1．随着人们物质生活的提高，玩手机成为一种生活中不可缺少的东西，手机很方便携带，但唯一的缺点就是没有固定的支点，为了解决这一问题，某工厂研制生产了一种如图所示的手机支架．把手机放在上面就可以方便地使用手机，这是利用了三角形的哪一个性质（ ）

A．三角形两边之和大于第三边 ．三角形具有稳定性

C．三角形的内角和是 ．直角三角形两个锐角互余

2．如图，在中，，为边上的一点，点在边上，，若，则的度数为（ ）

A．20° ．15° ．10° ．30°

3．如图，等于（  ）

A． ． ． ．

4．下列命题是真命题的个数为（ ）

①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．

②三角形的内角和是180°．

③在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行．

④相等的角是对顶角．

⑤两点之间，线段最短．

A．2 ．3 ．4 ．5

5．下列长度（单位：）的三条线段能组成三角形的是（ ）

A．13，11，12 ．3，2，1 ．5，12，7 ．5，13，5

6．在下列长度的四根木棒中，能与2m、5m长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）

A．2m ．3m ．5m ．7m

7．三角形的两条边长为和，那么第三边长可能是（ ）

A． ． ． ．

8．一副透明的三角板，如图叠放，直角三角板的斜边、相交于点D，则的度数是（ ）

A． ． ． ．

9．下列长度的四根木棒，能与，长的两根木棒钉成一个三角形的是（ ）

A． ． ． ．

10．如图所示，的边上的高是（  ）

A．线段 ．线段 ．线段 ．线段

11．如图，盖房子时，在窗框没有安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，使其不变形，这种做法的根据是（ ）

A．两点之间线段最短 ．长方形的对称性

C．长方形四个角都是直角 ．三角形的稳定性

12．如图，在中，，D为上的一点，若，则x的度数可能为（ ）

A．30° ．60° ．70° ．80°

二、填空题

13．如图，五边形中，，则的度数为__________．

14．如图1，△ABC中，有一块直角三角板PMN放置在△ABC上（P点在△ABC内），使三角板PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C.若∠A＝52°，则∠1＋∠2＝__________；

15．如图，点D，E，F分别是边BC，AD，AC上的中点，若图中阴影部分的面积为3，则的面积是________．

16．设三角形三内角的度数分别为，如果其中一个角的度数是另一个角的度数的2倍、那我们称数对是的和谐数对，当时，对应的和谐数对有一个，它为；当时，对应的和谐数对有二个，它们是__________．当对应的和谐数对有三个时，请写出此时的范围_______．

17．如图，若∠CGE=，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=____．

18．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G＝_____．

19．已知等腰三角形的一边长等于，一边长等于，它的周长为______．

20．如图，面积为1，第一次操作：分别延长至点使顺次结，得到，第二次操作：分别延长至点，使，顺次连结，得到…，按此规律，则的面积为_______．

三、解答题

21．如图，在中，是的平分线， 在同一直线上，

（1）求的度数；

（2）求的度数．

22．如图①，在中，分别是的高和角平分线，

（1）若，求的度数

（2）若，则            (用含的代数式表示)；

（3）若将换成钝角三角形，如图②，其他条件不变，试用含的代数式表示的度数，并说明理由；

（4）如图③，若是外角的平分线，交延长线与点，且，则     (直接写出结果)

23．如果一个多边形的内角和是它的外角和的4倍，求这个多边形的对角线总数．

24．如图，∠CBF，∠ACG是△ABC的外角，∠ACG的平分线所在的直线分别与∠ABC，∠CBF的平分线BD，BE交于点D，E．

（1）若∠A=70°，求∠D的度数；

（2）若∠A=a，求∠E；

（3）连接AD，若∠ACB=，则∠ADB=       ．

25．已知a，b，c为三角形三边的长，化简：．

26．如图，．

（1）判断与的位置关系，并说明理由；

（2）若比大25°，求的度数．

【参】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【分析】

根据三角形的稳定性可以解决．

【详解】

因为三角形具有稳定性，手机支架与桌面形成了一个三角形，所以是利用了三角形的稳定性．

故选：B．

【点睛】

本题考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．

2．A

解析：A

【分析】

先根据三角形外角的性质得出∠ADC=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠EDC，再根据∠B=∠C，∠ADE=∠AED即可得出结论．

【详解】

解：∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC=∠B+∠BAD，

∴∠ADE=∠ADC-∠CDE=∠B+∠BAD-∠CDE

∵∠AED是△CDE的外角， 

∴∠AED=∠C+∠EDC， 

∵∠ADE=∠AED，

∴∠B+∠BAD-∠CDE=∠C+∠EDC，

∵∠B=∠C，

∴∠BAD=2∠EDC，

∵

∴∠BAD=20°；

故选：A

【点睛】

本题考查的是三角形外角的性质，熟知三角形的外角等于与之不相邻的两个内角的和是解答此题的关键．

3．D

解析：D

【分析】

根据三角形外角的性质直接可得出答案．

【详解】

解：由三角形外角的性质，得

故选D．

【点睛】

本题考查了三角形外角的性质，比较简单．

4．B

解析：B

【分析】

首先判断所给命题的真假，再选出正确的选项．

【详解】

解：∵两条直线被第三条直线所截，两直线平行，内错角相等，

∴①错误；

∵三角形的内角和是180°，∴②正确；

∵在同一平面内平行于同一条直线的两条直线平行，∴③正确；

∵相等的角可以是对顶角，也可以是内错角、同位角等等，∴④错误；

∵连接两点的所有连线中，线段最短，∴⑤正确；

∴真命题为②③⑤，

故选B ．

【点睛】

本题考查命题的真假判断，根据所学知识判断一个命题条件成立的情况下，结论是否一定成立来判断命题是真命题还是假命题是解题关键．

5．A

解析：A

【分析】

根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”进行分析．

【详解】

解：根据三角形的三边关系，

A、11+12＞13，能组成三角形，符合题意；

B、1+2=3，不能组成三角形，不符合题意；

C、5+7=12，不能组成三角形，不符合题意；

D、5+5＜13，不能组成三角形，不符合题意；

故选A．

【点睛】

此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．

6．C

解析：C

【分析】

判定三条线段能否构成三角形，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形．

【详解】

解：设三角形的第三边为x m，则

5-2＜x＜5+2

即3＜x＜7，

∴当x=5时，能与2m、5m长的两根木棒钉成一个三角形，

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系的运用，解题时注意：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．

7．C

解析：C

【分析】

根据三角形的两边之和大于第三边，确定第三边的取值范围即可．

【详解】

解：三角形的两条边长为和，设第三边为x，

则第三边的取值范围是：7-3＜x＜7+3，

解得，4＜x＜10，

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，根据两边长确定第三边的取值范围是解题关键．

8．B

解析：B

【分析】

根据三角板的性质以及三角形内角和定理计算即可．

【详解】

解：∵∠CEA=，∠BAE=，

∴∠ADE= −∠CEA−∠BAE=，

∴∠BDC=∠ADE=，

故选：B

【点睛】

本题考查三角板的性质，三角形内角和定理等知识，对顶角相等，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考基础题．

9．D

解析：D

【分析】

根据三角形的三边关系解答．

【详解】

解：∵三角形的两边为3cm，7cm，

∴第三边长的取值范围为7-3＜x＜7+3，

即4＜x＜10，

只有D符合题意，

故选：D．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，要知道，三角形的两边之和大于第三边．

10．C

解析：C

【分析】

根据三角形的高解答即可，三角形的一个顶点到它的对边所在直线的垂线段叫做这个三角形的高．

【详解】

A.线段是△ABC的边BC上的高，故不符合题意；

B.线段不是任何边上的高，故不符合题意；

C.线段是△ABC的边AC边上的高，故符合题意；

D.线段是△ABD的边BD上的高，故不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题考查了三角形的高线，熟练掌握三角形高线的定义是解答本题的关键．

11．D

解析：D

【分析】

在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，据此即可判断是利用了三角形的稳定性．

【详解】

在窗框未安装之前，木工师傅常常先在窗框上斜钉一根木条，则分成了两个三角形，利用了三角形的稳定性，D正确．

故答案选D．

【点睛】

本题比较简单主要考查三角形稳定性的实际应用，通常要使一些图形具有稳定的结构，往往是将其转化为三角形而获得．

12．D

解析：D

【分析】

根据三角形的外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD，得到x＞70°，根据平角的概念得到x＜180°，计算后进行判断得到答案．

【详解】

解：∵∠ADC=∠B+∠BAD，

∴x＞70°，

又x＜180°，

∴x的度数可能为80°，

故选：D．

【点睛】

本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．

二、填空题

13．【分析】根据求出根据多边形内角和公式求出五边形的内角和即可得到答案【详解】∵∴∵五边形内角和=∴==故答案为：【点睛】此题考查两直线平行同旁内角互补多边形内角和公式熟记多边形内角和计算公式是解题的关键

解析：

【分析】

根据求出，根据多边形内角和公式求出五边形的内角和，即可得到答案．

【详解】

∵，

∴，

∵五边形内角和=，

∴==，

故答案为：．

【点睛】

此题考查两直线平行同旁内角互补，多边形内角和公式，熟记多边形内角和计算公式是解题的关键．

14．38°【分析】根据三角形内角和定理易求∠ABC＋∠ACB的度数已知∠P＝90°根据三角形内角和定理易求∠PBC＋∠PCB的度数进而得到∠1＋∠2的度数【详解】∵∠A＝52°∴∠ABC＋∠ACB＝18

解析：38°

【分析】

根据三角形内角和定理易求∠ABC＋∠ACB的度数．已知∠P＝90°，根据三角形内角和定理易求∠PBC＋∠PCB的度数，进而得到∠1＋∠2的度数．

【详解】

∵∠A＝52°，

∴∠ABC＋∠ACB＝180°−52°＝128°，

∵∠P＝90°，

∴∠PBC＋∠PCB＝90°，

∴∠ABP＋∠ACP＝128°−90°＝38°，

即∠1＋∠2＝38°．

故答案为：38°．

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理以及直角三角形的性质等知识，注意运用整体法计算，解决问题的关键是求出∠ABC＋∠ACB，∠PBC＋∠PCB的度数．

15．8【分析】利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分S△ABD=S△ACD=S△ABCS△BDE=S△ABDS△ADF=S△ADC再得到S△BDE=S△ABCS△DEF=S△ABC所以S△ABC=

解析：8

【分析】

利用三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，S△ABD=S△ACD=S△ABC，S△BDE=S△ABD，S△ADF=S△ADC，再得到S△BDE=S△ABC，S△DEF=S△ABC，所以S△ABC=S阴影部分．

【详解】

解：∵D为的中点，∴，

∵E，F分别是边上的中点，

∴，

∴，

∵，

∴，

故答案为：8．

【点睛】

本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△=×底×高．三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分．

16．（3876）（3381）【分析】根据和谐数对的定义求出当x=66时的两组数对；再分当时当时当时三种情况讨论从而得出结论【详解】解：当时180-66=114则114÷3=3838×2=76此时和谐数对

解析：（38，76），（33，81） 

【分析】

根据“和谐数对”的定义求出当x=66时的两组数对；再分当时，当时，当时，三种情况讨论，从而得出结论．

【详解】

解：当时，

180-66=114，

则114÷3=38，38×2=76，此时和谐数对为（38，76），

或66÷2=33，114-33=81，此时和谐数对为（33，81），

若对应的和谐数对有三个，

当时，它的和谐数对有，，，；

当时，它的和谐数对有，，，

当时，它的和谐数对有，，

对应的和谐数对有三个时，此时的范围是，

故答案为：（38，76），（33，81）；．

【点睛】

本题考查三角形内角和定理，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用分类讨论的数学思想解答问题．

17．2【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠A+∠B∠D+∠E再根据邻补角表示出∠CGF然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解【详解】解：如图根据三角形的外角性质∠1=∠A

解析：2

【分析】

根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和表示出∠A+∠B，∠D+∠E，再根据邻补角表示出∠CGF，然后利用三角形的内角和定理列式整理即可得解．

【详解】

解：如图，

根据三角形的外角性质，∠1=∠A+∠B，∠2=∠D+∠E，

∵∠3=180°-∠CGE=180°-α，

∴∠1+∠F+180°-α=180°，

∴∠A+∠B+∠F=α，

同理：∠2+∠C+180°-α=180°，

∴∠D+∠E+∠C=α，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2α．

故答案为：2α

【点睛】

本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，三角形的内角和定理，准确识图是解题的关键．

18．540°【分析】连接GD根据多边形的内角和定理可求解∠A+∠B+∠C+∠CDG+∠DGA＝540°再利用三角形的内角和定理结合对顶角的性质可求得∠FGD+∠EDG＝∠E+∠F进而可求解【详解】解：连

解析：540°

【分析】

连接GD，根据多边形的内角和定理可求解∠A+∠B+∠C+∠CDG+∠DGA＝540°，再利用三角形的内角和定理结合对顶角的性质可求得∠FGD+∠EDG＝∠E+∠F，进而可求解．

【详解】

解：连接GD，

∠A+∠B+∠C+∠CDG+∠DGA＝（5﹣2）×180°＝540°，

∵∠1+∠FGD+∠EDG＝180°，∠2+∠E+∠F＝180°，∠1＝∠2，

∴∠FGD+∠EDG＝∠E+∠F，

∴∠A+∠B+∠C+∠CDE+∠E+∠F+∠FGA＝540°，

故答案为540°．

【点睛】

本题主要考查多边形的内角和定理，三角形的内角和定理，掌握相关定理是解题的关键．

19．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为11和5而没有明确腰底分别是多少所以要进行讨论还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形【详解】分两种情况：当腰为11时11＋11>511-11<5所以能构成三

解析：

【分析】

题目给出等腰三角形有两条边长为11和5，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【详解】

分两种情况：当腰为11时，11＋11>5，11-11<5，所以能构成三角形，周长是：11＋11＋5＝27cm；当腰为5时，5＋5<11，所以不能构成三角形，

故答案为：27cm．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

20．343【分析】先根据已知条件求出△A1B1C1及△A2B2C2的面积再根据两三角形的倍数关系求解即可【详解】△ABC与△A1BB1底相等（AB＝A1B）高为1：2（BB1＝2BC）故面积比为1：2∵

解析：343

【分析】

先根据已知条件求出△A1B1C1及△A2B2C2的面积，再根据两三角形的倍数关系求解即可．

【详解】

△ABC与△A1BB1底相等（AB＝A1B），高为1：2（BB1＝2BC），故面积比为1：2，

∵△ABC面积为1，

∴，同理可得,

∴；

同理可证，

所以，

故答案为：343．

【点睛】

本题考查了图形面积的规律探究，准确找到每变化一次之后图形面积的变化规律是解决问题的关键．

三、解答题

21．（1）；（2）

【分析】

（1）根据同位角相等，两直线平行判定，然后再根据平行线的性质求解；

（2）根据角平分线的定义求得，然后利用三角形内角和求解．

【详解】

解：（1），

，

．

，

．

（2）是的平分线．

，

．

，

．

【点睛】

本题考查平行线的判定和性质以及三角形内角和，掌握相关性质定理正确推理计算是解题关键．

22．（1）15°；（2）；（3），理由见解析；（4）75°．

【分析】

（1）根据三角形的内角和180°解得、，再根据角平分线的性质，得到，最后由解题即可；

（2）根据三角形的内角和180°解得的度数，再根据角平分线的性质，得到的度数，最后由解题即可；

（3）根据三角形的内角和180°解得的度数，再根据角平分线的性质，得到的度数，最后由解题即可；

（4）根据角平分线的性质，，结合三角形一个外角等于不相邻的两个内角和，解得，根据三角形的内角和180°解得的度数，最后由解题即可．

【详解】

（1），

平分

， 

；

（2）若，

平分

，

，

故答案为：；

（3）若将换成钝角三角形，，

平分

，

故答案为：；

（4）是外角的平分线，

由三角形的外角性质得，

故答案为：．

【点睛】

本题考查角平分线的性质、三角形内角和180°、三角形外角性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

23．35条

【分析】

一个多边形的内角和等于外角和的4倍而任何多边形的外角和是360°，因而多边形的内角和等于1440°．n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个正多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数，即可求出答案．

【详解】

解：设这是一个n边形，依题意得：

(n-2)．180°=4×360°，

解得n=10

故这个多边形的总条数为（条）

答：对角线的总数为35条．

【点睛】

本题主要考查多边形内角与外角的知识点，此题比较简单，只要结合多边形的内角和公式寻求等量关系，构建方程求解即可．

24．（1）35°；（2）90°-α；（3）β

【分析】

（1）由角平分线的定义得到∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，然后根据三角形外角的性质即可得到结论；

（2））根据角平分线的定义得到∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，于是得到∠DBE=90°，由（1）知∠D=∠A，根据三角形的内角和得到∠E=90°-α；

（3）根据角平分线的定义可得，∠ABD=∠ABC，∠DAM=∠MAC，再利用三角形外角的性质可求解．

【详解】

解：（1）∵CD平分∠ACG，BD平分∠ABC，

∴∠DCG=∠ACG，∠DBC=∠ABC，

∵∠ACG=∠A+∠ABC，

∴2∠DCG=∠ACG=∠A+∠ABC=∠A+2∠DBC，

∵∠DCG=∠D+∠DBC，

∴2∠DCG=2∠D+2∠DBC，

∴∠A+2∠DBC=2∠D+2∠DBC，

∴∠D=∠A=35°；

（2）∵BD平分∠ABC，BE平分∠CBF，

∴∠DBC=∠ABC，∠CBE=∠CBF，

∴∠DBC+∠CBE=（∠ABC+∠CBF）=90°，

∴∠DBE=90°，

∵∠D=∠A，∠A=α，

∴∠D=α，

∵∠DBE=90°，

∴∠E=90°-α；

（3）如图，

∵BD平分∠ABC，CD平分∠ACG，

∴AD平分∠MAC，∠ABD=∠ABC，

∴∠DAM=∠MAC，

∵∠DAM=∠ABD+∠ADB，∠MAC=∠ABC+∠ACB，∠ACB=β，

∴∠ADB=∠ACB=β．

故答案为：β．

【点睛】

本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键．

25．a+c-b

【分析】

根据三角形的三边关系得出a+b＞c，a+c＞b，再去绝对值符号，合并同类项即可．

【详解】

解：∵a、b、c为三角形三边的长，

∴a+b＞c，a+c＞b，

∴原式=

=a+b-c-b+c+a+c-a-b

=a+c-b

【点睛】

本题考查的是三角形的三边关系以及整式的加减运算，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．

26．（1），理由见解析；（2）．

【分析】

（1）先根据平行线的判定可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等量代换可得，最后根据平行线的判定即可得；

（2）设，从而可得，再根据三角形的外角性质可求出x的值，然后根据平行线的性质即可得．

【详解】

（1），理由如下：

，

，

，

，

又，

，

；

（2）设，则，

由三角形的外角性质得：，即，

解得，

即，

由（1）已证：，

．

【点睛】

本题考查了平行线的判定与性质、三角形的外角性质等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．下载本文