一、选择题

1．下列函数中，不具有奇偶性的函数是(　　)

A．y＝ex－e－x　　　　　　　B．y＝lg

C．y＝cos2x  D．y＝sinx＋cosx

答案　D

2．(2011·山东临沂)设f(x)是R上的任意函数，则下列叙述正确的是(　　)

A．f(x)f(－x)是奇函数  B．f(x)|f(－x)|是奇函数

C．f(x)－f(－x)是偶函数  D．f(x)＋f(－x)是偶函数

答案　D

3．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于(　　)

A．－x(1－x)  B．x(1－x)

C．－x(1＋x)  D．x(1＋x)

答案　B

解析　当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．

4．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数，则g(x)＝ax3＋bx2＋cx是(　　)

A．奇函数  B．偶函数

C．非奇非偶函数  D．既奇又偶函数

答案　A

解析　由f(x)是偶函数知b＝0，∴g(x)＝ax3＋cx是奇函数．

5．(2010·山东卷)设f(x)为定义在R上的奇函数．当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　)

A．3  B．1

C．－1  D．－3

答案　D

解析　令x≤0，则－x≥0，所以f(－x)＝2－x－2x＋b，又因为f(x)在R上是奇函数，所以f(－x)＝－f(x)且f(0)＝0，即b＝－1，f(x)＝－2－x＋2x＋1，所以f(－1)＝－2－2＋1＝－3，故选D.

6．(2011·北京海淀区)定义在R上的函数f(x)为奇函数，且f(x＋5)＝f(x)，若f(2)>1，f(3)＝a，则(　　)

A．a<－3  B．a>3

C．a<－1  D．a>1

答案　C

解析　∵f(x＋5)＝f(x)，∴f(3)＝f(－2＋5)＝f(－2)，又∵f(x)为奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，又f(2)>1，∴a<－1，选择C.

7．(2010·新课标全国卷)设偶函数f(x)满足f(x)＝x3－8(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝(　　)

A．{x|x<－2或x>4}  B．{x|x<0或x>4}

C．{x|x<0或x>6}  D．{x|x<－2或x>2}

答案　B

解析　当x<0时，－x>0，

∴f(－x)＝(－x)3－8＝－x3－8，

又f(x)是偶函数，

∴f(x)＝f(－x)＝－x3－8，

∴f(x)＝.

∴f(x－2)＝，

或，

解得x>4或x<0.故选B.

二、填空题

8．设函数f(x)＝(x＋1)(x＋a)为偶函数，则a＝________.

答案　－1

解析　f(x)＝x2＋(a＋1)x＋a.

∵f(x)为偶函数，∴a＋1＝0，∴a＝－1.

9．设f(x)＝ax5＋bx3＋cx＋7(其中a，b，c为常数，x∈R)，若f(－2011)＝－17，则f(2011)＝________.

答案　31

解析　f(2011)＝a·20115＋b·20113＋c·2011＋7

f(－2011)＝a(－2011)5＋b(－2011)3＋c(－2011)＋7

∴f(2011)＋f(－2011)＝14，∴f(2011)＝14＋17＝31.

10．函数f(x)＝x3＋sinx＋1的图象关于________点对称．

答案(0,1)

解析　f(x)的图象是由y＝x3＋sin x的图象向上平移一个单位得到的．

11．已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，总有f(x＋2)＝－f(x)成立，则f(19)＝________.

答案　0

解析　依题意得f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，即f(x)是以4为周期的函数，因此有f(19)＝f(4×5－1)＝f(－1)＝f(1)，且f(－1＋2)＝－f(－1)，即f(1)＝－f(1)，f(1)＝0，因此f(19)＝0.

12．定义在(－∞，＋∞)上的函数y＝f(x)在(－∞，2)上是增函数，且函数y＝f(x＋2)为偶函数，则f(－1)，f(4)，f(5)的大小关系是__________．

答案　f(5)解析　∵y＝f(x＋2)为偶函数

∴y＝f(x)关于x＝2对称

又y＝f(x)在(－∞，2)上为增函数

∴y＝f(x)在(2，＋∞)上为减函数，而f(－1)＝f(5)

∴f(5)＜f(－1)＜f(4)．

13．(2011·山东潍坊)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于f(x)的判断：

①f(x)是周期函数；

②f(x)关于直线x＝1对称；

③f(x)在[0,1]上是增函数；

④f(x)在[1,2]上是减函数；

⑤f(2)＝f(0)，

其中正确的序号是________．

答案　①②⑤

解析　由f(x＋1)＝－f(x)得

f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，

∴f(x)是周期为2的函数，①正确，

f(x)关于直线x＝1对称，②正确，

f(x)为偶函数，在[－1,0]上是增函数，

∴f(x)在[0,1]上是减函数，[1,2]上为增函数，f(2)＝f(0)．因此③、④错误，⑤正确．综上，①②⑤正确．

三、解答题

14．已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝x2＋x－2，求f(x)、g(x)的解析式．

答案　f(x)＝x2－2，g(x)＝x

解析　∵f(x)＋g(x)＝x2＋x－2.①

∴f(－x)＋g(－x)＝(－x)2＋(－x)－2.

又∵f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，

∴f(x)－g(x)＝x2－x－2.②

由①②解得f(x)＝x2－2，g(x)＝x.

15．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且函数f(x)在[0,1)上单调递减，并满足f(2－x)＝f(x)，若方程f(x)＝－1在[0,1)上有实数根，求该方程在区间[－1,3]上的所有实根之和．

答案　2

解析　由f(2－x)＝f(x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，又因为函数f(x)是奇函数，则f(x)在(－1,1)上单调递减，根据函数f(x)的单调性，方程f(x)＝－1在(－1,1)上有唯一的实根，根据函数f(x)的对称性，方程f(x)＝－1在(1,3)上有唯一的实根，这两个实根关于直线x＝1对称，故两根之和等于2.

16．已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数．

(Ⅰ)求a，b的值；

(Ⅱ)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

答案　(1)a＝2，b＝1　(2)k<－

解析　(Ⅰ)因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，即＝0⇒b＝1

∴f(x)＝

又由f(1)＝－f(－1)知＝－⇒a＝2.

(Ⅱ)解法一　由(Ⅰ)知f(x)＝，易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．又因f(x)是奇函数，从而不等式：f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0

等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，因f(x)为减函数，由上式推得：

t2－2t>k－2t2.即对一切t∈R有：3t2－2t－k>0，

从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－

解法二　由(Ⅰ)知f(x)＝.又由题设条件得：

＋<0，

即：(22t2－k＋1＋2)(1－2t2－2t)＋(2t2－2t＋1＋2)(1－22t2－k)<0，

整理得23t2－2t－k>1，因底数2>1，故：3t2－2t－k>0

上式对一切t∈R均成立，从而判别式Δ＝4＋12k<0⇒k<－

1．(2010·上海春季高考)已知函数f(x)＝ax2＋2x是奇函数，则实数a＝________.

答案　0

2．(2010·江苏卷)设函数f(x)＝x(ex＋ae－x)(x∈R)是偶函数，则实数a的值为________．

答案　－1

解析　令g(x)＝x，h(x)＝ex＋ae－x，因为函数g(x)＝x是奇函数，则由题意知，函数h(x)＝ex＋ae－x为奇函数，又函数f(x)的定义域为R，∴h(0)＝0，解得a＝－1.

3．(2011·《高考调研》原创题)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且{x|f(x)＞0}＝{x|1＜x＜3}，则f(π)＋f(－2)与0的大小关系是(　　)

A．f(π)＋f(－2)＞0  B．f(π)＋f(－2)＝0

C．f(π)＋f(－2)＜0  D．不确定

答案　C

解析　由已知得f(π)<0，f(－2)＝－f(2)＜0，因此f(π)＋f(－2)＜0.

4．如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上是(　　)

A．增函数且最小值为－5  B．增函数且最大值为－5

C．减函数且最小值为－5  D．减函数且最大值为－5

答案　B

解析　先考查函数f(x)在[－7，－3]上的最值，由已知，当3≤x≤7时，f(x)≥5，则当－7≤x≤－3时，f(－x)＝－f(x)≤－5即f(x)在[－7，－3]上最大值为－5.再考查函数f(x)在[－7，－3]上的单调性，设－7≤x1f(x1)，即f(x)在[－7，－3]上是单调递增的．

5．(08·全国卷Ⅰ)设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为________．

答案　(－1,0)∪(0,1)

解析　由f(x)为奇函数，则不等式化为xf(x)<0

法一：(图象法)由，可得－1法二：(特值法)取f(x)＝x－，则x2－1<0且x≠0，解得－16．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，且f(x)＝，则f(3)＝________.

解析　∵f(x＋1)＝－f(x)，则f(x)＝－f(x＋1)＝－[－f(x＋2)]＝f(x＋2)，则f(x)的周期为2，f(3)＝f(1)＝－1.

7．(2011·深圳)设f(x)＝，又记f1(x)＝f(x)，fk＋1(x)＝f(fk(x))，k＝1,2，…，则f2011(x)＝(　　)

A．－  B．x

C.  D. 

答案　C

解析　由题得f2(x)＝f()＝－，f3(x)＝f(－)＝，f4(x)＝f()＝x，f5(x)＝＝f1(x)，其周期为4，所以f2011(x)＝f3(x)＝.

1．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)，且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0.

(1)证明函数f(x)为周期函数；

(2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2005,2005]上的根的个数，并证明你的结论．

解析　(1)由

⇒⇒f(4－x)＝f(14－x)

⇒f(x)＝f(x＋10)

∴f(x)为周期函数，T＝10.

(2)∵f(3)＝f(1)＝0, f(11)＝f(13)＝f(－7)＝f(－9)＝0

故f(x)在[0,10]和[－10,0]上均有两个解，

从而可知函数y＝f(x)在[0,2005]上有402个解，

在[－2005,0]上有400个解，

所以函数y＝f(x)在[－2005,2005]上有802个解．下载本文