一．选择题（共15小题）
1．（2014•凉山州）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
| A． ． ． ． |
| 2．（2014•铜仁）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ） A． ． ． ． |
| 3．（2014•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ） A．35° ．45° ．55° ．65° |
| 4．（2014•梅州）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ） A．15° ．20° ．25° ．30° |
| 5．（2014•龙岩）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于（ ） A．40° ．50° ．70° ．80° |
| 6．（2014•张家界）如图，已知a∥b，∠1=130°，∠2=90°，则∠3=（ ） A．70° ．100° ．140° ．170° |
7．（2014•常德）如图，已知AC∥BD，∠CAE=30°，∠DBE=45°，则∠AEB等于（ ） A．30° ．45° ．60° ．75° |
| 8．（2014•）如图，D为△ABC内部一点，E、F两点分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．若CF=6，BF=9，AG=8，则△ADC的面积为何？（ ） A．16 ．24 ．36 ．54 |
| 9．（2014•山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ） A．a2 ．a2 ．a2 ．a2 |
| 10．（2014•黄石）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ） A．30° ．60° ．90° ．120° |
| 11．（2014•长汀县模拟）下列各组数据能组成一个三角形的是（ ） A．1，2，3 ．3，4，5 ．5，5，11 ．4，5，9 |
| 12．（2014•怀化模拟）三角形三边长分别是6，2a﹣2，8，则a的取值范围是（ ） A．1＜a＜2 ．＜a＜2 ．2＜a＜8 ．1＜a＜4 |
| 13．（2014•楚雄州一模）如图，△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A=70°，∠ACB=60°，那么∠BDC=（ ） A．80° ．90° ．100° ．110° |
14．（2014•天水一模）如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°．则∠1=（ ） A．60° ．50° ．45° ．25° |
| 15．（2014•如东县模拟）如图1，已知△ABC的六个元素，则图2甲、乙、丙三个三角形中和图1△ABC全等的图形是（ ） A．甲乙 ．丙 ．乙丙 ．乙 |
16．（2014•连云港）如图，AB∥CD，∠1=62°，FG平分∠EFD，则∠2= _________ ．
| 17．（2014•温州）如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3= _________ 度． |
| 18．（2014•黔西南州）如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=35°，则∠2的度数为 _________ ． |
| 19．（2014•佛山）如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α= _________ ． |
| 20．（2014•齐齐哈尔一模）三角形的三个内角的比为1：3：5，那么这个三角形的最大内角的度数为 _________ ． |
21．（2013•邵阳）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）求∠DFC的度数．
22．（2011•淄博）如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D．若∠1=∠2，∠3=75°，求∠4的度数． |
23．（2010•江宁区一模）如图，△ABC中，AB=AC，D是CA延长线上的一点，且∠B=∠DAM．求证：AM∥BC． |
24．（2005•广东）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，∠1=40°，求∠2的度数． |
25．如图，已知∠B=∠1，∠ECD+∠1=180°，证明：AB∥CD，BF∥CE． |
26．（2014•常州）已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE． 求证：△ACD≌△CBE． |
27．（2014•吉林）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC． |
28．（2014•宜宾）如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC． |
29．（2014•黄冈）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF． |
30．（2014•自贡）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G． （1）求证：AE=CF； （2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小． |
北师大版 初中数学 七年级下册 相交线与平行线、三角形
参与试题解析
一．选择题（共15小题）
1．（2014•凉山州）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 对顶角、邻补角．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据对顶角的特征：有公共顶点，且两边互为反向延长线，对各选项分析判断后利用排除法求解． |
| 解答： | 解：A．∠1、∠2没有公共顶点，不是对顶角，故本选项错误； B．∠1、∠2两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项错误； C．∠1、∠2有公共顶点，两边互为反向延长线，是对顶角，故本选项正确； D．∠1、∠2两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项错误； 故选：C． |
| 点评： | 本题主要考查了对顶角的定义，熟记对顶角的图形特征是解题的关键，是基础题，比较简单． |
2．（2014•铜仁）下列图形中，∠1与∠2是对顶角的是（ ）
| A． | B． | C． | D． |
| 考点： | 对顶角、邻补角．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，进而得出答案． |
| 解答： | 解：利用对顶角的定义可得出： 符合条件的只有C， 故选：C． |
| 点评： | 本题考查了顶角的概念，一定要紧扣概念中的关键词语，如：两条直线相交，有一个公共顶点．反向延长线等． |
3．（2014•河南）如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC，ON⊥OM，若∠AOM=35°，则∠CON的度数为（ ）
| A． | 35° | B． | 45° | C． | 55° | D． | 65° |
| 考点： | 垂线；对顶角、邻补角．菁优网版权所有 |
| 分析： | 由射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°，得出∠MOC=35°，由ON⊥OM，得出∠CON=∠MON﹣∠MOC得出答案． |
| 解答： | 解：∵射线OM平分∠AOC，∠AOM=35°， ∴∠MOC=35°， ∵ON⊥OM， ∴∠MON=90°， ∴∠CON=∠MON﹣∠MOC=90°﹣35°=55°． 故选：C． |
| 点评： | 本题主要考查了垂线和角平分线，解决本题的关键是找准角的关系． |
4．（2014•梅州）如图，把一块含有45°的直角三角形的两个顶点放在直尺的对边上．如果∠1=20°，那么∠2的度数是（ ）
| A． | 15° | B． | 20° | C． | 25° | D． | 30° |
| 考点： | 平行线的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 压轴题． |
| 分析： | 根据两直线平行，内错角相等求出∠3，再求解即可． |
| 解答： | 解：∵直尺的两边平行，∠1=20°， ∴∠3=∠1=20°， ∴∠2=45°﹣20°=25°． 故选：C． |
| 点评： | 本题考查了两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质是解题的关键． |
5．（2014•龙岩）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于（ ）
| A． | 40° | B． | 50° | C． | 70° | D． | 80° |
| 考点： | 平行线的性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据平角的定义求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等解答． |
| 解答： | 解：∵∠1=∠2，∠3=40°， ∴∠1=×（180°﹣∠3）=×（180°﹣40°）=70°， ∵a∥b， ∴∠4=∠1=70°． 故选：C． |
| 点评： | 本题考查了平行线的性质，平角等于180°，熟记性质并求出∠1是解题的关键． |
6．（2014•张家界）如图，已知a∥b，∠1=130°，∠2=90°，则∠3=（ ）
| A． | 70° | B． | 100° | C． | 140° | D． | 170° |
| 考点： | 平行线的性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 延长∠1的边与直线b相交，然后根据两直线平行，同旁内角互补求出∠4，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． |
| 解答： | 解：如图，延长∠1的边与直线b相交， ∵a∥b， ∴∠4=180°﹣∠1=180°﹣130°=50°， 由三角形的外角性质，∠3=∠2+∠4=90°+50°=140°． 故选：C． |
| 点评： | 本题考查了平行线的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并作出辅助线是解题的关键． |
7．（2014•常德）如图，已知AC∥BD，∠CAE=30°，∠DBE=45°，则∠AEB等于（ ）
| A． | 30° | B． | 45° | C． | 60° | D． | 75° |
| 考点： | 平行线的性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 过E作EF∥AC，然后根据平行线的传递性可得EF∥BD，再根据平行线的性质可得∠B=∠2=45°，∠1=∠A=30°，进而可得∠AEB的度数． |
| 解答： | 解：过E作EF∥AC， ∵AC∥BD， ∴EF∥BD， ∴∠B=∠2=45°， ∵AC∥EF， ∴∠1=∠A=30°， ∴∠AEB=30°+45°=75°， 故选：D． |
| 点评： | 此题主要考查了平行线的性质，关键是掌握两直线平行，内错角相等． |
8．（2014•）如图，D为△ABC内部一点，E、F两点分别在AB、BC上，且四边形DEBF为矩形，直线CD交AB于G点．若CF=6，BF=9，AG=8，则△ADC的面积为何？（ ）
| A． | 16 | B． | 24 | C． | 36 | D． | 54 |
| 考点： | 三角形的面积；矩形的性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 由于△ADC=△AGC﹣△ADG，根据矩形的性质和三角形的面积公式计算即可求解． |
| 解答： | 解：△ADC=△AGC﹣△ADG =×AG×BC﹣×AG×BF =×8×（6+9）﹣×8×9 =60﹣36 =24． 故选：B． |
| 点评： | 考查了三角形的面积和矩形的性质，本题关键是活用三角形面积公式进行计算． |
9．（2014•山西）如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC=2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD的边长为a，则重叠部分四边形EMCN的面积为（ ）
| A． | a2 | B． | a2 | C． | a2 | D． | a2 |
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；正方形的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 几何图形问题． |
| 分析： | 作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解． |
| 解答： | 解：作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD=90°， 又∵∠EPM=∠EQN=90°， ∴∠PEQ=90°， ∴∠PEM+∠MEQ=90°， ∵三角形FEG是直角三角形， ∴∠NEF=∠NEQ+∠MEQ=90°， ∴∠PEM=∠NEQ， ∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC=∠EQC=90°， ∴EP=EQ，四边形PCQE是正方形， 在△EPM和△EQN中， ， ∴△EPM≌△EQN（ASA） ∴S△EQN=S△EPM， ∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积， ∵正方形ABCD的边长为a， ∴AC=a， ∵EC=2AE， ∴EC=a， ∴EP=PC=a， ∴正方形MCQE的面积=a×a=a2， ∴四边形EMCN的面积=a2， 故选：D． |
| 点评： | 本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN． |
10．（2014•黄石）如图，一个矩形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1+∠2的度数是（ ）
| A． | 30° | B． | 60° | C． | 90° | D． | 120° |
| 考点： | 直角三角形的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 常规题型． |
| 分析： | 根据直角三角形两锐角互余解答． |
| 解答： | 解：由题意得，剩下的三角形是直角三角形， 所以，∠1+∠2=90°． 故选：C． |
| 点评： | 本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，熟记性质是解题的关键． |
11．（2014•长汀县模拟）下列各组数据能组成一个三角形的是（ ）
| A． | 1，2，3 | B． | 3，4，5 | C． | 5，5，11 | D． | 4，5，9 |
| 考点： | 三角形三边关系．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据三角形的三边关系“三角形的两边之和大于第三边”进行分析判断． |
| 解答： | 解：A、2+1=3，不能组成三角形； B、3+4＞5，能够组成三角形； C、5+5＜11，不能够组成三角形； D、4+5=9，不能够组成三角形． 故选B． |
| 点评： | 此题主要考查了三角形的三边关系．验证的简便方法是将较短两边之和与较长边比较． |
12．（2014•怀化模拟）三角形三边长分别是6，2a﹣2，8，则a的取值范围是（ ）
| A． | 1＜a＜2 | B． | ＜a＜2 | C． | 2＜a＜8 | D． | 1＜a＜4 |
| 考点： | 三角形三边关系．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，即可求解． |
| 解答： | 解：由于在三角形中任意两边之和大于第三边， ∴2a﹣2＜6+8，即a＜8， 任意两边之差小于第三边， ∴2a﹣2＞8﹣6，即a＞2， ∴2＜a＜8， 故选：C． |
| 点评： | 本题考查了三角形的三边关系．此类求三角形第三边的范围的题，实际上就是根据三角形三边关系定理列出不等式，然后解不等式即可． |
13．（2014•楚雄州一模）如图，△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A=70°，∠ACB=60°，那么∠BDC=（ ）
| A． | 80° | B． | 90° | C． | 100° | D． | 110° |
| 考点： | 三角形的外角性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据角平分线的定义求出∠ACD，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解． |
| 解答： | 解：∵CD是∠ACB的平分线， ∴∠ACD=∠ACB=×60°=30°， ∴∠BDC=∠ACD+∠A=30°+70°=100°． 故选C． |
| 点评： | 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质是解题的关键． |
14．（2014•天水一模）如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，∠D=25°．则∠1=（ ）
| A． | 60° | B． | 50° | C． | 45° | D． | 25° |
| 考点： | 三角形的外角性质；三角形内角和定理．菁优网版权所有 |
| 分析： | 先根据三角形外角的性质求出∠ABD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论． |
| 解答： | 解：∵∠ABD是△ABC的外角，∠A=60°，∠C=50°， ∴∠ABD=∠A+∠C=60°+50°=110°， 在△BDE中， ∵∠D=25°，∠ABD=110°， ∴∠1=180°﹣25°﹣110°=45°． 故选C． |
| 点评： | 本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解答此题的关键． |
15．（2014•如东县模拟）如图1，已知△ABC的六个元素，则图2甲、乙、丙三个三角形中和图1△ABC全等的图形是（ ）
| A． | 甲乙 | B． | 丙 | C． | 乙丙 | D． | 乙 |
| 考点： | 全等三角形的判定．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据全等三角形的判定定理（SAS，ASA，AAS，SSS）逐个判断即可． |
| 解答： | 解：已知图1的△ABC中，∠B=50°，BC=a，AB=c，AC=b，∠C=58°，∠A=72°， 图2中，甲：只有一个角和∠B相等，没有其它条件，不符合三角形全等的判定定理，即和△ABC不全等； 乙：符合SAS定理，能推出两三角形全等； 丙：符合AAS定理，能推出两三角形全等； 故选C． |
| 点评： | 本题考查了全等三角形的判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS． |
二．填空题（共5小题）
16．（2014•连云港）如图，AB∥CD，∠1=62°，FG平分∠EFD，则∠2= 31° ．
| 考点： | 平行线的性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据两直线平行，同位角相等可得∠EFD=∠1，再根据角平分线的定义可得∠2=∠EFD． |
| 解答： | 解：∵AB∥CD， ∴∠EFD=∠1=62°， ∵FG平分∠EFD， ∴∠2=∠EFD=×62°=31°． 故答案为：31°． |
| 点评： | 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，是基础题，熟记性质是解题的关键． |
17．（2014•温州）如图，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1=45°，∠2=35°，则∠3= 80 度．
| 考点： | 平行线的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 根据平行线的性质求出∠C，根据三角形外角性质求出即可． |
| 解答： | 解：∵AB∥CD，∠1=45°， ∴∠C=∠1=45°， ∵∠2=35°， ∴∠3=∠∠2+∠C=35°+45°=80°， 故答案为：80． |
| 点评： | 本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质的应用，解此题的关键是求出∠C的度数和得出∠3=∠2+∠C． |
18．（2014•黔西南州）如图，已知a∥b，小亮把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=35°，则∠2的度数为 55° ．
| 考点： | 平行线的性质；余角和补角．菁优网版权所有 |
| 分析： | 先根据三角板的直角顶点在直线b上求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论． |
| 解答： | 解：∵三角板的直角顶点在直线b上，∠1=35°， ∵a∥b， ∴∠3=∠1=35°， ∴∠4=90°﹣∠3=55°， ∴∠2=∠3=55°． 故答案为：55°． |
| 点评： | 本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． |
19．（2014•佛山）如图是一副三角板叠放的示意图，则∠α= 75° ．
| 考点： | 三角形的外角性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 首先根据三角板度数可得：∠ACB=90°，∠1=45°，再根据角的和差关系可得∠2的度数，然后再根据三角形内角与外角的关系可得答案． |
| 解答： | 解：∵∠ACB=90°，∠1=45°， ∴∠2=90°﹣45°=45°， ∴∠α=45°+30°=75°， 故答案为：75°． |
| 点评： | 此题主要考查了三角形外角的性质，关键是掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． |
20．（2014•齐齐哈尔一模）三角形的三个内角的比为1：3：5，那么这个三角形的最大内角的度数为 100° ．
| 考点： | 三角形内角和定理．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 设三角形三个角的度数分别为x，3x，5x，根据三角形内角和定理得x+3x+5x=180°，解得x=20°，然后计算5x即可． |
| 解答： | 解：设三角形三个角的度数分别为x，3x，5x， 所以x+3x+5x=180°，解得x=20°， 所以5x=100°． 故答案为100°． |
| 点评： | 本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为180°． |
三．解答题（共10小题）
21．（2013•邵阳）将一副三角板拼成如图所示的图形，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．
（1）求证：CF∥AB；
（2）求∠DFC的度数．
| 考点： | 平行线的判定；角平分线的定义；三角形内角和定理．菁优网版权所有 |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | （1）首先根据角平分线的性质可得∠1=45°，再有∠3=45°，再根据内错角相等两直线平行可判定出AB∥CF； （2）利用三角形内角和定理进行计算即可． |
| 解答： | （1）证明：∵CF平分∠DCE， ∴∠1=∠2=∠DCE， ∵∠DCE=90°， ∴∠1=45°， ∵∠3=45°， ∴∠1=∠3， ∴AB∥CF（内错角相等，两直线平行）； （2）∵∠D=30°，∠1=45°， ∴∠DFC=180°﹣30°﹣45°=105°． |
| 点评： | 此题主要考查了平行线的判定，以及三角形内角和定理，关键是掌握内错角相等，两直线平行． |
22．（2011•淄博）如图，直线AB，CD分别与直线AC相交于点A，C，与直线BD相交于点B，D．若∠1=∠2，∠3=75°，求∠4的度数．
| 考点： | 平行线的判定与性质．菁优网版权所有 |
| 分析： | 根据平行线的判定得出AB∥CD，从而得出∠3=∠4，即可得出答案． |
| 解答： | 解：∵∠1=∠2， ∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）， ∴∠4=∠3=75°（两直线平行，内错角相等）． |
| 点评： | 本题主要考查了平行线的判定与性质，比较简单． |
23．（2010•江宁区一模）如图，△ABC中，AB=AC，D是CA延长线上的一点，且∠B=∠DAM．求证：AM∥BC．
| 考点： | 平行线的判定．菁优网版权所有 |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | 判别两条直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．要证明AM∥BC，只要转化为证明∠C=∠DAM即可． |
| 解答： | 证明：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵∠B=∠DAM， ∴∠C=∠DAM， ∴AM∥BC． |
| 点评： | 本题主要考查了平行线的判定，注意等量代换的应用． |
24．（2005•广东）如图，AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EG平分∠AEF，∠1=40°，求∠2的度数．
| 考点： | 平行线的性质；对顶角、邻补角．菁优网版权所有 |
| 专题： | 计算题． |
| 分析： | 根据平行线的性质“两直线平行，内错角相等”，再利用角平分线的性质推出∠2=180°﹣2∠1，这样就可求出∠2的度数． |
| 解答： | 解：∵AB∥CD， ∴∠1=∠AEG． ∵EG平分∠AEF， ∴∠1=∠GEF，∠AEF=2∠1． 又∵∠AEF+∠2=180°， ∴∠2=180°﹣2∠1=180°﹣80°=100°． |
| 点评： | 两条平行线被第三条直线所截，解答此类题关键是在复杂图形之中辨认出应用性质的基本图形，从而利用性质和已知条件计算． |
25．如图，已知∠B=∠1，∠ECD+∠1=180°，证明：AB∥CD，BF∥CE．
| 考点： | 平行线的判定．菁优网版权所有 |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | 根据平行线的判定定理即可直接证明AB∥CD，根据∠2于∠1是对顶角，然后根据同旁内角互补，两直线平行，即可证得BF∥CE． |
| 解答： | 证明：∵∠B=∠1， ∴AB∥CD； ∵∠1=∠2，且∠ECD+∠1=180°， ∴∠ECD+∠2=180°， ∴BF∥CE． |
| 点评： | 本题考查了平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． |
26．（2014•常州）已知：如图，点C为AB中点，CD=BE，CD∥BE．
求证：△ACD≌△CBE．
| 考点： | 全等三角形的判定．菁优网版权所有 |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | 根据中点定义求出AC=CB，根据两直线平行，同位角相等，求出∠ACD=∠B，然后利用SAS即可证明△ACD≌△CBE． |
| 解答： | 证明：∵C是AB的中点（已知）， ∴AC=CB（线段中点的定义）． ∵CD∥BE（已知）， ∴∠ACD=∠B（两直线平行，同位角相等）． 在△ACD和△CBE中， ， ∴△ACD≌△CBE（SAS）． |
| 点评： | 本题主要考查了全等三角形的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． |
27．（2014•吉林）如图，△ABC和△DAE中，∠BAC=∠DAE，AB=AE，AC=AD，连接BD，CE，求证：△ABD≌△AEC．
| 考点： | 全等三角形的判定．菁优网版权所有 |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | 根据∠BAC=∠DAE，可得∠BAD=∠CAE，再根据全等的条件可得出结论． |
| 解答： | 证明：∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAC﹣∠BAE=∠DAE﹣∠BAE， 即∠BAD=∠CAE， 在△ABD和△AEC中， ， ∴△ABD≌△AEC（SAS）． |
| 点评： | 本题考查了全等三角形的判定，判断三角形全等的方法有：SSS，SAS，ASA，AAS，以及判断两个直角三角形全等的方法HL． |
28．（2014•宜宾）如图，已知：在△AFD和△CEB中，点A、E、F、C在同一直线上，AE=CF，∠B=∠D，AD∥BC．求证：AD=BC．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；平行线的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | 根据平行线求出∠A=∠C，求出AF=CE，根据AAS证出△ADF≌△CBE即可． |
| 解答： | 证明：∵AD∥BC， ∴∠A=∠C， ∵AE=CF， ∴AE+EF=CF+EF， 即AF=CE， ∵在△ADF和△CBE中 ， ∴△ADF≌△CBE（AAS）， ∴AD=BC． |
| 点评： | 本题考查了平行线的性质和全等三角形的性质和判定的应用，判定两三角形全等的方法有：SAS、ASA、AAS、SSS． |
29．（2014•黄冈）已知，如图所示，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：DE=DF．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 证明题． |
| 分析： | 连接AD，利用SSS得到三角形ABD与三角形ACD全等，利用全等三角形对应角相等得到∠EAD=∠FAD，即AD为角平分线，再由DE⊥AB，DF⊥AC，利用角平分线定理即可得证． |
| 解答： | 证明：连接AD， 在△ACD和△ABD中， ， ∴△ACD≌△ABD（SSS）， ∴∠EAD=∠FAD，即AD平分∠EAF， ∵DE⊥AE，DF⊥AF， ∴DE=DF． |
| 点评： | 此题考查了全等三角形的判定与性质，以及角平分线定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． |
30．（2014•自贡）如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE=BF，EF与BC交于点G．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠ABE=55°，求∠EGC的大小．
| 考点： | 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的性质．菁优网版权所有 |
| 专题： | 几何综合题． |
| 分析： | （1）利用△AEB≌△CFB来求证AE=CF． （2）利用角的关系求出∠BEF和∠EBG，∠EGC=∠EBG+∠BEF求得结果． |
| 解答： | （1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC， ∵BE⊥BF， ∴∠FBE=90°， ∵∠ABE+∠EBC=90°，∠CBF+∠EBC=90°， ∴∠ABE=∠CBF， 在△AEB和△CFB中， ∴△AEB≌△CFB（SAS）， ∴AE=CF． （2）解：∵BE⊥BF， ∴∠FBE=90°， 又∵BE=BF， ∴∠BEF=∠EFB=45°， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ABC=90°， 又∵∠ABE=55°， ∴∠EBG=90°﹣55°=35°， ∴∠EGC=∠EBG+∠BEF=45°+35°=80°． |
| 点评： | 本题主要考查了正方形，三角形全等判定和性质及等腰三角形，解题的关键是求得△AEB≌△CFB，找出相等的线段． |
