第1课时　尺规作图

1. (2017衢州)下列四种基本尺规作图分别表示：①作一个角等于已知角；②作一个角的平分线；③作一条线段的垂直平分线；④过直线外一点P作已知直线的垂线，则对应选项中作法错误的是(　　)

第1题图

A. ①         B. ②        C. ③        D. ④

2. (2017深圳)如图，已知线段AB，分别以A，B为圆心，大于AB为半径作弧，连接弧的交点得到直线l，在直线l上取一点C，使得∠CAB＝25°，延长AC至M，求∠BCM的度数为(　　)

A. 40°       B. 50°       C. 60      °  D. 70°

第2题图

3. (2017枣庄)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点 A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC，AB于点M，N，再分别以M，N为圆心，大于MN长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为(　　)

 A. 15        B. 30         C. 45        D. 60

第3题图

4.  (2017四市联考模拟)如图，在平行四边形ABCD中，AB＞2BC.观察图中尺规作图的痕迹，则下列结论错误的是(　　)

A. BG平分∠ABC           B. BE＝BF

C. AD＝CH                 D. CH＝DH

第4题图

5. (2017绍兴)以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D.若∠ADB＝60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为________．

6. (2017成都)如图，在平行四边形ABCD中，按以下步骤作图：①以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，AD于点M，N；②分别以M，N为圆心，以大于MN的长为半径作弧，两弧相交于点P; ③作射线AP，交边CD于点Q，若DQ＝2QC，BC＝3，则平行四边形ABCD的周长为__________．

第6题图

7. (2017北京)下面是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程.

已知：Rt△ABC，∠C＝90°.

求作：Rt△ABC的外接圆．

作法：如图．

(1)分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P、Q两点；

(2)作直线PQ，交AB于点O；

(3)以O为圆心，OA为半径作⊙O.

8. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：如图，线段a，∠α. 

求作：Rt△ABC，使∠C＝90°，∠A＝∠α，AC＝a.

第8题图

9. (2017青岛)用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹．

已知：四边形ABCD.

求作：点P，使∠PCB＝∠B，且点P到边AD和CD的距离相等．

第9题图

10. (2017兰州)在数学课上，同学们已经探究过“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：

已知：直线l和l外一点P.

求作：直线l的垂线，使它经过点P.

作法：如图．

(1)在直线l上任取两点A，B；

(2)分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径画弧，两弧相交于点Q；

(3)作直线PQ.

所以直线PQ就是所要求作的垂线．

参考以上材料作图的方法，解决以下问题：

(1)以上材料作图的依据是： __________；

(2)已知：直线l和l外一点P.

求作：⊙P，使它与直线l相切．(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑)

第10题图

11. (2017广东省卷)如图，在△ABC中，∠A>∠B.

(1)作边AB的垂直平分线DE，与AB、BC分别相交于点D、E(用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法)；

(2)在(1)的条件下，连接AE，若∠B＝50°，求∠AEC的度数．

第11题图

12. (2017陕西)如图，在钝角△ABC中，过钝角顶点B作BD⊥BC交AC于点D.请用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得点P到AC的距离等于BP的长．(保留作图痕迹，不写作法)

第12题图

13. 如图，在△ABC中，AB＞AC，点D位于边AC上．请用尺规作图法作过点D，与边AB相交于E点的直线DE，使以A、E、D为顶点的三角形与原三角形相似．(作出一种即可，保留作图痕迹，不写作法)

第13题图

14. (2017无锡)如图，已知等边△ABC，请用直尺(不带刻度)和圆规，按下列要求作图(不要求写作法，但要保留作图痕迹)：

(1)作△ABC的外心O；

(2)设D是AB边上一点，在图中作出一个正六边形DEFGHI，使点F、点H分别在边BC和AC上．

第14题图

答案

1. C　【解析】③根据其作法确定的点只有一个，而必须是两点才能确定一条直线，因此③是错误的．

2. B　【解析】由作图痕迹知l是线段AB的垂直平分线，则AC＝BC，∴∠CBA＝∠CAB＝25°，∴∠BCM＝∠CAB＋∠CBA＝50°.

3. B　【解析】由题意得AP是∠BAC的平分线，如解图，过点D作DE⊥AB于点E，∵∠C＝90°，∴DE＝CD＝4，∴S△ABD＝AB·DE＝×15×4＝30.

第3题解图

4. D　【解析】由尺规作图的痕迹可知，BG是∠ABC的平分线，且BE＝BF，故A、B选项正确；∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，CD∥AB，∴∠ABH＝∠CHB，又∵BG平分∠ABC，∴∠ABH＝∠CBH，∴∠CHB＝∠CBH，∴CH＝BC，∴AD＝CH，故C选项正确；∵AB>2BC，AB＝CD，∴CD>2BC，∵BC＝CH，∴CD>2CH，∴DH>CH，故D选项错误．

5. 2　【解析】根据题意作图可得一个角为30°的特殊直角三角形，较短直角边长度为2，AB为较长直角边，所以AB＝2.

6.15　【解析】由题可知，AQ平分∠DAB，即∠DAQ＝∠BAQ，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，DC＝AB，DC∥AB，∴∠DQA＝∠BAQ＝∠DAQ，∴DQ＝AD，∵BC＝3，∴DQ＝AD＝BC＝3，∵DQ＝2QC，∴QC＝1.5，∴CD＝DQ＋QC＝4.5，∴▱ABCD的周长为：2(AD＋CD)＝2×(3＋4.5)＝15.

7. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上或两点确定一条直线或90°圆周角所对弦为直径(答案不唯一)　

【解析】由题图可知圆心即为AB的中点，半径即为AB的一半，因此只需作出AB的中垂线，找到交点O即可．

8. 解：如解图，△ABC即为所求．

第8题解图

9. 解：如解图，点P即为所求作的点．

第9题解图

作法提示：①以点B为圆心，适当长为半径画弧，交AB于点M，交BC于点N；

②以点C为圆心，BM长为半径画弧，交CB于点G；

③以点G为圆心，MN长为半径画弧，交②中弧于点H，作射线CH；

④以点D为圆心，适当长为半径画弧，交AD、CD于点Q、O；

⑤分别以点Q、O为圆心，大于QO长为半径画弧，两弧交于点R，作射线DR；

⑥射线CH与射线DR的交点即为点P.

10. 解：(1)到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；

(2)作图如解图：

第10题解图

作法提示：①在直线l上任取两点A、B，分别以点A、B为圆心，AP、BP的长为半径画弧，两弧交于点Q；

②作直线PQ，与直线l交于点M；

③以点P为圆心，PM长为半径作圆．

⊙P即为所求．

11. 解：(1)如解图，DE是边AB的垂直平分线；

第11题解图

作法提示：①分别以点A、B为圆心，大于AB长为半径画弧，在线段AB两侧交于点M、N；

②作直线MN，分别交AB、BC于点D、E.

DE即为边AB的垂直平分线；

(2)如解图，连接AE，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，

∴∠BAE＝∠B＝50°.

∵∠AEC是△ABE的外角，

∴∠AEC＝∠BAE ＋∠B＝100°.

12. 解：如解图，点P即为所求作的点．

第12题解图

作法提示：要使点P到AC的距离等于BP的长，即作∠BDC的平分线．

①以点D为圆心，适当长为半径作弧，分别交BD，CD于点M、N；②分别以点M、N为圆心，大于MN长为半径作弧，两弧相交于点Q；③过点D作射线DQ交BC于点P.点P即为所求．

13. 解：如解图①，△AED∽△ABC.

如解图②，△ADE∽△ABC.

直线DE即为所求．(两种作法均可)

第13题解图

作法提示：如解图①，作∠ADE＝∠ACB，此时DE∥BC，∴△AED∽△ABC.

①以点C为圆心，小于CD长为半径作弧，交∠C的两边于点P、Q；②以点D为圆心，CP长为半径作弧，交AC于点N；③以点N为圆心，PQ长为半径作弧，交前弧于点M；④过点D、M作直线DM交AB于点E，DE即为所求；

如解图②，作∠ADE＝∠B，此时△ADE∽△ABC.作法同解图①.

14. 解：(1)如解图①，点O即为所求；

第14题解图①

(2)如解图②，正六边形DEFGHI即为所求．

第14题解图②

作法提示：①分别以点B、C为圆心，在BC、AC上截取BF＝CH＝AD，连接DF，FH，DH得新等边三角形DFH；

②分别作线段DF、FH的垂直平分线，两直线相交于点M；

③以点M为圆心，DM长为半径作圆，则⊙M与线段AB、BC、AC的另一交点依次为E、G、I；

④顺次连接D、E、F、G、H、I，得到所求作正六边形DEFGHI.下载本文