分部积分公式：∫uv'dx=uv-∫u'vdx ∫udv = uv-∫vdu 有任意f(x) f(x)'=----------*4x 1+2x^2x→+∞或-∞时，y→c,y=c 就是f(x)的水 平渐近线；比如y=0是y=e^x的水平渐近 线； x→a时，y→+∞或-∞,x=a就是f(x)的铅直平渐近线；比如x=0是y=1/x的铅直渐近线。lim 1 1->00 ---------- = 1 x^2f(-x) = -f(x)奇函数，f(-x)=f(x)偶函数解：f(x)的定义域为(-00,+00)， 11题 因为f(-x)=(-x)^2 * sin(-x)=-x^2sinx=-f(x), 所以f(x)为奇函数 解： 3 2x 3 x /3 6 12题 lim (1+ ---) = lim [(1+--) ] x->00 x x->00 x = e^6切线方程公式：y-y0=f'(x0)(x-x0) 1 法线方程公式：y-y0=- --------(x-x0) f'(x0) 换元公式： u=ψ(x)，[∫f(u)du] = ∫f[ψ(x)]ψ'(x)dx (a^x) '=xa^(x-1)解： 2x 1 13题 由y'= - --------------- y'| = - --- (1+x^2)^2 x=1 2 由切线方程公式得： 1 1 y - ---- = - ---- (x - 1) 2 2 即：x+2y-2 = 0 (a^x )' = (a^x)lna x^2 +x +1 14题 lim --------------- x->+00 2^x 2x+1 = ------------- = 0 2^x*ln2 解： 15题 ∂z --=2x*cos(x^2+y^2) ∂x ∂^2z ------ = -4xy*sin(x^2+y^2) ∂x ∂y 解：由题设，预使f(x)在x=0 处连续，16题 须有f(0-) = f(0+)=f(0) sin ax 又f(0-)=lim ----------- = a x->0 x f(0+)=lim (1+x^2)=1, x->0 且f(0) = 1 故a =1 设函数 在点 的某个邻域内有定义，如果有 ，则称函数在点 处连续，且称 为函数的的连续点。 解： x^2 17题 因(x√1-x^2)'=√1-x^2 - ----------- √1-x^2 1 (arcsinx)' = ------------- √1-x^2 x^2 1 所以 y'=√1-x^2 - -------------- + --------- √1-x^2 √1-x^2 y=x√(1+x ²) y=xu ， u=√v ，v=1+x ² y'=u+xu' u'=v'/(2√v) v'= 2x 则 y=√(1+x ² )+x ²/√(1+x ² ) y=(1+2x ²)/√(1+x ² )解：函数的定义域为(-00,+00) 19题 y'=3x^2-12x+1 y''=6x-12 令y''=0得x=2, 因为当x<2时y''<0，当x>2时y''>0， 所以曲线的凸区间是(-00,2)，凹区 间为(2,+00) 曲线的拐点为：(2,-15) 解：分离变量,得：dy dx18 题 ----- = -------- y+2 x+1 两边积分： dy dx ∫---- = ∫----- y+2 x+1 得通解：ln(y+2)=ln(x+1)+C 解：令F(x,y,z)=sinz-xyz, 20题 则 F'x = -yz,F'y=-xz,F'z=cosz-xy ∂z F'x yz 于是---- = ---- = - ----- ∂x F'z cosz-xy ∂z F'y xz ----- = ------ = - ------- ∂y F'z cosz-xy 解(1):依题意，R(p)=pQ(p)=12p-p^2/2 解(2):令R'(p) = 12-p得唯一驻点p=12 由R''(p)=-1,得R''(12)<0, 所以p=12是极大值点 故当价格为12(万元/吨)时，可使总收益 最大。 最大总收益为：72(万元) 解： 22题 令√2x=t,得dx=tdt, 由x∈(0,1)得t∈(0,√2) √2 t I=∫ ----- dt 0 1+t √2 1+t -1 √2 1 = ∫ -------- dt= ∫ 1 - ------ 0 1+t 0 1+t √2 =[t-ln(1+t)] = √2-ln(t+√2) 解： 1 e^x 23题 I = ∫ dx ∫ x dy 0 0 1 1 = ∫ x e^x dx = (xe^x-e^x)| 0 0 =0 - (-1) = 1解:(1) 2 1 A= ∫ ------ dx 1 x^2 1 2 1 1 = [- ---] = - ---- - （-1） = --- x 1 2 2 2 1 2 2 1 解:(2)Vx = π∫ （----） = π ∫ ------- 1 x^2 1 x^4 1 2 1 1 7 =π [- ---- ] = - --- - (- ---) = ---- 3x ^3 1 24 3 24
