1 不等式性质
1、不等式的性质：课本性质请自己整理。 注意：如果对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，如果正负号未定，要注意分类讨论。
如（1）对于实数中，给出下列命题：①
；②；③；④；⑤
；⑥；⑦；⑧，则。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）；
（2）已知，则的取值范围是______（答：）；（3）已知，且则
的取值范围是______（答：）
2.比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量（一般先把要比较的代数式与“0”比，与“1”比，然后再比较它们的大小）或放缩法 ；(8)图象法：利用有关函数的图象（指数函数、对数函数、二次函数、三角函数的图象），直接比较大小。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 一、a b -与0比较大小。 1、基本功练习 1.1 比较3(1)2a +
+
与3
4(1a
--的大小。 解析：注意立方和差公式。
3322
()()a b a b a ab b +=+-+ 3322()()a b a b a ab b -=-++
1.2 比较22123x +与32120x +的大小，其中x R ∈。
1.3 ,a b 都是正数，比较11
2222()()a b
b a
+
大小。
1.4 比较62019x +与422018x x ++的大小，其中
x R ∈。
1.5 已知,,,a b c d ∈{正实数}，且b c <，比较ab d +与
ac bc d ++的大小。
1.6 已知0,1,0x x m n >≠>>，比较1
m m x x
+
与1
n n
x x +
的大小。 1、综合能力提升
2.1 已知正数,,a b c 满足lg a 、lg b 、lg c 成等差数列，比较222a b c -+与2
()a b c -+的大小。
2.2 已知420202A x =+，3222019B x x =++，
x R ∈，比较A 与B 的大小。
2.3 设,a b 都是正实数，且a b ≠，比较55a b +与
3223a b a b +的大小。
2.4 设,a b 都是正实数，*
,m n N ∈，且1m n ≤≤，比较n n a b +与n m m m n m a b a b --+的大小。 二、
a
b
作商与1比较大小。 1、基本功练习
1.1 比较1816与1618的大小
1.2 比较
的大小。 1.3
2、能力提升
2.1 设,a b 都是正实数，比较2
a b +与1
()b a
a b a b +的大小。
,,a b c 22,a b ac bc >>若则22,ac bc a b >>若则220,a b a ab b <<>>若则11
0,a b a b <<<若则0,b a
a b a b
<<>若则
0,a b a b <<>若则0,a b c a b c a c b >>>>--若则
11
,a b a b
>>若0,0a b ><11x y -≤+≤13x y ≤-≤3x y -137x y ≤-≤a b c >>0,a b c ++=c a 12,2⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭
2.2 设,a b 都是正实数，且a b ≠，比较a b a b 与b a a b 的大小。
解析：即可用作商也可用作差。
2.3 已知{lg ,110}x y y t t ∈=<<，比较log (1)a x -与log (1)a x +的大小。
3
2×3次方后比较大小，去根号。
4、1()(1)(1)p q
p q p q x
x x x x ++-+=++，因式分解的
一种题型。
5、特值法是判断不等式命题是否成立的一种方法，此法尤其适用于不成立的命题。
2 基本不等式
1、基本不等式证明不等式。（应用）
1.1 设,,a b c 都是正数，求证：
bc ca ab a b c a b c
++≥++。 解析：不等号两边同时乘以2.
1.2 已知,a b 是正数，2c a b >+，求证： （1）2c ab >
（2
）c a c <<解析：第一问不等号两边同时平方。
第二问变型为a c -<然后两边同时平
方。
1.3
,,a b c 都是正数，求证
：
)a b c ≥++。
解析：找2
2
a b +与()a b +的关系。注意：
222a b ab +≥，两边同时加22a b +即可。
1.4 ,,a b c 是不全相等的正数，求证：
222222()()()6a b c b c a c a b abc +++++>。
1.5 设,,a b c 是正数，求证：
3332221
()()3
a b c a b c a b c ++≥++++。
解析：本题属于难题：要由基本不等式引申得到
22()()2()a b a b ab a b ++≥+，所以
3322a b a b ab +≥+
想办法凑出
1
3
等其他部分。 1.6
,,a b c
都是正数，求证：
444()a b c abc a b c ++≥++
1.7
设
,a b 是实数，求证：
0.511
log (
)144a
b a b +≤+-。 2
、2
a b +≥求最大值最小值。
注意： 利用重要不等式求函数最值时， “一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”常用的方法为：拆、凑、平方。
如1.的最小值。 2.的最小值
3.
的最大值。
4. 的最小值
5.若，则的最小值是______
6.正数满足，则的最小值为_____。
7.常用不等式有：
（1） （请尝试自己证明上述不等式) ；
（2）a 、b 、c R ，（当且仅当时，取等号）； （3）若，则
。 1y x x
=
+2y 4
23(0)y x x x =-->423(0)y x x x
=-->21x y +=24x y +,x y 21x y +=11
x
y
+22
11a b a b
+≥+∈222a b c ab bc ca ++≥++a b c ==0,0a b m >>>b b m
a a m
+<+
如果正数、满足，则的取值范围是_________（答：） 1.1 设,x y 都是正实数，且14
1x y
+=，求x y +的最小值。
解析：令14()()x y x y x y
+=++
。 1.2 设,a b 都是正实数，且1a b +=，则ab 的最大值是 。
1.3 ,a b 是两个不同的正数，且22
124
a b +
=，则2ab 与22
a b 的大小关系是 。 1.4 已知a b c >>
与2
a c
-的大小关系是 。
3 一元二次不等式 1、一元二次不等式的解法
1.1 解不等式2251629x x x -++≥+
1.2 （1）2
2
20x ax a --<，（2）(1)x x a a -+< 解析：含参问题需要分类讨论。
1.3 解关于x 的不等式2
2
2
2
()(1)x a a x a a a -+++> 1.4 解关于x 的不等式230x mx m -->。
1.5 已知2
20ax x v ++>的解集为11
{}32
x -<<，求
a 和c ，并解不等式220cx x a -+->。
1.6 已知不等式2
2
(45)4(1)30m m x m x +---+>对于一切实数恒成立，求实数m 的取值范围。 1.7 已知二次函数2
()(0)f x ax bx a =+≠满足
1(1)2,3(1)4f f ≤-≤≤≤，求(2)f -的取值范围。
2、可以转化为一元二次方程的问题
2.1 解不等式
2
(3)(6)7
721
x x x x -+-≥-+ 2.2 解关于x 的不等式(1)
1(1)2
a x a x ->≠-。
2.3 当m 为何值时，22
1
1223
x mx x x +-<-+对任意的x R ∈都成立。
2.4 设不等式组2220
2(52)50x x x k x k ⎧-->⎨+++<⎩
的整数解只
有2-，k 应取怎样的值。 3、其他函数有关的不等式
3.1 高次不等式
次数超过2次的不等式，应用因式分解求出所有实数根然后应用穿根法数形结合。（从右上角开始曲线连接所
有点）。
3.2 平方根有关的不等式不等式
((),g x g x ><><
解析：此类问题注意：考虑根号有意义；去根号；变形为我们学过的不等式。
3.3 指数不等式与对数不等式
解析：此类不等式的一般方法有：引入参数变为常见不等式，应用函数图象研究单调性求解，代数式有意义，应用计算公式合并。
4、简单的线性规划问题
本部分的题目并不难，方法单一，主要是理解线性规划的概念，理解目标函数的几何意义及其在求最优解问题中的应用。
2、解决数学问题的一般思路。 一、
降幂升幂（降低次方或升高次方）。目的：寻
找共同点，简化难度。
二、 寻找周期性和规律性
三、
寻找对称性。注意：不仅几何题目有对称，代
数中也有对称。比如恒等式和不等式。
a b 3ab a b =++ab [)9,+∞
五、相对比较。比较法
六、归纳法。由特殊到一般。
七、逆向思维。假设结论不成立，反证法。
八、数学问题图像解决。数形结合法。
九、等值替换。等量代换，参数变型
倒推法。由结论成立推导成立条件。下载本文
