九年级（上）月考数学试卷（ 9 月份）

题号

一

二

三

四

总分

得分

一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）

1. 把方程 2x =x -3

化为一般形式，若二次项系数为 1，则一次项系数及常数项分别为 （ ）

A. 2、3

B. −2、3

C. 2、−3

D. −2、−3

2.

方程（x +1） =4

的解是（ ）

A. x1=2，x2=−2

C. x1=1，x2=−3

B. D.

x1=3，x2=−3 x1=1，x2=−2

3. 用配方法解方程 x -4

x -3=0，下列配方结果正确的是（ ）

A. (x −4)2=19

B. (x+2)2=7

C. (x −2)2=7

D. (x+4)2=19 4. 二次数 y =x +6x +1 图象的对称轴是（

）

A. x=6

B. x=−6

C. x=−3

D. x=4

5.

已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程 x -14x

+48=0 的两根，则此三角形 的斜边长为（ ）

A. 6

B. 8

C. 10

D. 14

6. 抛物线 y =3x 2 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的抛物线是（

）

A. y=3(x−1)2−2

B. y=3(x+1)2−2

C. y=3(x+1)2+2

D. y=3(x−1)2+2

7.

某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分 支和小分支的总数是 57，则每个支干长出（ ）根小分支．

A. 5 根

B. 6 根

C. 7 根

D. 8 根

8.

点 P 1

（-1，y ），P （3，y ），P （5，y ）均在二次函数 y =-x +2x+c 的图象上， 1 2 2 3 3 则 y ，y ，y 的大小关系是（ ）

1

2 3

A. y3>y2>y1

B. y3>y1=y2

C.

y1>y2>y3

D.

y1=y2>y3

9. 设 a 、b 是方程 x

+x -2018=0 的两个实数根，则 a +2a +b 的值是（ ）

A. 2016

B. 2017

C. 2018

D. 2019

10. 如图，二次函败 y =ax +

bx +c （a 、b 、c 为常数，且 a ≠0） 的图象与 x 轴的交点的横坐标分别为-1、3，则下列结论： ①abc ＜0；②2a +b =0；③3a +2c ＞0；④对于任意 x 均有 ax -a +bx -b ≥0，正确个数有（ ）

A. 1 个

B. 2 个

C. 3 个

D. 4 个

二、填空题（本大题共 6 小题，共 18.0 分）

11. 关于 x 的方程 x +mx +16=0 有两个相等的实根，则 m =______．

12. 已知 x ，x 是方程 2x -5x -3=0 的两个根，则 1x1+1x2=______． 13. 飞机着陆后滑行的距离 S （单位：米）与滑行的时间 t （单位：秒）之间的函数关

系式是 s =60t -1.2t ，那么飞机着陆后滑行______秒停下．

14. 已知 A （0，3），B （2，3）是抛物线 y =-x +bx

+c 上两点，该抛物线的顶点坐标是 ______． 15. 有一块长 30m 、宽 20m 的矩形基地，准备修筑同样宽的

三条直路．如图，把基地分成六块，种植不同品种的蔬 菜，并且种植硫菜面积为基地面积的 34．设道路的宽度 为 xm ，所列方程为______．

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2

2 2

16. 设 f （x ）表示关于 x 的函数，若 f （m +n ）=f （m ）+f （n ）+mn9，且 f （6）=3，那 么 f （5）=______．

三、计算题（本大题共 1 小题，共 8.0 分）

17. 已知抛物线 y =ax +

bx +c 经过 A （3，0）、B （2，-3）、C （1，-3）三点． （1）求此抛物线的函数解析式；

（2）P 为抛物线对称轴上一点，满足 PA =PB ，求 P 点坐标．

四、解答题（本大题共 7 小题，共 .0 分）

18. 解方程：2x -4

x +1=0．

19. 已知二次函数 y=14x2-x -3．

（1）用配方法求函数图象顶点坐标、对称轴，并写出图象的开口方向； （2）在所给网格中建立平面直角坐标系井直接画出此函数的图象．

20. 用条长 40 厘米的绳子围成一个矩形，设其一边长为 x 厘米．

（1）若矩形的面积为 96 平方厘米，求 x 的值；

（2）矩形的面积是否可以为 101 平方厘米？如果能，请求 x 的值；如果不能，请 说明理由．

2 2

21. 已知关于 x 的方程 x -2（m +1）x +m +2=0．

（1）若方程总有两个实数根，求 m 的取值范围； （2）若两实数根 x 、x 满足（x +1）（x +1）=8，求 m 的值．

1 2 1 2

22. 某公司生产某种产品的成本是 200 元/件，售价是 250 元/件，年销售量为 10 万件．为 了

获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告 费用 x 万元，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 y 与 x 之间满足二次函数关 系：y =-0.001x +0.06x+1

． （1）如果把利润看作是销售总额减去成本费用和广告费用，试求出年利润 S （万 元）与广告费用 x （万元）的函数关系式（无需自变量的取值范围）；

（2）如果公司年投入的广告费不低于 10 万元且不高于 50 万元，求年利润 S 的最 大值；

（3）若公司希望年利润在 776 万元到 908 万元之间（含端点），请从节约支出的 角度直接写出广告费 x 的取值范围．

23. 已知抛物线 y =x -（2m -1）x +m -m

-2（m 为常数）． （1）证明：抛物线与 x 轴有两个不相同的交点；

（2）若抛物线与 x 轴交点为 A 、B （其中点 A 在点 B 的左边），试分别求出点 A 、 B 的横坐标 x 、x ，以及与 y 轴的交点 C 的纵坐标 y （用含 m 的代数式表示）；

A B C

（3） △若ABC 的面积为 6，且 A 、B 两点在 y 轴的同侧，求抛物线的解析式．

24. 已知：A （0，2），点 B 为 x 轴上的一动点，过点 B 作 x 轴的垂线交 AB 的垂直平 分线于点 P ．

（1）请利用图 1 进行探讨：

若点 B （2，0），则点 P 的坐标为______；

2 2 2 2 2

通过探讨发现点P所在图象恰好是一条抛物线，请直接写出点P所在抛物线的函数

解析式．

（2）如图2，直线y=kx（k＞0）与（1）中的抛物线交于点E，F，若AF=3AE，试

求k的值；

（3）如图3，若直线y=mx-m+2与（1）中的抛物线交于点G，M，其中点M在第一象限，直线OG交（1）中的函数图象于点N，求证MN必过一定点，并求这个定点的坐标．

答案和解析

1.【答案】D

【解析】

解：根据题意可将方程变形为 x -2x-3=0，

则一次项系数为-2、常数项为-3，

故选：D ．

将方程变形为二次项系数为 1 的一般式，依据一般式可得答案．

此题考查了一元二次方程的一般形式．注意一元二次方程的一般形式是：

ax +bx+c=0（a ，b ，c 是常数且 a ≠0），其中 a ，b ，c 分别叫二次项系数，一次项系 数，常数项．

2.【答案】C

【解析】

解：（x+1） =4

则 x+1=±2，

解得：x =-1+2=1，x =-1-2=-3．

1

2

故选：C ．

利用直接开平方的方法解一元二次方程得出答案．

此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方是解题关键．

3.【答案】C

【解析】

解：∵x -4x=3，

∴x -4x+4=3+4，即（x-2） =7，

故选：C ．

移项后，两边配上一次项系数一半的平方即可得．

本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用

方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合 适、简便的方法是解题的关键．

2

2

2 2 2 2

4.【答案】C

【解析】

解：∵y=x +6x+1=（x+3） -8，

∴二次数 y=x +6x+1 图象的对称轴是直线 x=-3，

故选：C ．

将二次函数解析式配方成顶点式，再根据二次函数的性质求解可得．

本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是掌握配方法将二次函数一般式 变形为顶点式及二次函数的性质．

5.【答案】C

【解析】

解：∵x -14x+48=0，

∴（x-6）（x-8）=0， ∴x=6 或 8；

∴两直角边为 6 和 8，

∴此三角形的斜边长=

=10，

故选：C ．

先解方程 x -14x+48=0，得出两根，再利用勾股定理来求解即可．

本题考查一元二次方程的解法，用到的知识点是因式分解法和勾股定理，关 键是根据方程的特点选择合适的解法．

6.【答案】A

【解析】

解：抛物线 y=3x 向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得到的抛物线

是 y=3（x-1）

-2，

故选：A ．

根据图象向下平移减，向右平移减，可得答案．

本题考查了二次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直 接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 7.【答案】C

【解析】

2 2

2 2 2

2

2

解：设每个支干长出的小分支的数目是 x 根，

根据题意列方程得：x +x+1=57，

解得：x=7 或 x=-8（不合题意，应舍去）；

∴x=7；

答：每支支干长出 7 根小分支．

故选：C ．

由题意设每个支干长出的小分支的数目是 x 个，每个小分支又长出 x 个分支，

则又长出 x 个分支，则共有 x +x+1 个分支，即可列方程求得 x 的值．

此题考查了一元二次方程的应用，要根据题意分别表示主干、支干、小分支 的数目，列方程求解，注意能够熟练运用因式分解法解方程．

8.【答案】D

【解析】

解：∵y=-x +2x+c ，

∴对称轴为 x=1，

P （3，y ），P （5，y ）在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小，

2

2

3

3

∵3＜5，

∴y ＞y ，

2

3

根据二次函数图象的对称性可知，P （-1，y ）与（3，y ）关于对称轴对称，

1

1

1

故 y =y ＞y ，

1

2

3

故选：D ．

根据函数解析式的特点，其对称轴为 x=1，图象开口向下，在对称轴的右侧，y

随 x 的增大而减小，据二次函数图象的对称性可知，P （-1，y ）与（3，y ）关于

1

1

1

对称轴对称，可判断 y =y ＞y ．

本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，同时考查了函数的 对称性及增减性．

9.【答案】B

【解析】

2

2 2 2 1 2 3

解：∵a ，b 是方程 x +x-2018=0 的两个实数根，

∴a +a=2018，a+b=-1，

∴a +2a+b=（a +a ）+（a+b ）=2018-1=2017．

故选：B ．

根据一元二次方程的解及根与系数的关系可得出 a +a=2018、a+b=-1，将其代

入 a +2a+b=（a

+a ）+（a+b ）中即可求出结论．

本题考查了根与系数的关系以及一元二次方程的解，根据一元二次方程的解 及根与系数的关系找出 a +a=2018、a+b=-1 是解题的关键．

10.【答案】B

【解析】

解：∵抛物线开口向上，

∴a ＞0，

∵抛物线与 x 轴的交点的坐标分别为（-1，0），（3，0），

∴抛物线的对称轴为直线 x=1，即- ∴b=-2a ＜0，

∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， ∴c ＜0，

∴abc ＞0，所以①错误；

∵b=-2a ，

∴2a+b=0，所以②正确； ∵x=-1 时，y =0，

∴a-b+c=0，即 a+2a+c=0， ∴c=-3a ，

∴3a+2c=3a-6a=-3a ＜0，所以③错误； ∵x=1 时，y 的值最小，

=1，

∴对于任意 x ，a+b+c≤ax 2

+bx+c ，

即 ax -a+bx-b ≥0，所以④正确． 故选：B ．

2

2 2 2 2

2 2 2 2

断；根据二次函数性质，x=1时，y的值最小，所以a+b+c≤ax+bx+c，于是可对④进行判断．

本题考查了二次函数与不等式（组）：函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围；利用两个

函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解．

11.【答案】±8

【解析】

解：∵方程x+mx+16=0有两个相等的实根，

∴△=m2-4×1×16=m-=0，

解得：m=±8．

故答案为：±8．

由方程有两个相等的实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元二次方程，解方程即可得出结论．

本题考查了根的判别式，解题的关键是利用根的判别式得出m-=0．本题

属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况利用根的判别式得出方程（或不等式）是关键．

12.【答案】-52

【解析】

解：∵x ，x 是方程2x-5x-3=0的两个根，

∴x ∴

+x=，x x =-，

1212

+===-．

2

2

2

2

2

12

故答案为：- ．

根据根与系数的关系可得出 x +x = ，x x =- ，将其代入

1

2

1 2

+ =

即

可求出结论．

本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于- ，两根之积等于 是解题 的关键．

13.【答案】25

【解析】

解：由题意，

s=-1.2t +60t ，

=-1.2（t -50t+625-625）

=-1.2（t-25） +750，

即当 t=25 秒时，飞机才能停下来．

故答案是：25．

飞机停下时，也就是滑行距离最远时，即在本题中需求出 s 最大时对应的 t

值．

本题考查了二次函数的应用．解题时，利用配方法求得 t=2 时，s 取最大值． 14.【答案】（1，4）

【解析】

解：∵A （0，3），B （2，3）是抛物线 y=-x +bx+c 上两点，

∴代入得：

，

解得：b=2，c=3，

∴y=-x +2x+3

=-（x-1） +4，

顶点坐标为（1，4），

故答案为：（1，4）．

把 A 、B 的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得 出解析式，化成顶点式即可．

2

2 2 2

2 2

15.【答案】（30-2x）（20-x）=30×20×34

【解析】

解：设道路的宽度为xm，则六块菜地可合成长为（30-2x）m，宽为（20-x）m的

矩形，

根据题意得：（30-2x）（20-x）=30×20×．

故答案为：（30-2x）（20-x）=30×20×．

设道路的宽度为xm，则六块菜地可合成长为（30-2x）m，宽为（20-x）m的矩形，

根据矩形的面积公式结合种植硫菜面积为基地面积的，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

16.【答案】209

【解析】

，f（6）=3，

解：∵若f（m+n）=f（m）+f（n）+

∴f（6）=f（2+4）=f（2）+f（2+2）+

=f（2）+f（2）+f（2）++=3，

∴f（2）=，

f（6）=f（3+3）=2f（3）+=3，

∴f（3）=1，

∴f（5）=f（2+3）=f（2）+f（3）+

=+1+

=，

故答案为．

有已知求出f（2）和f（3）的值，把f（5）化为f（2+3）代入即可．

本题主要考查了函数值的概念，由已知求出 f （2）和 f （3）的值是解决问题的关 键．

17.【答案】解：（1）根据题意得 9a+3b+c=04a+2b+c=−3a+b+c=−3，解得

a=32b=−92c=0，

所以抛物线的解析式为 y =32x -92x ；

（2）抛物线的对称轴为直线 x =-−922×32=32， 设 P （32，t ）， ∵PA =PB ，

∴（32-3） +t =（32-2） +（t +3） ，

解得 t =-76， ∴P 点坐标为（32，-76）． 【解析】

（1）把三个点的坐标分别代入 y=ax +bx+c 得到关于 a 、b 、c 的方程组，然后解 方程组即可；

（2）先确定抛物线的对称轴，则可设 P （ ，t

），利用 PA=PB 得到（ -3） +t =（

-2） +（t+3） ，然后解方程求出即可得到 P 点坐标．

本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数

关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入

数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列

三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为

顶点式来求解；当已知抛物线与 x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点 式来求解．

18.【答案】解：由原方程，得

x -2x =-12，

等式的两边同时加上一次项系数一半的平方，得

x

-2x +1=12， 配方，得

（x -1）

=12， 直接开平方，得

x -1=±22， x =1+22，x =1-22． 【解析】

先化二次项系数为 1，然后把左边配成完全平方式，右边化为常数．

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2

2 2 2 1 2

本题考查了解一元二次方程--配方法．用配方法解一元二次方程的步骤：

（1）形如 x +px+q=0 型：第一步移项，把常数项移到右边；第二步配方，左右两

边加上一次项系数一半的平方；第三步左边写成完全平方式；第四步，直接开 方即可．

（2）形如 ax +bx+c=0 型，方程两边同时除以二次项系数，即化成 x +px+q=0， 然后配方．

19.【答案】解：（1）∵y =14x2-x -3=14(x−2)2−4，

∴该函数图象的顶点坐标为（2，-4），对称轴是直线 x =2，图象的开口向上；

（2）y =14x2-x -3=14（x -4

x -12）=14(x −6)(x+2)， ∴当 x =6 时，y =0，当 x =-2 时，y =0，

∴该函数过点（-2，0），（6，0），（2，-4）， 函数图象如右图所示． 【解析】

（1）根据配方法可以解答本题；

（2）根据题目中的函数解析式可以求得与 x 轴的交点和（1）中的顶点坐标，从 而可以画出相应的函数解析式．

本题考查二次函数的性质和图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结 合的思想解答．

20.【答案】解：（1）根据题意得：x •40−2x2=96，

解得：x =8 或 12， 答：x =8 或 12；

（2）矩形的面积不能为 101 平方厘米，

理由是：假设矩形的面积可以为 101 平方厘米， 则 x （20-x ）=101， x -20x +101=0， △=（-20） -4×1×101＜0，

此方程无解，

所以矩形的面积不能为 101 平方厘米． 【解析】

（1）根据题意列出方程，求出方程的解即可；

（2）假设矩形的面积可以为 101 平方厘米，根据题意得出方程 x （20-x ）=101， 再判断方程是否有解即可．

本题考查了一元二次方程的应用，能根据题意列出方程是解此题的关键．

2

2 2

2 2

2

21.【答案】解：（1）∵关于 x 的方程 x -2（m +1）x+m +2=0 总有两个实数根， ∴△=[-2（m +1）] -4（m +2

）=8m -4≥0， 解得：m ≥12．

（2）∵x 、x 为方程 x -2（m +1）x +m +2=0 的两个根， ∴x +x =2（m +1），x x =m +2

． 1 2 1 2 ∵（x +1）（x +1）=8，

1 2

∴x x +（x +x ）+1=8，

1 2 1 2 ∴m +2+2（m +1）+1=8，

整理，得：m +2

m -3=0，即（m +3）（m -1）=0， 解得：m =-3（不合题意，舍去），m =1，

1 2

∴m 的值为 1． 【解析】

（1）由方程有两个实数根结合根的判别式△≥0△ ，即可得出关于 m 的一元一次不 等式，解之即可得出 m 的取值范围；

（2）根据根与系数的关系可得出 x +x =2（m+1）、x x =m +2，结合（x +1）

1 2 1 2 1

（x +1）=8 可得出关于 m 的一元二次方程，解之即可得出 m 的值，结合 m 的取

2

值范围即可确定 m 的值．

本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及因式分解法解一元二次方程，

解题的关键是：（1）牢记“当△≥0△

时，方程有两个实数根”；（2）根据根与系数

的 关系结合（x +1）（x +1）=8 找出关于 m 的一元二次方程．

1

2

22.【答案】解：（1）S =（250-200）•10y -x =-12x +29x +500，

答：年利润 S （万元）与广告费用 x （万元）的函数关系式 S ═-12x +29

x +500， （2）∵S =-12（x -29） +920.5（10≤x ≤50），

∴当 10≤x ＜29 时，S 随着 x 的增大而增大

当 29＜x ≤50 时，S 随着 x 的增大而减小 当 x =29 时，S 有最大值为 920.5． 年利润 S 的最大 920.5．

（3）若公司希望年利润在 776 万元到 908 万元之间，即：776≤s ≤908，

则：776≤-12x +29x +500≤908，

由于 x ＜29 时，S 随着 x 的增大而增大，而最大利润是 920.5，所以，x ＜29， 解上述不等式得：12≤x ≤24．

答：从节约支出的角度直接写出广告费 x 的取值范围为 12≤x ≤24． 【解析】

（1）根据利润=（销售单价-成本）×销售量-广告费用，列出函数关系式，化简成 一般式即可得；

2 2 2 2 2 2 1 2

2 2 2 2 2 2 2 2

（2）、（3）将（1）中二次函数一般式配方成二次函数的顶点式，由 x 的范围结合 二次函数的性质即可得．

本题主要考查二次函数的实际应用，理解题意找到题目蕴含的相等关系列出 函数解析式及熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．

23.

【答案】（1）证明：a =1，b =-（2m -1），c =m 2

-m -2，

∴△=△ b -4ac =[-（2m-1）] -4×1×（m

-m -2）=9＞0， ∴抛物线与 x 轴有两个不相同的交点．

（2）解：当 y =0 时，有 x -（2m-1）x +m -m

-2=0，即[x -（m-2）][x -（m +1）]=0， 解得：x =m -2，x =m +1．

1

2

又∵点 A 在点 B 的左边， ∴x =m -2，x =m +1．

A B

当 x =0 时，y =x -（2m -1）x +m -m -2=m -m-2，

∴点 C 的纵坐标 y =m -m -2． C

（3）解：∵A 、B 两点在 y 轴的同侧，

∴（m -2）（m +1）=m -m -2＞0，AB =m +1-（m -2）=3，

∴S =12A B •y =32（m -m -2）．

∵△ABC 的面积为 6，

∴32（m

-m -2）=6，即 m -m -6=0， 解得：m =-2，m =3．

1 2

当 m =-2 时，抛物线的解析式为 y =x +5

x+4； 当 m=3 时，抛物线的解析式为 y =x -5

x +4． 答：抛物线的解析式为 y =x +5

x +4 或 y =x -5x +4． 【解析】

（1）根据二次函数的系数结合根的判别式，可得 △出=9＞0，进而可证出抛物 线与 x 轴有两个不相同的交点；

（2）分别代入 y=0 及 x=0 求出与之对应的 x 、y 的值，此题得解；

（3）利用三角形的面积公式结合△ABC 的面积为 6，可得出关于 m 的一元二次

方程，解之即可得出 m 的值，再将其代入抛物线的解析式中即可得出结论．

本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的

面积以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞△ 0 时，抛物线

y=ax +bx+c 与 x 轴有两个不同交点”；（2）利用二次函数图象上点的坐标特征

求出 x 、x 、y 的值；（3）根据三角形的面积找出关于 m 的一元二次方

程． A B C 24.【答案】（2，2） （4，5）

【解析】

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 △ABC C 2 2 2 2 2 2 2

解：（1）如图 1，设 AB 与 OP 的交点为 C ；

点 A （0，2），B （2，0）， ∴∠CBO=45°，

∵PO 是 AB 的垂直平分线， ∴△OBC 是等腰直角三角形， ∴P （2，2）；

如图 2，连接 AD ，

当 B （4，0）

时，∠P=∠ABO ，

∴

，

∵AD=BD ，

在 Rt △AOD 中，AD+OD=4，AO=2，

∴AD =4+（4-AD ） ，

∴AD= ，

∴BP=5， ∴P （4，5）；

2 2

∵抛物线关于y轴对称，

∴b=0，

将点（2，2），（4，5）代入，可得a=，c=1，

∴抛物线解析式为y=+1；

故答案为（2，2）；（4，5）；

（2）如图3，过点E作EG⊥x轴，过点F作FH⊥x轴，

由（1）可知，FH=AF，AE=EG，

设E（x，y），F（x ，y），

∵AF=3AE，

∴y=3y，

21

∵点E与F在直线y=kx上，

∴x=3x，

21

联立y=kx与y=+1，可得-kx+1=0，

∴x+x=4k，x x =4，

1212

∴4x

1

=4k，3=4，

∴k=∵k ＞0，

2

1122

∴k=

；

（3）

设 M （x ，mx -m+2），G （x ，mx -m+2），N （x ， x +1

），

1

1

2

2

3

3

由

得 x +x =4m ，x x =4m-4，

1

2

1 2

∵直线 OG 的解析式为 y=

•x ，

∴由

∴x =

3

，

得 x

•x =4，

2 3

∴x

+x =x +

1

3

2

=

，x •x =

1 3

，

则直线 MN 的解析式为 y= （x +x ）x+1- x x

= •

=

=

•x+1- •

x+1-

（x-4）+2，

∴直线 MN 过定点（4，2）．

（1）

设 AB 与 OP 的交点为 C ，点 B （2，0）

时知∠C BO=45°，结合 PO 是 AB 的垂

直平分线知△OBC 是等腰直角三角形，从而得出答案；B （4，0）

时连接 AD ，

∠P=∠ABO 知

，根据 AD =4+（4-AD ）

求得 AD= ，BP=5，据此

可得点 P 坐标；

设 P 点形成的抛物线解析式为 y=ax +bx+c ，由抛物线关于 y

轴对称知 b=0，将点（2，2），（4，5）代入求解可得；

（2）作 EG ⊥x 轴，FH ⊥x 轴，由（1）可知，FH=AF ，AE=EG ，设 E （x ，y ），F （x ，

y ），由 AF=3AE 知 y =3y ，根据点 E 与 F 在直线 y=kx 上知 x =3x ，联立 y=kx 2

2

1

2

1

与 y=

+1 可得 x +x =4k ，x x =4，继而知 4x =4k ，3 =4，据此求解可得；

1

2

1 2

1

（3）设 M （x ，mx -m+2），G （x ，mx -m+2），N （x ， x +1

），由 1

1

2

2

3

3

2 1

3 1 3

2 2 2

1 1

2 2

知x+x=4m，x x =4m-4，直线OG的解析式为y= 1 212

•x，再由得x •x=4，即x =

233，据此可得x +x=x+=

132

，

x •x= 13，从而得出直线MN的解析式为y=（x +x）x+1-x x =

1313

（x-4）

+2，据此可得答案．

本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，一次函数图象上点的坐标特征，解方程，平移的性质等相关知识点，

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