2015中考数学《规律探索》综合检测题

一、选择题

1.（5分）（2014•毕节地区，第18题5分）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第n个数是  ．

考点：	规律型：数字的变化类
专题：	规律型．
分析：	观察已知一组数发现：分子为从1开始的连线奇数，分母为从2开始的连线正整数的平方，写出第n个数即可．
解答：	解：根据题意得：这一组数的第n个数是． 故答案为：．
点评：	此题考查了规律型：数字的变化类，弄清题中的规律是解本题的关键．

2.（2014•武汉，第9题3分）观察下列一组图形中点的个数，其中第1个图有4个点，第2个图有10个点，第3个图有19个点，…

按此规律第5个图有点的个数是（  ）

 

A．

31

B．

46

C．

51

D．

66

考点：	规律型：图形的变化类
分析：	由图可知：其中第1个图有1+1×3=4个点，第2个图有1+1×3+2×3=10个点，第3个图有1+1×3+2×3+3×3=19个点，…由此规律得出第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点．
解答：	解：第1个图有1+1×3=4个点， 第2个图有1+1×3+2×3=10个点， 第3个图有1+1×3+2×3+3×3=19个点， … 第n个图有1+1×3+2×3+3×3+…+3n个点． 所以第5个图有点的个数是1+1×3+2×3+3×3+4×3+5×3=46． 故选：B．
点评：	此题考查图形的变化规律，找出图形之间的数字运算规律，利用规律解决问题．

3. （2014•株洲，第8题，3分）在平面直角坐标系中，孔明做走棋的游戏，其走法是：棋子从原点出发，第1步向右走1个单位，第2步向右走2个单位，第3步向上走1个单位，第4步向右走1个单位…依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时，则向上走1个单位；当n被3除，余数为1时，则向右走1个单位；当n被3除，余数为2时，则向右走2个单位，当走完第100步时，棋子所处位置的坐标是（　　）

A．

（66，34）

B．

（67，33）

C．

（100，33）

D．

（99，34）

考点：	坐标确定位置；规律型：点的坐标．
分析：	根据走法，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位，用100除以3，然后根据商和余数的情况确定出所处位置的横坐标与纵坐标即可．
解答：	解：由题意得，每3步为一个循环组依次循环，且一个循环组内向右3个单位，向上1个单位， ∵100÷3=33余1，  ∴走完第100步，为第34个循环组的第1步， 所处位置的横坐标为33×3+1=100， 纵坐标为33×1=33， ∴棋子所处位置的坐标是（100，33）． 故选C．
点评：	本题考查了坐标确定位置，点的坐标的规律变化，读懂题目信息并理解每3步为一个循环组依次循环是解题的关键．

二.填空题

1. （2014•湘潭，16题，3分）如图，按此规律，第6行最后一个数字是　16　，第　672　行最后一个数是2014．

考点：		规律型：数字的变化类．
分析：		每一行的最后一个数字构成等差数列1，4，7，10…，易得第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）=3n﹣2，由此求得第6行最后一个数字，建立方程求得最后一个数是2014在哪一行．
解答：		解：每一行的最后一个数字构成等差数列1，4，7，10…， 第n行的最后一个数字为1+3（n﹣1）=3n﹣2， ∴第6行最后一个数字是3×6﹣2=16； 3n﹣2=2014 解得n=672． 因此第6行最后一个数字是16，第672行最后一个数是2014． 故答案为：16，672．
点评：	此题考查数字的排列规律，找出数字之间的联系，得出运算规律解决问题．

　

2. （2014•扬州，第18题，3分）设a1，a2，…，a2014是从1，0，﹣1这三个数中取值的一列数，若a1+a2+…+a2014=69，（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=4001，则a1，a2，…，a2014中为0的个数是　165　．

考点：	规律型：数字的变化类．
分析：	首先根据（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2得到a12+a22+…+a20142+2152，然后设有x个1，y个﹣1，z个0，得到方程组，解方程组即可确定正确的答案．
解答：	解：（a1+1）2+（a2+1）2+…+（a2014+1）2=a12+a22+…+a20142+2（a1+a2+…+a2014）+2014 =a12+a22+…+a20142+2×69+2014 =a12+a22+…+a20142+2152， 设有x个1，y个﹣1，z个0 ∴， 化简得x﹣y=69，x+y=1849 解得x=959，y=0，z=165 ∴有959个1，0个﹣1，165个0， 故答案为：165．
点评：	本题考查了数字的变化类问题，解题的关键是对给出的式子进行正确的变形，难度较大．

二.填空题

1. （ 2014•珠海，第10题4分）如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1，以OA1为直角边作等腰Rt△OA1A2，以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3，…则OA4的长度为　8　．

考点：	等腰直角三角形
专题：	规律型．
分析：	利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．
解答：	解：∵△OAA1为等腰直角三角形，OA=1， ∴AA1=OA=1，OA1=OA=； ∵△OA1A2为等腰直角三角形， ∴A1A2=OA1=，OA2=OA1=2； ∵△OA2A3为等腰直角三角形， ∴A2A3=OA2=2，OA3=OA2=2； ∵△OA3A4为等腰直角三角形， ∴A3A4=OA3=2，OA4=OA3=8． 故答案为：8．
点评：	此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．

　

2．(2014年四川资阳，第16题3分)如图，以O（0，0）、A（2，0）为顶点作正△OAP1，以点P1和线段P1A的中点B为顶点作正△P1BP2，再以点P2和线段P2B的中点C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，则第六个正三角形中，不在第五个正三角形上的顶点P6的坐标是　（，）　．

考点：    规律型：点的坐标；等边三角形的性质． 

分析：    根据O（0，0）A（2，0）为顶点作△OAP1，再以P1和P1A的中B为顶点作△P1BP2，再P2和P2B的中C为顶点作△P2CP3，…，如此继续下去，结合图形求出点P6的坐标．

解答：    解：由题意可得，每一个正三角形的边长都是上个三角形的边长的，第六个正三角形的边长是，

故顶点P6的横坐标是，P5纵坐标是=，

P6的纵坐标为，

故答案为：（，）．

点评：    本题考查了点的坐标，根据规律解题是解题关键．

　

3．（2014年云南省，第14题3分）观察规律并填空

（1﹣）=•=；

（1﹣）（1﹣）=•••==

（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••=•=；

（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）=•••••••=•=；

…

（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）=　　．（用含n的代数式表示，n是正整数，且n≥2）

考点：    规律型：数字的变化类．

分析：    由前面算式可以看出：算式的左边利用平方差公式因式分解，中间的数字互为倒数，乘积为1，只剩下两端的（1﹣）和（1+）相乘得出结果．

解答：    解：（1﹣）（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）

=••••••…

=．

故答案为：．

点评：    此题考查算式的运算规律，找出数字之间的联系，得出运算规律，解决问题．

　

4.（2014•邵阳，第18题3分）如图，A点的初始位置位于数轴上的原点，现对A点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B点，第2次从B点向左移动3个单位长度至C点，第3次从C点向右移动6个单位长度至D点，第4次从D点向左移动9个单位长度至E点，…，依此类推，这样至少移动 28 次后该点到原点的距离不小于41．

考点：	规律型：图形的变化类；数轴
专题：	规律型．
分析：	根据数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），分别求出点所对应的数，进而求出点到原点的距离；然后对奇数项、偶数项分别探究，找出其中的规律（相邻两数都相差3），写出表达式；然后根据点到原点的距离不小于41建立不等式，就可解决问题．
解答：	解：由题意可得： 移动1次后该点对应的数为0+1=1，到原点的距离为1； 移动2次后该点对应的数为1﹣3=﹣2，到原点的距离为2； 移动3次后该点对应的数为﹣2+6=4，到原点的距离为4； 移动4次后该点对应的数为4﹣9=﹣5，到原点的距离为5； 移动5次后该点对应的数为﹣5+12=7，到原点的距离为7； 移动6次后该点对应的数为7﹣15=﹣8，到原点的距离为8； … ∴移动（2n﹣1）次后该点到原点的距离为3n﹣2； 移动2n次后该点到原点的距离为3n﹣1． ①当3n﹣2≥41时， 解得：n≥ ∵n是正整数， ∴n最小值为15，此时移动了29次． ②当3n﹣1≥41时， 解得：n≥14． ∵n是正整数， ∴n最小值为14，此时移动了28次． 纵上所述：至少移动28次后该点到原点的距离不小于41． 故答案为：28．
点评：	本题考查了用正负数可以表示具有相反意义的量，考查了数轴上点的坐标变化和平移规律（左减右加），考查了一列数的规律探究．对这列数的奇数项、偶数项分别进行探究是解决这道题的关键．

5.（2014•孝感，第18题3分）正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别在直线y=x+1和x轴上，则点B6的坐标是　（63，32）　．

考点：	一次函数图象上点的坐标特征
专题：	规律型．
分析：	首先利用直线的解析式，分别求得A1，A2，A3，A4…的坐标，由此得到一定的规律，据此求出点An的坐标，即可得出点B6的坐标．
解答：	解：∵直线y=x+1，x=0时，y=1， ∴A1B1=1，点B2的坐标为（3，2）， ∴A1的纵坐标是：1=20，A1的横坐标是：0=20﹣1， ∴A2的纵坐标是：1+1=21，A2的横坐标是：1=21﹣1，x§k§b 1 ∴A3的纵坐标是：2+2=4=22，A3的横坐标是：1+2=3=22﹣1， ∴A4的纵坐标是：4+4=8=23，A4的横坐标是：1+2+4=7=23﹣1， 即点A4的坐标为（7，8）． 据此可以得到An的纵坐标是：2n﹣1，横坐标是：2n﹣1﹣1． 即点An的坐标为（2n﹣1﹣1，2n﹣1）． ∴点A6的坐标为（25﹣1，25）． ∴点B6的坐标是：（26﹣1，25）即（63，32）． 故答案为：（63，32）．
点评：	此题主要考查了一次函数图象上点的坐标性质和坐标的变化规律，正确得到点的坐标的规律是解题的关键．

6.（2014•滨州，第18题4分）计算下列各式的值：

；；；． 

观察所得结果，总结存在的规律，应用得到的规律可得= 102014 ．

 

考点：	算术平方根；完全平方公式．
专题：	规律型．
分析：	先计算得到=10=101，=100=102，=1000=103，=1000=104，计算的结果都是10的整数次幂，且这个指 数的大小与被开方数中每个数中9的个数相同，所以=102014．
解答：	解：∵=10=101， =100=102， =1000=103， =1000=104， ∴=102014． 故答案为102014．
点评：	本题考查了算术平方根：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的算术平方根．记为A．

7．（2014•德州，第17题4分）如图，抛物线y=x2在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3…An，…．将抛物线y=x2沿直线L：y=x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：

①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y=x上；

②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．

则顶点M2014的坐标为（　4027　，　4027　）．

考点：		二次函数图象与几何变换．
专题：		规律型．
分析：		根据抛物线y=x2与抛物线yn=（x﹣an）2+an相交于An，可发现规律，根据规律，可得答案．
解答：		解：M1（a1，a1）是抛物线y1=（x﹣a1）2+a1的顶点， 抛物线y=x2与抛物线y1=（x﹣a1）2+a1相交于A1， 得x2=（x﹣a1）2+a1， 即2a1x=a12+a1， x=（a1+1）． ∵x为整数点 ∴a1=1， M1（1，1）； M2（a2，a2）是抛物线y2=（x﹣a2）2+a2=x2﹣2a2x+a22+a2顶点， 抛物线y=x2与y2相交于A2， x2=x2﹣2a2x+a22+a2，x kb 1 ∴2a2x=a22+a2， x=（a2+1）． ∵x为整数点， ∴a2=3， M2（3，3）， M3（a3，a3）是抛物线y2=（x﹣a3）2+a3=x2﹣2a3x+a32+a3顶点， 抛物线y=x2与y3相交于A3， x2=x2﹣2a3x+a32+a3， ∴2a3x=a32+a3， x=（a3+1）． ∵x为整数点 ∴a3=5， M3（5，5）， 所以M2014，2014×2﹣1=4027 （4027，4027）， 故答案为：（4027，4027）
点评：	本题考查了二次函数图象与几何变换，定点沿直线y=x平移是解题关键．

8.（2014•菏泽，第14题3分）下面是一个某种规律排列的数阵：

根据数阵的规律，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是  （用含n的代数式表示） 

考点：	算术平方根．
专题：	规律型．
分析：	观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出n﹣1行的数据的个数，再加上n﹣2得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可．
解答：	解：前（n﹣1）行的数据的个数为2+4+6+…+2（n﹣1）=n（n﹣1）， 所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数的被开方数是n（n﹣1）+n﹣2=n2﹣2， 所以，第n（n是整数，且n≥3）行从左到右数第n﹣2个数是． 故答案为：．
点评：	本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（n﹣1）行的数据的个数是解题的关键．

9．（2014年山东泰安，第24题4分）如图，在平面直角坐标系中，将△ABO绕点A顺时针旋转到△AB1C1的位置，点B、O分别落在点B1、C1处，点B1在x轴上，再将△AB1C1绕点B1顺时针旋转到△A1B1C2的位置，点C2在x轴上，将△A1B1C2绕点C2顺时针旋转到△A2B2C2的位置，点A2在x轴上，依次进行下去…．若点A（，0），B（0，4），则点B2014的横坐标为　　．

分析：    首先利用勾股定理得出AB的长，进而得出三角形的周长，进而求出B2，B4的横坐标，进而得出变化规律，即可得出答案．

解：由题意可得：∵AO=，BO=4，∴AB=，∴OA+AB1+B1C2=++4=6+4=10，

∴B2的横坐标为：10，B4的横坐标为：2×10=20，∴点B2014的横坐标为：×10=10070．故答案为：10070．

点评：此题主要考查了点的坐标以及图形变化类，根据题意得出B点横坐标变化规律是解题关键．

三.解答题

1. （ 2014•安徽省,第16题8分）观察下列关于自然数的等式：

32﹣4×12=5    ①

52﹣4×22=9    ②

72﹣4×32=13   ③

…

根据上述规律解决下列问题：

（1）完成第四个等式：92﹣4×　4　2=　17　；

（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并验证其正确性．

考点：    规律型：数字的变化类；完全平方公式． 

分析：    由①②③三个等式可得，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的2倍减1，由此规律得出答案即可．

解答：    解：（1）32﹣4×12=5    ①

52﹣4×22=9    ②

72﹣4×32=13   ③

…

所以第四个等式：92﹣4×42=17；

（2）第n个等式为：（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1，

左边=（2n+1）2﹣4n2=4n2+4n+1﹣4n2=4n+1，

右边=2（2n+1）﹣1=4n+2﹣1=4n+1．

左边=右边

∴（2n+1）2﹣4n2=2（2n+1）﹣1．

点评：    此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．

　

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