第一试

一、选择题（每小题6分,满分36分）

1．删去正整数数列1,2,3,……中的所有完全平方数，得到一个新数列．这个新数列的第2003项是

(A)2046   　　　 (B)2047  　　　   (C)2048  　　  (D)2049

2．设a, bR, ab≠0，那么，直线 axy+b=0和曲线 bx2+ay2=ab 的图形是

       (A)                 (B)               (C)               (D)

3．过抛物线y2=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60的直线．若此直线与抛物线交于A,B两点，弦AB的中垂线与x轴交于P点，则线段PF的长等于

(A)  　　  (B)   　　 (C) 　　   (D)8

4．若x[,]，则y= tan(x+)tan(x+)+cos(x+)的最大值是

(A)  　 (B) 　　  (C)   　 (D) 

5．已知x,y都在区间(2,2)内，且xy＝1，则函数u=+的最小值是

(A)　　　　(B)　　　　(C)　　　　(D) 

6．在四面体ABCD中，设AB=1，CD=，直线AB与CD的距离为2，夹角为，则四面体ABCD的体积等于

(A)　　　　(B)　　　　(C)　　　　(D) 

二、填空题(每小题9分,满分54分)

7．不等式|x|32x24|x|+3＜0的解集是__________.

8．设F1,F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的点，且|PF1|:|PF2|=2:1，则△PF1F2的面积等于__________.

9．已知A={x|x24x+3＜0,xR}, B={x|≤0, x22(a+7)x+5≤0,xR}．若AB, 则实数a的取值范围是____________.

10．已知a,b,c,d均为正整数，且logab=, lo=，若ac=9, 则bd=________.

11．将八个半径都为1的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.

12．设Mn={(十进制)n位纯小数0. |ai只取0或1(i=1,2,…,n1)，an=1}，Tn是Mn中元素的个数，Sn是Mn中所有元素的和，则=_______.

三、解答题(每小题20分，满分60分)

1.已知,证

2.设A、B、C分别是复数, ,对应的不共线三点。

证：曲线与中平行于AC的中位线只有一个公共点，并求出此点。

3.一张纸上画有半径为R的圆O和圆内一定点A，且OA=a，折叠纸片，使圆周上某一点刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当取遍圆周上所有点时，求所有折痕所在直线上点的集合。

第二试

一、过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间，在弦CD上取一点Q，使。求证： 

二、设三角形的三边长分别是整数且,已知，其中，求这种三角形周长的最小值。

三、由n个点和这些点之间的条连线段组成一个空间图形，其中，，已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有q+2条连线段。证明：图中必存在一个空间四边形（即由A,B,C,D和AB、BC、CD、DA组成的图形）。

2003年全国高中数赛第一试参

一、选择题

1.注意到, ,故;

2.题设方程可化为和,观察图形可知；

3.易知直线AB的方程为,因此A,B两点的横坐标满足方程,从而弦AB中点的横坐标为,纵坐标,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P的横坐标即PF=；

4.原函数可化为,可以证明函数在已知的区间上为增函数，故当时，y取最大值;

5.消去y之后可得：,用基本不等式可求得函数u的最小值;

6.可用等积法求得，过程略。

二、填空题

7.. 提示： 原不等式可以化为: 

8. 4   是直角三角形，故的面积为;

9. 

   提示：,令, ,则只需在（1，3）上的图象均在x轴的下方，其充要条件是,由此推出;

10．93   提示： 由已知得, ,又，故,推得,;

11． 

  提示：如图，上下层的四个球的球心A1,B1,C1,D1,A,B,C,D分别是上下两个边长为2的正方形的顶点，且以它们的外接圆为上下底面构成圆柱，同时A1在底面上的射影M为弧AB的中点。

由于A1A=A1B=AB=2, , ,求得

,故所求的高为  ；                           

12．     提示：,

三、解答题

13．

证明：由可得

当且仅当a=b=c=d时取等号   ……5分

则

           ……………………………………………………15分

因为不能同时相等，所以

    ……………………………………20分

14．设,则代入并由复数相等可得

即因为A,B,C不共线 ，所以,可见所给曲线是抛物线段（图略）…………5分

AB,BC的中点分别是,；

所以DE的方程为     ……………………………10分

联立两式得,得,注意到,所以抛物线与中平行于AC的中位线DE有且只有一个公共点，此点的坐标为,相应的复数为  …………………………………………………………15分

15．如图建立直角坐标系，设,MN为AA1的中垂线，设P（x,y）是MN上任一点，则|PA|=|PA1| ……5分

代入推得   ………10分

可得其中,

.   所以…………15分

平方后可化为

所求点的集合为椭圆外（含边界）部分。…………20分

2003年全国数赛二试解答

1、证明 ∵、、、四点共圆，∴，由已知，

∴，而是△的一个外角，

，∴．

故、、、四点共圆，从而．

所以

．命题得证．

2、解 ∵，∴（）．

    考虑最小的正整数，使之满足（）．∵（），∴．

    令，即（）．

    于是（），

    （），

（），∴，．

令，则（），

即（），∴．

令，则（），

（），∴

由，，知，又，所以．

而当时，（）

    即（），且500为最小值．∴，

又、、为三角形三边，∴，即，∴， 

所以．下载本文