法求出AB 及BC 段横截面上的扭矩分别为

m kN 101⋅-=-=e AB M T

m kN 33⋅-=-=e BC M T

扭矩图如图3-15)(b 所示。

（2）求最大切应力

由图3-15)(b ，可见最大扭矩发生在AB 段，但AB 段横截面直径大，因此，为求最大切应力需分别计算AB 段及BC 段横截面上最大切应力，并进行比较。

MPa 9.50Pa 10

100161010933max =⨯⨯⨯⨯==-πτtAB AB AB W T MPa 7.70Pa 106016103933max =⨯⨯⨯⨯==-πτtBC BC BC

W T 可见，最大切应力发生在BC 段轴的外表面上，其值为MPa 7.70max =τ。

3.5 圆轴扭转时的变形

扭转变形的标志是两个横截面间绕轴线的相对转角，亦即扭转角。由公式)83(-，得

x GI T p

d d =Φ Φd 表示相距为dx 的两个横截面之间的相对扭转角，图3-10)(b 。沿轴线x 积分，即可求得距离为l 的两个横截面之间的相对扭转角为

⎰⎰==l

p l x GI T 0d d ΦΦ )153(- 若在两截面之间T 的值不变，且轴为等直杆，则)153(-式中p

GI T 为常量。例如只在等直圆轴的两端作用扭转力偶时，就是这种情况。这时)153(-式转化为

p

GI Tl =Φ )163(- 上式表明，p GI 越大，则扭转角Φ越小，故p GI 称为圆轴的抗扭刚度。

有时，轴在各段内的T 并不相同，例如例3-1中的情况；或者各段内p I 不同，例如阶梯轴。这就应该分段计算各段的扭转角，然后按代数相加，得两端截面的相对扭转角为

∑==n i pi

i i GI l T 1Φ )173(- 轴类零件除应满足强度要求外，一般还不应有过大的扭转变形。例如，若车床丝杆扭转角过大，会影响车刀进给，降低加工精度；发动机的凸轮轴扭转角过大，会影响气阀开关时间；镗床的主轴或磨床的传动轴如扭转角过大，将引起扭转振动，影响工件的精度和光洁度，所以，要某些轴的扭转变形。

由公式)163(-表示的扭转角与轴的长度l 有关，为消除长度的影响，用Φ对x 的变化率x d d Φ来表示扭转变形的程度。今后用ϕ表示变化率x

d d Φ，由公式)83(-得出

p

GI T x =Φ=d d ϕ )183(- Φ的变化率ϕ是相距为1单位长度的两截面的相对扭转角，称为单位长度扭转角，单位为米弧度)m rad （。若在轴长为l 的范围内T 为常量，且圆轴的截面不变，则p

GI T 为常量，由)163(-式和)183(-式得 l

GI T p Φϕ== )193(- 用ϕ表示单位长度扭转角，有p GI T x ==

d d Φϕ 为保证轴的刚度，通常规定单位长度扭转角的最大值max ϕ不得超过许用单位长度扭转角][ϕ，即

][m ax

m ax ϕϕ≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p GI T )203(- 式)203(-称为圆轴扭转时的刚度条件。式中ϕ的单位为m rad 。工程中，][ϕ的

单位习惯上用m )(︒给出。为此将式)203(-改写为

][180m ax m ax ϕπ

ϕ≤︒⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=p GI T )213(- ][ϕ的数值可由有关手册查出。下面给出几个参考数据：

精密机器的轴 m ))(50.0~25.0(][︒=ϕ

一般传动轴 m ))(0.1~5.0(][︒=ϕ

精度要求不高的轴 m ))(5.2~0.1(][︒=ϕ

例 图3-16)(a 为某组合机床主轴箱内第4轴的示意图。轴上有Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ三个齿轮，动力由5轴经齿轮Ⅲ输送到4轴，再由齿轮Ⅱ和Ⅳ带动1、2和3轴。1和2轴同时钻孔，共消耗功率kW 756.0；3轴扩孔，消耗功率kW 98.2。若4轴的转速为mi n r 5.183，材料为235Q ，G Pa 80=G 。取M P a 40][=τ，

m )(5.1][︒=ϕ，试设计轴的直径。

图3-16

解 为了分析4轴的受力情况，先由公式)13(-计算作用于齿轮Ⅱ和Ⅳ上外力偶矩

m N 3.39m N 5

.183756.095499549⋅=⋅⨯==n P M II II

m N 155m N 5

.18398.295499549⋅=⋅⨯==n P M IV IV II M 和IV M 同为阻抗力偶矩，故转向相同。若5轴经齿轮Ⅲ传给4轴的主动力偶矩为III M ，则III M 的转向应该与阻抗力偶矩的转向相反，图3-16)(b 。于是由平衡方程∑=0x M ，得

0=--IV II III M M M

m N m N M M M IV II III ⋅=⋅+=+=3.194)1553.39(

根据作用于4轴上的II M 、III M 、IV M 的数值，做扭矩图如图3-16)(c 所示。从扭矩图看出，在齿轮Ⅲ和Ⅳ之间，轴的任一横截面上的扭矩皆为最大值，且

m N 155max ⋅=T

由强度条件

][163max max max τπτ≤==

D

T W T t 得 mm 27m 027.0m 104015516][163

1631m ax ==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛≥πτπT D 其次，由刚度条件 ][180321804

2max max max ϕππϕ≤⨯=⨯=

D G T GI T p 得 mm 5.29m 0295.0m 5.1108018015532][180324

129412m ax ==⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⨯⨯≥πϕπG T D 根据以上计算，为了同时满足强度和刚度要求，选定轴的直径mm 30=D 。可见，刚度条件是4轴的控制因素。由于刚度是大多数机床的主要矛盾，所以用刚度作为控制因素的轴是相当普遍的。

例 设有A 、B 两个凸缘的圆轴如图3-17)(a 所示。在扭转力偶矩e M 作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除e M ，图

3-17)(b 。设轴和筒的抗扭刚度分别为11p I G 和22p I G ，试求轴内和筒内的扭矩。

解 由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加扭转力偶矩e M 解除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗其恢复，这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩1T 和2T 。假想把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩，平衡方程是

021=-T T )(a

仅由式)(a 不能解出两个扭矩，所以这是一个静不定问题，应再寻求一个补充方程。

图3-17

焊接前轴在e M 作用下扭转角为

1

1p e I G l M =Φ )(b 这就是图4-18)(c 所示的凸缘B 的水平直径相对于A 转过的角度。在筒与轴相焊接并解除e M 后，因受筒的阻抗，轴的上述变形不能完全恢复，最后协调的位置为aa 。这时圆轴余留的扭转角为1Φ，而圆筒的扭转角为2Φ。显然

ΦΦΦ=+21 )(c

利用虎克定律，由式)(c 得

1

1222111p e p p I G l M I G l T I G l T =+ )(d 从式)(a 、式)(d 可以解出

22112

221p p p e I G I G I G M T T +==

最后，讨论一下空心轴的问题。根据分析可知：若把轴心附近的材料移向边缘，得到空心轴，它可在保持重量不变的情况下，取得较大的p I ，亦即取得较大的刚度。因此，若保持p I 不变，则空心轴比实心轴可少用材料，重量也就较

轻。所以，飞机、轮船、汽车的某些轴常采用空心轴，以减轻重量。车床主轴采用空心轴既提高了强度和刚度，又便于加工长工件。当然，如将直径较小的长轴加工成空心轴，则因工艺复杂，反而增加成本，并不经济，例如车床的光杆一般采用实心轴。此外，空心轴体积较大，在机器中要占用较大空间，而且如轴壁太薄，还会因扭转而不能保持稳定性。

3.6 扭转应变能

这部分内容简单讲解一下

P ττ≤时， P

P GI MeL GI TL ==ϕ Me ∝ϕ 外力功：U Me W ==ϕ2

1，所以P P GI L Me GI L T T U 222122＝==ϕ 主要内容小结：

本章主要介绍了杆件扭转的相关知识。

1、外力偶矩的计算。

2、扭矩和扭矩图。

3、纯剪切。

4、圆轴扭转时的应力和变形，强度条件和刚度条件。下载本文