第Ⅰ卷(选择题，共60分)

一、选择题（本题共10道小题，每小题5分，共60分)

1．若随机变量ξ的分布列如下表，则Eξ的值为(　　)

C.      D. 

2．曲线(θ为参数)的对称中心(　　)

A．在直线y＝2x上　　     B．在直线y＝x＋1上

 C．在直线y＝x－1上　    D．在直线y＝－2x上

3．过点A(2,3)的直线的参数方程为(t为参数)，若此直线与直线x－y＋3＝0相交于点B，则|AB|＝(　　)

A．　    B．2

C．3　    D．

4．在极坐标系中，过点(2，)且与极轴平行的直线的方程是(　　)

A．ρcosθ＝　    B．ρsinθ＝

C．ρ＝cosθ　    D．ρ＝sinθ

5．设随机变量ξ服从二项分布ξ～B(n，p)，则等于(　　)

A．p2      B．np 

C．(1－p)2     D．p2(1－p)

6．以下关于性检验的说法中，错误的是(　　)

A．性检验得到的结论一定准确

B．性检验依赖于小概率原理

C．样本不同，性检验的结论可能有差异

D．性检验不是判断两事物是否相关的唯一方法

7．对两个分类变量A，B的下列说法中，正确的个数为(　　)

①A与B无关，即A与B互不影响；②A与B关系越密切，则K2的值就越大；③K2的大小是判定A与B是否相关的唯一依据．

A．0　　　　　　　　    B．1

C．2      D．3

8．观察下列各图，其中两个分类变量之间关系最强的是(　　)

9．对于性检验，下列说法正确的是(　　)

A．K2>3.841时，有95%的把握说事件A与B无关

B．K2>6.635时，有99%的把握说事件A与B有关

C．K2≤3.841时，有95%的把握说事件A与B有关

D．K2>6.635时，有95%的把握说事件A与B无关

10．为了考察中学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在某校学生中随机抽取了50名学生，得到如下列联表：

A．0      B．0.05

C．0.01      D．1

11．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图1；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图2.由这两个散点图可以判断(　　)．

  图1             　　图2

A．变量x与y正相关，u与v正相关

B．变量x与y正相关，u与v负相关

C．变量x与y负相关，u与v正相关

D．变量x与y负相关，u与v负相关

12．下列说法：

①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后，方差恒不变；

②设有一个回归方程＝3－5x，变量x增加一个单位时，y平均增加5个单位；

③回归直线方程＝x＋必过点(，)；

④有一个2×2列联表中，由计算得K2的观测值k＝13.079，则有99.9%的把握认为这两个变量间有关系．其中错误的个数是(　　)．

A．0              B．1              C．2             D．3

本题可以参考性检验临界值表：

13．若点P(x，y)在曲线(¦È为参数，¦È∈R)上，则的取值范围是________．

14 .在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为¦Ñsin2¦È＝cos¦È与¦Ñsin¦È＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．

15．下面是一个2×2列联表：

16. 随机变量¦Î服从正态分布N(1，¦Ò2)，已知P(¦Î＜0)＝0.3，则P(¦Î＜2)＝________.

3、解答题（本题共6道小题,第17题10分,其余各题每题１２分共70分）

17．袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上n号的有n个(n＝1,2,3,4)．现从袋中任取一球，¦Î表示所取球的标号．

(1)求¦Î的分布列、期望和方差；

(2)若¦Ç＝aξ＋b，Eη＝1，Dη＝11，试求a，b的值．

18．甲、乙、丙三人按下面的规则进行乒乓球比赛；第一局由甲、乙参加而丙轮空，以后每一局由前一局的获胜者与轮空者进行比赛，而前一局的失败者轮空，比赛按这种规则一直进行到其中一人连胜两局或打满6局时停止，设在每局中参赛者胜负的概率均为，且各局胜负相互．求：

(1)打满3局比赛还未停止的概率；

(2)比赛停止时已打局数¦Î的分布列与期望Eξ.

19．已知曲线C：＋＝1，直线l： (t为参数)．

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．

20．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为¡°体育迷¡±，已知¡°体育迷¡±中有10名女性．

(1)根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为¡°体育迷¡±与性别有关？

附：K2＝.

(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，求至多有1人喜欢甜品的概率.

(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？

(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？

广平一中2015--2016学年第二学期高二年级5月考

数学试卷答案

1解析：由分布列性质得2x＋3x＋7x＋2x＋3x＋x＝1，得x＝，Eξ＝0¡Á2x＋1×3x＋2×7x＋3×2x＋4×3x＋5×x＝40x＝，故选C.

答案：C

2 [答案]　D

[解析]　由已知得消参得(x＋1)2＋(y－2)2＝1.

所以其对称中心为(－1,2)．显然该点在直线y＝－2x上，故选D．

3  [答案]　B

[解析]　由消去t得，2x－y－1＝0与x－y＋3＝0联立得交点B(4,7)，∴|AB|＝2.

[点评]　本题可将代入x－y＋3＝0得t＝2，由|AB|＝t得|AB|＝2.

4   [答案]　C

5解析：应当熟记二项分布¦Î的期望和方差的计算公式：

Eξ＝np，Dξ＝npq，(q＝1－p)．

因为¦Î～B(n，p)，D2(¦Î)＝2，(Eξ)2＝(np)2；

所以，＝＝(1－p)2.

答案：B

6解析：选A.根据性检验的原理可知得到的结论是错误的情况是小概率事件，但并不一定是准确的

7解析：选B.①正确，A与B无关即A与B相互；②不正确，K2的值的大小只是用来检验A与B是否相互；③不正确，例如借助二维条形图等，也可判定A与B是否相关．故选B.

8解析：选D.在四幅图中，D图中两个阴影条的高相差最明显，说明两个分类变量之间关系最强，故选D.

9解析：选B.由性检验的知识知：K2>3.841时，有95%的把握认为¡°变量X与Y有关系¡±；K2>6.635时，有99%的把握认为¡°变量X与Y有关系¡±．故选项B正确．

10.解析：选B.∵4.844>3.841，根据临界值表可知，认为性别与是否喜欢数学关系，这种判断犯错误的概率不超过0.05.

11 .C

12. B　解析：一组数据都加上或减去同一个常数，数据的平均数有变化，方差不变(方差是反映数据的波动程度的量)，①正确；回归方程中x的系数具备直线斜率的功能，对于回归直线方程＝3－5x，当x增加一个单位时，y平均减少5个单位，②错误；由线性回归方程的定义知，线性回归方程＝x＋必过点(，)，③正确；因为K2的观测值k＝13.079＞10.828，故有99.9%的把握认为这两个变量有关系，④正确．

13[答案]　(－¡Þ，－]∪[，＋¡Þ)

[解析]　由消去参数¦È得x2＋(y－2)2＝1，①

设＝k，则y＝kx，代入①式并化简，得(1＋k2)x2－4kx＋3＝0，此方程有实数根，∴¦¤＝16k2－12(1＋k2)≥0，解得k¡Ü－或k¡Ý.

14 [答案]　(1,1)

15  解析：a＝73－21＝52，b＝a＋2＝54.

答案：52,54

16 . 答案 0.7 

17. 解析：(1)¦Î的分布列为：

Dξ＝(0－1.5)2¡Á＋(1－1.5)2¡Á＋(2－1.5)2¡Á＋(3－1.5)2¡Á＋(4－1.5)2¡Á＝2.75.

(2)由Dη＝a2Dξ，得a2¡Á2.75＝11，即a＝¡À2.又Eη＝aEξ＋b，所以当a＝2时，由1＝2×1.5＋b，得b＝－2.

当a＝－2时，由1＝－2×1.5＋b，得b＝4.

∴或即为所求．

18.解析：令Ak、Bk、Ck分别表示甲、乙、丙在第k局中获胜．

(1)由事件同时发生与互斥事件至少有一个发生的概率公式知，打满3局比赛还未停止的概率为

P(A1C2B3)＋P(B1C2A3)＝＋＝.

(2)¦Î的所有可能值为2,3,4,5,6，且

P(¦Î＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝＋＝，

P(¦Î＝3)＝P(A1C2C3)＋P(B1C2C3)＝＋＝，

P(¦Î＝4)＝P(A1C2B3B4)＋P(B1C2A3A4)＝＋＝，

P(¦Î＝5)＝P(A1C2B3A4A5)＋P(B1C2A3B4B5)＝＋＝，

P(¦Î＝6)＝P(A1C2B3A4A5)＋P(B1C2A3B4C5)＝＋＝，

故有分布列：

19. [解析]　(1)曲线C的参数方程为(¦È为参数)

直线l的普通方程为：2x＋y－6＝0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos¦È，3sin¦È)到l的距离为

d＝|4cos¦È＋3sin¦È－6|.

则|PA|＝＝|5sin(¦È＋¦Á)－6|，其中¦Á为锐角，且tan¦Á＝.

当sin(¦È＋¦Á)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.

当sin(¦È＋¦Á)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.

20．解：(1)由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，¡°体育迷¡±为25人，从而完成2×2列联表如下：

K2的观测值

k＝＝¡Ö3.030.

因为3.030＜3.841，所以我们没有理由认为¡°体育迷¡±与性别有关．

(2)由频率分布直方图可知，¡°超级体育迷¡±为5人，从而一切可能结果所组成的基本事件空间为

¦¸＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a2，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}．

其中ai表示男性，i＝1,2,3.bj表示女性，j＝1,2.

Ω由10个基本事件组成，而且这些基本事件的出现是等可能的．

用A表示¡°任选2人中，至少有1人是女性¡±这一事件，则

A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，

事件A由7个基本事件组成，因而

P(A)＝.

21. 解：(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算，得

K2＝＝¡Ö4.762.

因为4.762>3.841，所以有95%的把握认为¡°南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异¡±．

(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间¦¸＝{(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．

其中ai表示喜欢甜品的学生，i＝1,2；bj表示不喜欢甜品的学生，j＝1,2,3.¦¸由10个基本事件组成，且这些基本事件的出现是等可能的．

用A表示¡°3人中至多有1人喜欢甜品¡±这一事件，则A＝{(a1，b1，b2)，(a1，b2，b3)，(a1，b1，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b2，b3)，(a2，b1，b3)，(b1，b2，b3)}．

事件A是由7个基本事件组成，因而P(A)＝.

22. 解析　设学生的得分情况为随机变量X，X～N(60,100)．

则¦Ì＝60，¦Ò＝10.

 (1)P(30＜X¡Ü90)＝P(60－3×10＜X¡Ü60＋3×10)＝0.997 4.

∴P(X＞90)＝[1－P(30＜X¡Ü90)]＝0.001 3

∴学生总数为：＝10 000(人)．

(2)成绩排在前228名的学生数占总数的0.022 8.

设分数线为x.

则P(X¡Ýx0)＝0.022 8.

∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4.

又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4.

∴x0＝60＋2×10＝80(分)．下载本文