一、选择题：（每小题3分，共21分）

1．（3分）下列各代数式中是分式的是（）

    A．    2+x    B．        C．        D．    

2．（3分）两年前日本近海发生9.0级强震．该次地震导致地球当天自转快了0.0000016秒．这里的0.0000016用科学记数法表示为（）

    A．    16×10﹣5    B．    1.6×10﹣5    C．    1.6×10﹣7    D．    1.6×10﹣6

3．（3分）要判断甲、乙两队舞蹈队的身高哪队比较整齐，通常需要比较这两队舞蹈队身高的（）

    A．    方差    B．    中位数    C．    众数    D．    平均数

4．（3分）在如图所示的正方形网格中，确定点D的位置，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为等腰梯形．则点D的位置应在（）

    A．    点M处    B．    点N处    C．    点P处    D．    点Q处

5．（3分）将直线y=﹣2x+1向下平移4个单位得到直线l，则直线l的解析式为（）

    A．    y=﹣6x+1    B．    y=﹣2x﹣3    C．    y=﹣2x+5    D．    y=2x﹣3

6．（3分）如图，将一张矩形纸片对折两次后剪下一个角，然后打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕所成的锐角大小是（）

    A．    22.5°    B．    45°    C．    60°    D．    135°

7．（3分）观察下列等式：a1=n，a2=1﹣，a3=1﹣，…；根据其蕴含的规律可得（）

    A．    a2013=n    B．    a2013=    C．    a2013=    D．    a2013=

二、填空题（每小题4分，共40分）

8．（4分）计算：20130+（）﹣1=．

9．（4分）函数y=中自变量x的取值范围是．

10．（4分）为保障公民的人身安全，对醉酒驾车行为（血液酒精含量大于或等于80毫克/百毫升）按刑事犯罪处理．某交警中队于5月1日～5月3日这3天共查到12起酒后驾车事件，这12位驾车者血液酒精含量（单位：毫克/百毫升）如下：26，58，29，92，21，43，24，27，36，46，23，31．则这组数据的极差是毫克/百毫升．

11．（4分）正比例函数y=﹣5x中，y随着x的增大而．

12．（4分）命题“如果x=y，那么|x|=|y|”的逆命题是命题．（填“真”或“假”）

13．（4分）已知晋江市的耕地面积约为375km2，人均占有的土地面积S（单位：km2/人），随全市人口n（单位：人）的变化而变化，则S与n的函数关系式是．

14．（4分）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC=（度）．

15．（4分）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是．（填写一组序号即可）

16．（4分）如图所示的函数图象反映的过程是：小明从家去书店看一会儿书，又去学校取封信后马上回家，其中x表示时间（单位：小时），y表示小明离家的距离（单位：千米），则小明从学校回家的平均速度为千米∕小时．

17．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB=2cm，对角线AC、BD交于点O，点E以一定的速度从A向B移动，点F以相同的速度从B向C移动，连结OE、OF、EF．

（1）△AOE≌△；

（2）线段EF的最小值是cm．

三、解答题（共分）

18．（9分）计算：•﹣．

19．（9分）已知样本数据为1，2，3，4，5，求这个样本的：

（1）平均数；

（2）方差S2．（提示：S2=[x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+（x4﹣）2+（x5﹣）2]）

20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC是∠BAD的角平分线．

求证：△ABC≌△ADC．

21．（9分）某校初一年学生乘车到距学校40千米的社会实践基地进行社会实践．一部分学生乘旅游车，另一部分学生乘中巴车，他们同时出发，结果乘中巴车的同学晚到8分钟．已知旅游车速度是中巴车速度的1.2倍，求中巴车的速度．

22．（9分）为了加强安全教育，2014-2015学年八年级二班参加中小学生安全知识网络竞赛．班长将全班同学的成绩整理后绘制成如下两幅不完整的统计图：

请根据图中所给信息解答下列问题：

（1）2014-2015学年八年级二班共有人，扇形统计图中表示90分的圆心角的度数为（度）；

（2）求全班同学成绩的平均数、众数、中位数．

23．（9分）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．

（1）根据题意将图形补画完整（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）试判断四边形AFCE的形状，并证明你的判断．

24．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+b与x轴交于点A，与双曲线y=﹣在第二象限内交于点B（﹣3，a）．

（1）求a和b的值；

（2）过点B作直线l平行x轴交y轴于点C，求△ABC的面积．

25．（13分）请阅读下列材料：

问题：如图①，将菱形ABCD和菱形BEFG拼接在一起，使得点A，B，E在同一条直线上，点G在BC边上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=120°，试探究PG与PC的位置关系及∠PCG的大小．小明同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小明的思路，探究并解决下列问题：

（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及∠PCG的大小；

（2）将图①中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使点E恰好落在CB的延长线上，原问题中的其他条件不变（如图②）．你在（1）中得到的两个结论是否仍成立？写出你的猜想并加以证明．

26．（13分）如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（﹣12，16），矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．

（1）直接写出线段BO的长；

（2）求直线BD解析式；

（3）若点N在直线BD上，在x轴上是否存在点M，使以M、N、E、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出一个满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

福建省泉州市晋江市2014-2015学年八年级下学期期末数学试卷

参与试题解析

一、选择题：（每小题3分，共21分）

1．（3分）下列各代数式中是分式的是（）

    A．    2+x    B．        C．        D．    

考点：    分式的定义． 

分析：    判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

解答：    解：A、2+x，它是整式．故本选项错误；

B、的分母是常数2，所以它是整式．故本选项错误；

C、的分母是字母x，所以它是分式．故本选项正确；

D、是二次根式，故本选项错误；

故选C．

点评：    本题考查的是分式的定义，在解答此题时要注意分式是形式定义，只要是分母中含有未知数的式子即为分式．

2．（3分）两年前日本近海发生9.0级强震．该次地震导致地球当天自转快了0.0000016秒．这里的0.0000016用科学记数法表示为（）

    A．    16×10﹣5    B．    1.6×10﹣5    C．    1.6×10﹣7    D．    1.6×10﹣6

考点：    科学记数法—表示较小的数． 

分析：    绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

解答：    解：0.000 0016=1.6×10﹣6；

故选：D．

点评：    本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3．（3分）要判断甲、乙两队舞蹈队的身高哪队比较整齐，通常需要比较这两队舞蹈队身高的（）

    A．    方差    B．    中位数    C．    众数    D．    平均数

考点：    统计量的选择；方差． 

分析：    根据方差的定义判断，方差越小数据越稳定．

解答：    解：由于方差是用来衡量一组数据波动大小的量，故判断两队舞蹈队的身高较整齐通常需要比较两个队身高的方差．

故选A．

点评：    本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

4．（3分）在如图所示的正方形网格中，确定点D的位置，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为等腰梯形．则点D的位置应在（）

    A．    点M处    B．    点N处    C．    点P处    D．    点Q处

考点：    等腰梯形的判定；坐标确定位置．

分析：    分别讨论：AB为底，AB为腰的情况，画出图形，即可得出点D的位置．

解答：    解：①若AB为底，如图所示：

此时没有符合题意的点D．

②若AB为腰，如图所示：

此时符合题意的点为点P．

故选C．

点评：    本题考查了等腰梯形的判定，解答本题的关键是掌握等腰梯形的性质，注意结合图形进行判断，这样的题目其实可以每个点都代入试一下．

5．（3分）将直线y=﹣2x+1向下平移4个单位得到直线l，则直线l的解析式为（）

    A．    y=﹣6x+1    B．    y=﹣2x﹣3    C．    y=﹣2x+5    D．    y=2x﹣3

考点：    一次函数图象与几何变换． 

分析：    直接根据“上加下减”的平移规律求解即可．

解答：    解：将直线y=﹣2x+1向下平移4个单位得到直线l，则直线l的解析式为y=﹣2x+1﹣4，即y=﹣2x﹣3．

故选B．

点评：    本题考查了一次函数图象与几何变换，掌握“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．

6．（3分）如图，将一张矩形纸片对折两次后剪下一个角，然后打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕所成的锐角大小是（）

    A．    22.5°    B．    45°    C．    60°    D．    135°

考点：    剪纸问题． 

分析：    根据翻折变换的性质及正方形的判定进行分析从而得到最后答案．

解答：    解：一张长方形纸片对折两次后，剪下一个角，是菱形，而出现的四边形的两条对角线分别是两组对角的平分线，

所以当剪口线与折痕成45°角，菱形就变成了正方形．

故选：B．

点评：    本题考查了剪纸问题、通过折叠变换考查正方形的有关知识及学生的逻辑思维能力，解答此类题最好动手操作，易得出答案．

7．（3分）观察下列等式：a1=n，a2=1﹣，a3=1﹣，…；根据其蕴含的规律可得（）

    A．    a2013=n    B．    a2013=    C．    a2013=    D．    a2013=

考点：    分式的混合运算． 

专题：    规律型．

分析：    归纳总结得到一般性规律，即可得到结果．

解答：    解：由a1=n，得到a2=1﹣=1﹣=，a3=1﹣=1﹣=﹣=，a4=1﹣=1﹣（1﹣n）=n，

以n，，为循环节依次循环，∵2013÷3=671，

∴a2013=．

故选D

点评：    此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

二、填空题（每小题4分，共40分）

8．（4分）计算：20130+（）﹣1=4．

考点：    负整数指数幂；零指数幂． 

分析：    分别根据零指数幂，负指数幂的运算法则计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．

解答：    解：原式=1+3=4，

故答案为：4．

点评：    本题主要考查了零指数幂，负指数幂的运算．负整数指数为正整数指数的倒数；任何非0数的0次幂等于1．

9．（4分）函数y=中自变量x的取值范围是x≠3．

考点：    函数自变量的取值范围． 

分析：    根据分母不等于0列式进行计算即可求解．

解答：    解：根据题意得，x﹣3≠0，

解得x≠3．

故答案为：x≠3．

点评：    本题考查了函数自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：

（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；

（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；

（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．

10．（4分）为保障公民的人身安全，对醉酒驾车行为（血液酒精含量大于或等于80毫克/百毫升）按刑事犯罪处理．某交警中队于5月1日～5月3日这3天共查到12起酒后驾车事件，这12位驾车者血液酒精含量（单位：毫克/百毫升）如下：26，58，29，92，21，43，24，27，36，46，23，31．则这组数据的极差是71毫克/百毫升．

考点：    极差． 

分析：    极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差，由此计算即可．

解答：    解：这组数据的最大数是92，最小数是21，

故这组数据的极差=92﹣21=71．

故答案为：71．

点评：    本题考查了极差的知识，掌握极差的定义是解题关键．

11．（4分）正比例函数y=﹣5x中，y随着x的增大而减小．

考点：    正比例函数的性质．

分析：    直接根据正比例函数的图象与系数的关系进行解答即可．

解答：    解：∵正比例函数y=﹣5x中k=﹣5＜0，

∴y随着x的增大而减小．

故答案为：减小．

点评：    本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数y=kx中，当k＜0时，y随着x的增大而减小是解答此题的关键．

12．（4分）命题“如果x=y，那么|x|=|y|”的逆命题是假命题．（填“真”或“假”）

考点：    命题与定理． 

分析：    对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．

解答：    解：命题：如果x=y，那么|x|=|y|，其逆命题是如果|x|=|y|那么x=y，

是假命题，

故答案为：假．

点评：    考查了命题与定理的知识，根据逆命题的定义回答，题设和结论与原命题要调换位置．

13．（4分）已知晋江市的耕地面积约为375km2，人均占有的土地面积S（单位：km2/人），随全市人口n（单位：人）的变化而变化，则S与n的函数关系式是S=．

考点：    根据实际问题列反比例函数关系式． 

分析：    利用耕地总面积以及总人数，进而表示出人均占有的土地面积．

解答：    解：∵晋江市的耕地面积约为375km2，人均占有的土地面积S（单位：km2/人），随全市人口n（单位：人）的变化而变化，

∴S与n的函数关系式是：S=．

故答案为：S=．

点评：    此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式，得出正确等量关系是解题关键．

14．（4分）如图，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，若∠DBC=50°，则∠ABC=100（度）．

考点：    角平分线的性质． 

分析：    根据到角的两边的距离相等的点在角平分线上可得BD平分∠ABC，再根据∠DBC=50°可得答案．

解答：    解：∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE=DF，

∴BD平分∠ABC，

∴∠ABC=2∠DBC，

∵∠DBC=50°，

∴∠ABC=100°，

故答案为：100．

点评：    此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握到角的两边的距离相等的点在角平分线上．

15．（4分）如图，四边形ABCD的对角线交于点O，从下列条件：①AD∥BC，②AB=CD，③AO=CO，④∠ABC=∠ADC中选出两个可使四边形ABCD是平行四边形，则你选的两个条件是①③．（填写一组序号即可）

考点：    平行四边形的判定． 

专题：    开放型．

分析：    根据AD∥BC可得∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，再证明△AOD≌△COB可得BO=DO，然后再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可得答案．

解答：    解：可选条件①③，

∵AD∥BC，

∴∠DAO=∠OCB，∠ADO=∠CBO，

在△AOD和△COB中，

，

∴△AOD≌△COB（AAS），

∴DO=BO，

∴四边形ABCD是平行四边形．

故答案为：①③．

点评：    此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握对角线互相平分的四边形是平行四边形．

16．（4分）如图所示的函数图象反映的过程是：小明从家去书店看一会儿书，又去学校取封信后马上回家，其中x表示时间（单位：小时），y表示小明离家的距离（单位：千米），则小明从学校回家的平均速度为6千米∕小时．

考点：    函数的图象． 

分析：    由图象可以看出，小明家离学校有6千米，小明用（3﹣2）小时走回家，根据速度=路程÷时间即可求出小明从学校回家的平均速度．

解答：    解：小明从学校回家的平均速度为：6÷1=6千米/时．

故答案为6．

点评：    本题考查了函数的图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，读懂图意是解题的关键．

17．（4分）如图，在正方形ABCD中，AB=2cm，对角线AC、BD交于点O，点E以一定的速度从A向B移动，点F以相同的速度从B向C移动，连结OE、OF、EF．

（1）△AOE≌△BOF；

（2）线段EF的最小值是cm．

考点：    正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 

分析：    根据正方形的对角线互相平分且相等可得AO=BO，∠AOB=90°，对角线平分一组对角可得∠OAE=∠OBF，再根据AE=BF，然后利用“SAS”证明△AOE和△BOF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠AOE=∠BOF，可得∠EOF=90°，然后利用勾股定理列式计算即可得解．

解答：    解：（1）在正方形ABCD中，AO=BO，∠AOB=90°，∠OAE=∠OBF=45°，

∵点E、F的速度相等，

∴AE=BF，

在△AOE和△BOF中，

，

∴△AOE≌△BOF（SAS），

故答案为BOF．

（2）∵△AOE≌△BOF，

∴∠AOE=∠BOF，

∴∠AOE+∠BOE=90°，

∴∠BOF+∠BOE=90°，

∴∠EOF=90°，

在Rt△BEF中，设AE=x，则BF=x，BE=2﹣x，

EF===．

∴当x=1时，EF有最小值为；

故答案为．

点评：    本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，熟记正方形的性质，求出三角形全等的条件是解题的关键．

三、解答题（共分）

18．（9分）计算：•﹣．

考点：    分式的混合运算． 

专题：    计算题．

分析：    原式先计算乘法运算，再计算加减运算即可得到结果．

解答：    解：原式=﹣==．

点评：    此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

19．（9分）已知样本数据为1，2，3，4，5，求这个样本的：

（1）平均数；

（2）方差S2．（提示：S2=[x1﹣）2+（x2﹣）2+（x3﹣）2+（x4﹣）2+（x5﹣）2]）

考点：    方差；算术平均数．

分析：    （1）根据平均数的计算公式代值计算即可；

（2）根据方差公式S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，进行计算即可．

解答：    解：（1）=（1+2+3+4+5）=3；

（2）S2=[（1﹣3）2+（2﹣3）2+（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]=2．

点评：    本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差S2=[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（xn﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．

20．（9分）如图，在四边形ABCD中，AB=AD，AC是∠BAD的角平分线．

求证：△ABC≌△ADC．

考点：    全等三角形的判定． 

专题：    证明题．

分析：    根据角平分线的性质可得∠DAC=∠BAC，从而利用SAS，可判定全等．

解答：    证明：∵AC是∠BAD的角平分线

∴∠DAC=∠BAC，

在△ABC和和△ADC中，

，

∴△ABC≌△ADC（SAS）．

点评：    本题考查了全等三角形的判定，注意熟练掌握全等三角形的判定定理．

21．（9分）某校初一年学生乘车到距学校40千米的社会实践基地进行社会实践．一部分学生乘旅游车，另一部分学生乘中巴车，他们同时出发，结果乘中巴车的同学晚到8分钟．已知旅游车速度是中巴车速度的1.2倍，求中巴车的速度．

考点：    分式方程的应用． 

分析：    关键描述语为：“结果乘中巴车的同学晚到8分钟”；本题的等量关系为：慢车走40千米所用时间﹣=快车走40千米所用时间，把相应数值代入即可求解．

解答：    解：设中巴车的速度为x千米/时，则旅游车的速度为1.2x千米/时，则

﹣=，

解得 x=50，

经检验，x=50是原方程的解，且符合题意．

答：中巴车的速度是50千米/小时．

点评：    此题考查了分式方程的应用，找到合适的等量关系是解决问题的关键，此题的等量关系是快车与慢车所用时间差为8分钟．注意单位要一致．

22．（9分）为了加强安全教育，2014-2015学年八年级二班参加中小学生安全知识网络竞赛．班长将全班同学的成绩整理后绘制成如下两幅不完整的统计图：

请根据图中所给信息解答下列问题：

（1）2014-2015学年八年级二班共有50人，扇形统计图中表示90分的圆心角的度数为57.6（度）；

（2）求全班同学成绩的平均数、众数、中位数．

考点：    条形统计图；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数． 

分析：    （1）根据70分的有20人，所占的比例是40%，据此即可求得总人数，用1减去其它各组所占的比例即可求得90分的人数所占的比例，用360°乘以90分的人数所占的比例即可求得对应的圆心角的度数；

（2）根据加权平均数公式，以及众数、中位数的定义求解．

解答：    解：（1）2014-2015学年八年级二班共有人数：20÷40%=50（人），

90分的人数所占的比例=1﹣30%﹣40%﹣8%﹣2%﹣4%=16%，

则扇形统计图中表示90分的圆心角的度数为：360°×16%=57.6°；

（2）平均数是：=76.2（分），

众数是：70分，

中位数是：（70+80）=75（分）．

点评：    本题考查扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．

23．（9分）如图，矩形ABCD中，对角线AC的垂直平分线交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．

（1）根据题意将图形补画完整（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；

（2）试判断四边形AFCE的形状，并证明你的判断．

考点：    菱形的判定；线段垂直平分线的性质；矩形的性质． 

分析：    （1）分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径四弧交于两点，过两点作直线即可得到线段AC的垂直平分线；

（2）利用垂直平分线证得△AEO≌△CFO即可证得结论．

解答：    解：（1）如图，

（2）四边形AFCE是菱形

证明∵四边形ABCD是矩形

∴AD∥BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵EF是AC的垂直平分线，

∴AO=CO，

又∵∠EOA=∠FOC，

∴△AEO≌△△CFO，

∴AE=CF，

∴四边形AFCE是平行四边形，

又∵AC⊥EF，

∴四边形AFCE是菱形．

点评：    本题考查了基本作图及全等三角形的判定与性质，了解基本作图是解答本题的关键，难度中等．

24．（9分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=﹣x+b与x轴交于点A，与双曲线y=﹣在第二象限内交于点B（﹣3，a）．

（1）求a和b的值；

（2）过点B作直线l平行x轴交y轴于点C，求△ABC的面积．

考点：    反比例函数与一次函数的交点问题． 

专题：    计算题．

分析：    （1）先把B（﹣3，a）代入反比例函数解析式可计算出a=2，得到B点坐标，然后把B点坐标代入y=﹣x+b可计算出b的值；

（2）先利用直线BC平行x轴确定C点坐标为（0，2），然后根据三角形面积公式计算．

解答：    解：（1）把B（﹣3，a）代入y=﹣得﹣3a=﹣6，解得a=2，

则B点坐标为（﹣3，2）

把B（﹣3，2）代入y=﹣x+b得1+b=2，解得b=1；

（2）因为BC平行x轴，

所以C点坐标为（0，2），

所以△ABC的面积=×2×3=3．

点评：    本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式．也考查了待定系数法求函数解析式以及观察函数图象的能力．

25．（13分）请阅读下列材料：

问题：如图①，将菱形ABCD和菱形BEFG拼接在一起，使得点A，B，E在同一条直线上，点G在BC边上，P是线段DF的中点，连接PG，PC．若∠ABC=120°，试探究PG与PC的位置关系及∠PCG的大小．小明同学的思路是：延长GP交DC于点H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．请你参考小明的思路，探究并解决下列问题：

（1）直接写出上面问题中线段PG与PC的位置关系及∠PCG的大小；

（2）将图①中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转，使点E恰好落在CB的延长线上，原问题中的其他条件不变（如图②）．你在（1）中得到的两个结论是否仍成立？写出你的猜想并加以证明．

考点：    菱形的性质；全等三角形的判定与性质． 

分析：    （1）延长GP交DC于点H，构造全等三角形，从而得出DH=GF，PH=PG，进而得出△GCH是等腰三角形，得出PG⊥PC，∠PCG=∠PCH，由∠ABC=120°，得出∠BCD=60°，即可证得∠PCG=30°；

（2）延长GP交AD于点H，先证得△DPH≌△FPG，从而得出PH=PG，DH=FG=BG，进进而证得△CDH≌△CBG，得出CH=CG，∠DCH=∠BCG，即可证得CP⊥PG，由∠HCG=∠HCB+∠BCG=∠HCB+∠DCH=∠DCB=60°，证得∠PCG=∠HCG=30°．

解答：    解：（1）PG⊥PC，∠PCG=30°；

如图①，延长GP交DC于点H，

∵在菱形ABCD和菱形BEFG中，AE∥DC，AE∥GF，

∴DC∥GF，

∴∠PDH=∠PFG，

在△PDH和△PFG中，

，

∴△PDH≌△PFG（ASA），

∴DH=GF，PH=PG，

∵BG=GF，

∴DH=BG，

∵DC=BC，

∴HC=GC，

∴△GCH是等腰三角形，

∴PG⊥PC，∠PCG=∠PCH，

∵∠ABC=120°，

∴∠BCD=60°，

∴∠PCG=30°；

（2）（1）中两个结论仍成立；

证明：如图②，延长GP交AD于点H，连接CG，

∵四边形ABCD和BEFG是菱形

∴AD∥BC，BE∥FG，

∵E在CB的延长线上

∴AD∥FG，

∴∠HDP=∠GFP，

在△DPH和△FPG中，

，

∴△DPH≌△FPG（ASA），

∴PH=PG，DH=FG=BG，

在△CDH和△CBG中，

，

∴△CDH≌△CBG（SAS），

∴CH=CG，∠DCH=∠BCG，

∴CP⊥PG，

∵∠HCG=∠HCB+∠BCG=∠HCB+∠DCH=∠DCB=60°，

∴∠PCG=∠HCG=30°．

点评：    本题考查了菱形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质等，作出辅助线构建全等三角形是本题的关键．

26．（13分）如图，矩形ABCO中，点C在x轴上，点A在y轴上，点B的坐标是（﹣12，16），矩形ABCO沿直线BD折叠，使得点A落在对角线OB上的点E处，折痕与OA、x轴分别交于点D、F．

（1）直接写出线段BO的长；

（2）求直线BD解析式；

（3）若点N在直线BD上，在x轴上是否存在点M，使以M、N、E、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出一个满足条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

考点：    一次函数综合题． 

分析：    （1）根据勾股定理即可求得；

（2）根据△OED∽△OAB，求得D点坐标，然后应用待定系数法即可求得；

（3）先根据相似求得E点的坐标，然后根据EM∥BD和直线BD的解析式为：y=﹣x+10，设出解析式，把E点的坐标代入即可．

解答：    解：（1）20；

（2）∵矩形ABCO中点B的坐标是（﹣12，16），

∴AB=12，OA=16，

设D（0，a）则OD=a，AD=ED=16﹣a，

在Rt△AOB与Rt△EOD中，∠AOB=∠EOD，∠OAB=∠OED=90°，

∴△OED∽△OAB，

∴=，即=，

解得：a=10，

∴D（0，10），

设直线DB的解析式y=kx+b经过B（﹣12，16），D（0，10），

∴有，解得，

∴直线BD的解析式为：y=﹣x+10，

（3）如图2，作EG⊥x轴于G，作EM∥BD交轴与M，MN∥ED交BF于N，

∴四边形DEMN是平行四边形，

∵EG⊥x轴，BC⊥x轴，

∴EG∥BC，

∴==，

∵OB=20，BE=12，BC=16，OC=12，

∴OE=8，

即==，

∴EG=6.4，OG=4.8，

∴E（﹣4.8，6.4），

∵直线BD的解析式为：y=﹣x+10，

∴设直线EM的解析式为：y=﹣x+b，

把E（﹣4.8，6.4）代入得6.4=﹣×（﹣4.8）+b，

解得；b=4，

∴直线EM的解析式y=﹣x+4，

令y=0，则﹣x+4=0，解得x=8，

∴M（8，0）．

点评：    本题考查了待定相似法求解析式，轴对称的性质，三角形相似的判定及性质，两条直线平行其斜率相等是解题中经常用到的依据．下载本文