一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分）

1．等腰三角形的对称轴是（　　）

A．底边上的高所在的直线    B．底边上的高    

C．底边上的中线    D．顶角平分线

2．如图在3×3的网格中，点A、B在格点处：以AB为一边，点P在格点处，则使△ABP为等腰三角形的点P有（　　）个．

A．2个    B．3个    C．4个    D．5个

3．如图，在△ABC中，∠B与∠C的角平分线相交于点I，过点I作BC的平行线，分别交AB、AC于点D、E．若AB＝9，AC＝6，BC＝8，则△ADE的周长是（　　）

A．14    B．15    C．17

4．如图所示，在等边三角形ABC中，AD⊥BC，E为AD上一点，∠CED＝50°，则∠ABE等于（　　）

A．10°    B．15°    C．20°    D．25°

5．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，BC＝6，则AB的值是（　　）

A．12    B．8    C．6    D．3

6．用反证法证明“a≥b”，对于第一步的假设，下列正确的是（　　）

A．a≤b    B．a≠b    C．a＜b    D．a＝b

7．下列说法：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形全等；②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等；③两边分别相等的两个直角三角形全等；④一个锐角和一条边分别相等的两个直角三角形全等，其中正确的个数是（　　）

A．1    B．2    C．3    D．4

8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB，AC于点D，E，则下列结论正确的是（　　）

A．AE＝3CE    B．AE＝2CE    C．AE＝BD    D．BC＝2CE

9．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是边AB的中点，AB＝10，DE＝4，则S△AEC＝（　　）

A．8    B．7.5    C．7    D．6

10．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，交CD于点E，若S△BCE＝10，BC＝5，则DE等于（　　）

A．10    B．7    C．5    D．4

二．填空题（共8小题，每小题3分，共24分）

11．等腰三角形的周长为12cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的腰长为　   　．

12．如图：已知∠B＝20°，AB＝A1B，A1B1＝A1A2，A2B2＝A2A3，A3B3＝A3A4，以此类推∠A的度数是　   　．

13．如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，AD平分∠BAC，点E为AC中点，则DE＝　   　．

14．在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，DE垂直平分AC，交AC于点E，交AB于点D，连接CD，若BD＝2，则AD的长是　   　．

15．如图，DE是△ABC的边AC上的垂直平分线，AB＝5cm，BC＝8cm，则△ABD的周长为　   　cm．

16．如图，点D，P在△ABC的边BC上，DE，PF分别垂直平分AB，AC，连接AD、AP，若∠DAP＝20°，则∠BAC＝　   　．

17．如图，AB∥CD，∠BAC与∠ACD的平分线交于点P，过P作PE⊥AB于E，交CD于F，EF＝10，则点P到AC的距离为　   　．

18．如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝40，DE＝4，AC＝12，则AB长是　   　．

三．解答题（共7小题，共66分）

19．如图，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，AB的垂直平分线DE交AC于点D，连接BD，求∠DBA的度数．

20．如图，已知AB∥CD，∠BCF＝180°，BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，∠ACE＝90°．求证：AC⊥BD．

21．已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AE是△ABC内部的一条线段，AE交CD于点F，交CB于点E，且∠CFE＝∠CEF．

求证：AE平分∠CAB．

22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．

（1）求∠B的度数：

（2）求证：BC＝3CE．

23．如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m分别交边AB，BC于点D和点E．

（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？

（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．

24．如图，已知AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．

（1）求∠DBC的度数；

（2）若△DBC的周长为14cm，BC＝5cm，求AB的长．

25．如图，已知AC∥BD，AE，BE分别平分∠CAB和∠DBA，点E在线段CD上．

（1）求∠AEB的度数；

（2）求证：CE＝DE．

参

一．选择题

1．解：等腰三角形的对称轴是底边的垂直平分线，

故选：A．

2．解：如图所示，以AB为腰的等腰三角形的点P有2个，

以AB为底边的等腰三角形的点P有3个，

∴△ABP为等腰三角形的点P有5个；

故选：D．

3．解：∵BI平分∠DBC，

∴∠DBI＝∠CBI，

又∵DE∥BC，

∴∠DIB＝∠IBC，

∴∠DIB＝∠DBI，

∴BD＝DI．

同理CE＝EI．

∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝15，

故选：B．

4．解：∵在等边三角形ABC中，AD⊥BC，

∴AD是BC的线段垂直平分线，

∵E是AD上一点，

∴EB＝EC，

∴∠EBD＝∠ECD，

∵∠CED＝50°，

∴∠ECD＝40°，

又∵∠ABC＝60°，∠ECD＝40°，

∴∠ABE＝60°﹣40°＝20°，

故选：C．

5．解：∵AB＝AC，∠A＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝6，

故选：C．

6．解：反证法证明“a≥b”，第一步是假设，a＜b，

故选：C．

7．解：①一个底角和一条边分别相等的两个等腰三角形不一定全等；

②底边及底边上的高分别相等的两个等腰三角形全等，正确；

③两边分别相等的两个直角三角形不一定全等；

④如果在两个直角三角形中，例如：两个30°角的直角三角形，一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等，这两个直角三角形肯定不全等，错误；

故选：A．

8．解：连接BE，

∵DE是AB的垂直平分线，

∴AE＝BE，

∴∠ABE＝∠A＝30°，

∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，

在Rt△BCE中，BE＝2CE，

∴AE＝2CE，

故选：B．

9．解：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，C点E是边AB的中点，

∴AE＝BE＝CE＝AB＝5，

∵CD⊥AB，DE＝4，

∴CD＝＝3，

∴S△AEC＝S△BEC＝BE•CD＝3＝7.5，

故选：B．

10．解：作EF⊥BC于F，

∵S△BCE＝10，

∴×BC×EF＝10，即×5×EF＝10，

解得，EF＝4，

∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，

∴DE＝EF＝4，

故选：D．

二．填空题

11．解：由题意知，应分两种情况：

（1）当腰长为3cm时，则另一腰也为3cm，

底边为12﹣2×3＝7cm，

∵3+3＜7，

∴边长分别为3，3，7不能构成三角形；

（2）当底边长为3cm时，腰的长＝（12﹣3）÷2＝4.5cm，

∵0＜3＜4.5+4.5＝9，

∴边长为3，4.5，4.5，能构成三角形，

则该等腰三角形的一腰长是4.5cm．

故答案为：4.5cm．

12．解：∵∠B＝20°，AB＝A1B，

∴∠A＝（180°﹣∠B）＝80°，

故答案为：80°．

13．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，

∴AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，又点E为AC中点，

∴DE＝AC＝5，

故答案为：5．

14．解：∵DE垂直平分AC，

∴CD＝AD，

∴∠ACD＝∠A＝30°，

∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，

∴∠ACB＝90°﹣∠A＝60°，

∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝30°，

∴CD＝2BD＝2×2＝4，

∴AD＝CD＝4．

故答案为：4．

15．解：∵DE是△ABC中的边AC上的垂直平分线，

∴AD＝CD，

∵AB＝5cm，BC＝8cm，

∴△ABD的周长为：AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝AB+BC＝13（cm）．

故答案是：13．

16．解：∵DE，PF分别垂直平分AB，AC，

∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAP，

又∵∠DAP＝20°，

∴∠B+∠C＝（180°﹣20°）＝80°，

∴∠BAC＝180°﹣80°＝100°，

故答案为：100°．

17．解：作PH⊥AC于H，

∵AP平分∠BAC，PE⊥AB，PH⊥AC，

∴PE＝PH，

∵AB∥CD，PE⊥AB，

∴PF⊥CD，

∵CP平分∠ACD，PF⊥CD，PH⊥AC，

∴PF＝PH，

∴PH＝PE＝PF＝EF＝5，即点P到AC的距离为5，

故答案为：5．

18．解：作DF⊥AC于F，如图，

∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，

∴DF＝DE＝4，

∵S△ABD+S△ADC＝S△ABC，

∴•4•AB+•12•4＝40，

∴AB＝8．

故答案为8．

三．解答题

19．解：∵在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝110°，

∴∠A＝∠C＝35°，

∵AB的垂直平分线DE交AC于点D，

∴AD＝BD，

∴∠DBA＝∠A＝35°

20．证明：∵AB∥CD，

∴∠ABC＝∠DCF．（ 两直线平行，同位角相等）

∵BD平分∠ABC，CE平分∠DCF，

∴∠2＝∠ABC，∠4＝∠DCF．（ 角平分线的定义）

∴∠2＝∠4．

∴BD∥CE．（ 同位角相等，两直线平行）

∴∠BGC＝∠ACE．（两直线平行，内错角相等）

∵∠ACE＝90°，

∴∠BGC＝90°，即AC⊥BD．（ 垂直的定义）

21．证明：∵CD⊥AB，

∴在△ADF中，∠DAF＝90°﹣∠AFD＝90°﹣∠CFE．

∵∠ACE＝90°，

∴在△AEC中，∠CAE＝90°﹣∠CEF．

∵∠CFE＝∠CEF，

∴∠DAF＝∠CAE，

即AE平分∠CAB．

22．解：（1）∵AE⊥CD，

∴∠AFC＝∠ACB＝90°，

∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°，

∴∠ECF＝∠CAF，

∵∠EAD＝∠DCB，

∴∠CAD＝2∠DCB，

∵CD是斜边AB上的中线，

∴CD＝BD，

∴∠B＝∠DCB，

∴∠CAB＝2∠B，

∵∠B+∠CAB＝90°，

∴∠B＝30°；

（2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°，

∴AE＝BE，CE＝AE，

∴BC＝3CE．

23．解：（1）△CDE的周长为10．

∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，

∴AD＝CD，BE＝CE，

∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；

（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，

∴AD＝CD，BE＝CE，

∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，

又∵∠ACB＝125°，

∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，

∴∠ACD+∠BCE＝55°，

∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．

24．解：（1）∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∵∠A＝40°，

∴∠ABC＝∠ACB＝70°，

∵MN是AB的垂直平分线，

∴DA＝DB，

∴∠A＝∠ABD＝40°，

∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70﹣40°＝30°；

（2）∵MN是AB的垂直平分线，

∴BD＝AD，

∵△DBC的周长为14cm，

∴BD+BC+CD＝14cm，

∵BC＝5cm，

∴BD+CD＝AD+CD＝AC＝9cm，

∵AB＝AC，

∴AB＝9cm．

25．解：（1）∵AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD＝180°．

∵AE平分∠CAB，∴∠EAB＝∠CAB．

同理可得∠EBA＝∠ABD．

∴∠EAB+∠EBA＝90°，

∴∠AEB＝90°；

（2）如图，在AB上截取AF＝AC，连接EF，

在△ACE和△AFE中，

∴△ACE≌△AFE（SAS）．

∴CE＝FE，∠CEA＝∠FEA．

∵∠CEA+∠DEB＝90°，∠FEA+∠FEB＝90°，

∴∠DEB＝∠FEB．

在△DEB和△FEB中

∴△DEB≌△FEB（ASA）．

∴ED＝EF．

∴ED＝CE．下载本文