2016年7月

第一章：有理数 

一、有理数的意义

1-1正数和负数

1、为什么初中数学要引入负数？

答：正数和负数是在实际需要中产生的，我们可以用正数和负数来表示相反意义的量。

2、在生产和生活中，相反意义的量主要有哪些？请列举：

答：常见的有：（1）温度高于0度记作“+”，低于0度记作“-”。（2）高度高于海平面记作“+”，低于海平面记作“-”。（3）高于正常水位记作“+”，低于正常水位记作“-”。（4）超过标准重量记作“+”，低于标准重量记作“-”。（5）储蓄中存入为正，取出为负。（6）收入为正，支出为负。（7）盈余为正，亏损为负。（8）上升为正，下降为负。（9）进为正，出为负。（10）增加为正，减少为负。（11）向东为正，向西为负。……

3、你了解以下各种数的定义和范围吗？并举例。

正数：大于0的数，叫做正数。分为正整数和正分数。（a＞0）

负数：小于0的数，叫做负数。分为负整数和负分数。（a＜0）

0：   既不是正数，也不是负数。

整数：正整数、0、负整数统称整数。

分数：正分数、负分数统称分数。

有理数：整数和分数统称有理数。

有理数又分为正有理数、0、负有理数。

非负数：通常又把0和正数称为非负数。（a≥0）

非正数：0和负数称为非正数。（a≤0）

4、有理数的两种分类方法是什么？   

1-2数轴、相反数和绝对值

1-2-1  数轴

1、什么是数轴？你能画好一条数轴吗？

答：规定了原点、正方向、和单位长度的直线。

（所有的有理数都可以用数轴上的点表示。但数轴上的点并不是都表示有理数）。

2、数轴的三要素是什么？数轴的三要素有什么规定？

答：原点（任意、标0）、正方向（向右、箭头）和单位长度（合适）。

3、观察数轴，回答下列问题。

（1）有没有最大的正数？（没有）。有没有最小的正数？（没有）。有没有最小的正整数？（有，是1）。

    （2）有没有最小的负数？（没有）。有没有最大的负数？（没有）。有没有最大的负整数？（有，是-1）。

1-2-2相反数

1、什么是相反数？

答：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数。这两个数叫做互为相反数。

规定：0的相反数是0。数a的相反数是 -a。

2、相反数的几何意义是什么？

答：在数轴上表示互为相反数的两个点，位于原点的两旁，且到原点的距离相等。

3、什么数的相反数是它的本身？（是0）。什么数和它的相反数相等？（是0）。      

4、-a一定是负数吗？为什么？

答：不一定，因为：当a是正数时，-a是负数；当a是负数时，-a是正数；当a是0时，-a也是0。

5、3-5的相反数是什么？

答：是-（3-5）或5-3。

6、a-b的相反数是什么？

答：是-（a-ｂ）或ｂ-ａ。

7、a+b的相反数是什么？

答：是-（a+b）。

8、如果a、b是互为相反数，那么a+b=     。

1-2-3绝对值

1、绝对值的定义是什么（即几何意义）？

答：一个数a的绝对值，就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作| a |。

根据绝对值的概念，可知绝对值是非负数（| a |≥0）。互为相反数的两个数的绝对值相等。（因为它们到原点的距离相等）

2、绝对值的代数意义是什么？

答：（1）一个正数的绝对值是它本身。

（2）一个负数的绝对值是它的相反数。

（3）0的绝对值是0。

3、一个数a的绝对值如何表示？

（1）如果a ＞ 0，那么| a | = a；

（2）如果a ＜ 0，那么|a| = -a；

（3）如果a  = 0，那么|a | = 0。

4、两个负数，绝对值大的反而小。

5、绝对值最小的数是什么？（是０）。什么数的绝对值是它的本身？（正数和0）。什么数的绝对值是它的相反数？（负数）。

6、绝对值是０的数是　　，绝对值是４的数是　　。绝对值是-２的数有没有？（没有）。绝对值不大于３的数有多少？（无数个）。绝对值不大于３的整数有　　　　，正整数有　　　，负整数有　　。

根据上面的例子，我们可以看出：任意一个正数的绝对值，都有两个——它们是互为相反数；没有一个数的绝对值会等于负数。

7、如果|ｘ|＝３.４,那么x=    。|y-５|=6，y=    。  如果|-ｘ|=|-5|，那么ｘ=   。满足|ｘ|≤3的负整数有        。

8、如果|ａ-３|+|ｂ-５|＝０，那么ａ＝　　，ｂ＝　　。

1-3 有理数的大小

1、数轴上数的大小有什么位置关系？

答：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。根据这点，我们可以利用数轴比较数的大小。

正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。

2、两个负数比较大小，绝对值大的反而小。

1-4有理数的加减

1-4-1 有理数的加法

1、有理数加法法则的内容是什么？

（1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。

（2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。

（3）一个数同0相加，仍得这个数。

2、加法交换律：

两个数相加，交换加数的位置，和不变。字母表达式是：a+b=b+a。

3、加法结合律：

三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。字母表达式是：（a+b）+c=a+（b+c）。

思考题：

4、两个正数相加，和一定为（  ），两个负数相加，和一定为（  ）。而正数和负数相加，和可能是（正数、负数或0），为什么？

5、如果a＜0，b＜0，那么a+b   0。为什么？如果a＞0，b＜0， |a|＜|b|，那么a+b  0。如果a＜0，b＞0， |a|＜|b|，那么a+b  0。

6、在有理数加法中，和一定比加数大吗？

1-4-2 有理数的减法

1、有理数减法的意义是什么？

已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算，叫做减法。减法是加法的逆运算。

2、有理数减法法则的内容是什么？

减去一个数，等于加上这个数的相反数。有理数减法法则也可以表示成：a – b = a + （-b）

3、大的数减去小的数，差一定是正数；小的数减去大的数，差一定是负数；两个相等的数相减，差一定是0。

1-4-3 加、减混合运算

1、由于减法可以转化为加法，因此有理数的加减混合运算便可统一成加法运算。

2、在“简化代数和”中，要特别注意符号“+”、“-”的理解和使用：例如，-5+2+3-12我们可以把它们看成是性质符号，将式子看成是省略了加号的代数和，也可将式中的符号看成是运算符号，把式子看成是数的加减混合运算。不过对于一个符号来说，只能一号一用，一号一读。

3、在使用加法交换律交换加数的位置时，一定要连同前面的符号一起交换，千万不能只交换数字。这是最容易出错的地方。

4、几个数相加，可以采用两种方法去做：（1）按照顺序进行计算；（2）可以把几个正数和负数分别结合在一起计算，然后再把正负数相加。（3）利用加法的的运算律进行简便运算。

1-5 有理数的乘除

1-5-1有理数的乘法

1、有理数乘法法则的内容是什么？

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。

任何数同0相乘，都得0。

2、几个有理数相乘，积的符号是如何确定的？

几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定。当负因数有奇数个时，积为负；当负因数有偶数个时，积为正。

几个数相乘，有一个因数为0，积就为0。

3、几个不等于0的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘。

4、乘法交换律：

两个数相乘，交换因数的位置，积不变。ab=ba。

乘法结合律：

三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。（ab）c=a（bc）。

乘法分配律：

一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加。a（b+c）=ab+ac。

5、如果a＜0，b＜0，那么ab   0；a＞0，b＜0，那么ab   0。

1-5-2有理数的除法

1、什么是互为倒数？

如果两个有理数的乘积是1，那么称这两个有理数互为倒数。=1（a≠0）。

2、有理数除法的法则1：

两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0。0不能作除数

  =  （b≠0）

3、有理数除法的法则2：

除以一个不为0的数，等于乘上这个数的倒数。

4、除了0以外，所有的数都有倒数，并且正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。

5、倒数是它本身的数是   ，倒数和它的绝对值相等的数是    ，倒数和它的相反数相等的数是     。

-a的倒数是    （a   O）。

6、如果a＜0，b＜0，那么    0；如果a＞0，b＜0，那么

   0；如果a＝0，b＜0，那么   0。

7、如果两个数a、b是互为倒数，你知道ab=？

1-6有理数的乘方

1、n个相同的因数a相乘，记作。求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。

2、乘方的结果叫幂。相同的因数叫底数，相同因数的个数叫指数。读作a的n次方。看作a的n次方的结果时，也可以读作a的n次幂。

3、一个数可以看作这个数本身的一次方，指数1通常省略不写。

4、正数的任何次幂都是正数，负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。任何数的偶次幂都是一个非负数（≥0）

5、0的任何次幂都得    ，1的任何次幂都得    ，-1的偶次幂是    ，-1的奇次幂是     。（偶数和奇数是如何表示的？）

6、把一个大于10的数记成a×的形式，其中a是整数数位只有一位的数，这种记数法叫做科学记数法。（1≤a＜10） 

7、一个数的科学记数法中，10的指数（n）比原数的整数位数少1，如原数有8位，指数就是7。

8、10的几次方，结果就是1后面带几个0。（你可以举例验证）

9、一个数的平方等于0，这个数是    ；平方等于9的数是   ；等于16呢？有没有平方等于-4的数？（没有）。平方等于它本身的数有那些？（只有2个，是1、0、）。平方等于它的相反数的数有那些？

10、一个数的立方等于0，这个数是    ；立方等于27的数是   ；等于呢？有没有立方等于-8的数？（有，是-2）。立方等于它本身的数有那些？（只有3个，是1、0、-1。）。立方等于它的相反数的数有那些？（只有1个，是0。）。

11、有理数的混合运算

运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减。如果有括号，就先算括号里面的。

1-7近似数

1、一般地，一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位。

2、什么叫有效数字？（补充的内容）

从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫这个数的有效数字。

3、两个近似数1.6和1.60，它们相同吗？为什么？

（答：这两个数大小是相同的，但是它们表示的精确程度是不同的，1.6表示精确到十分位（即0.1），它有两个有效数字，分别是1和6；而1.60表示精确到百分位（即0.01），它有三个有效数字，分别是1、6和0。因此，从这个意义上说，1.6和1.60是不相同的，应特别注意。）下载本文