1、椭圆（一类）

由代入整理得

,

同理，

可以假想点P在y轴右边，且x>0 帮助，显然总有符合椭圆定义。

公式常见应用：

（1）椭圆上点到焦点最远距离a+c,最近距离a-c

（2）椭圆上三点A,B,C，若成等差数列，则到同一个焦点的焦半径也成等差数列。

（3）定义直线为椭圆的左右准线。

由焦半径公式，椭圆上任意一点P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e.

2. 双曲线

由代入整理得

,

由双曲线上点 ,

若点P在右支上，同理， .总有 .

若点P在左支上，同理， .总有 .

公示的应用：

（1）若双曲线上同一支上的三点A,B,C，有成等差数列，则它们到同一个焦点的焦半径也成等差数列。

（2）定义直线为双曲线的左右准线。

由焦半径公式，双曲线上任意一点 P(x,y) 到对应焦点和对应准线的距离之比总等于离心率e.

3.抛物线

公式的应用：抛物线上三点A,B,C，

若，则。

二．圆锥曲线统一定义及方向角表示的焦半径公式

1、统一定义：平面上到定点F与定直线l 距离之比等于

常数e的点轨迹。若0若e=1，则轨迹为抛物线。

若e>1，则轨迹为双曲线。

2.方向角焦半径公式

（1）方向角定义

如图：将Fx当始边，FM当终边所成角定义为

点M的方向角。方向角范围

将焦准距离统一表示为P。

对于椭圆，双曲线 (要求记忆)

（2）公式： e:离心率，对于椭圆，双曲线， .

（3）公式的应用：

焦点弦长公式

说明：

（1）焦点弦长公式中，方向角以平方形式出现，

不影响计算，可将方向角改为焦点弦和对称轴

夹角：.

（2）有对称性改为夹角，公式对椭圆，双曲线的左右焦点弦都成立。

（3）对于双曲线当所决定的焦点弦与渐近线平行，在实际上不存在。

若较小，使时，此时公式应表为，此时焦点弦的两个端点分在两支上。

（4）对于抛物线，∵e=1 , .为焦点弦与对称轴夹角。

（5）通径：垂直对称轴的焦点弦称通径，在，令得通径的统一表示2eP.

对于椭圆，双曲线: ；对于抛物线: 2eP=2P.

（6）以上结论容易推广到二类圆锥曲线，比如焦点弦与对称轴夹角，

则有 .三．相交弦长公式

将直线y=Kx+d 代入椭圆

存在相交弦

在中，由求根公式

，

在具体问题，只要已知直线斜率和求得的代入后方程可直接写出相交弦长表达式，完全可以略去中间过程。

上面的观点对于双曲线，抛物线和直线产生的相交弦长也完全用类似的方法推导。只是对于双曲线，直线不能与渐近线平行；对于抛物线，直线不能与对称轴平行。

四．焦点三角形问题

对于椭圆和双曲线存在焦点三角形

对于焦点三角形问题，应注意两条：

一是用定义：椭圆：；双曲线：。

二是用正余弦定理：

举例：已知椭圆，点P位其上一点，点P对张角

（即∠），试求表示式。

解：由余弦定理：

移项，消去4：

又

说明：上面这个例子完全适用双曲线中的焦点三角形。

请你推导右面双曲线的图，若∠，求。

五．其他有关知识点：

1.椭圆中的基本

令∠

可以通过三角函数对椭圆中的a,b,c,e进行相互转换。

比如：由 .椭圆的方程便可以假设为：

2.双曲线中的基本矩形：

称为是相互共轭两条双曲线，作

,四条直线构成一个矩形，称作

是这两条双曲线的基本矩形（如图）：

基本矩形的对角线定是这两条双曲线的渐近线。

基本矩形中是的一个基本：

OA=a ,AD=b, OD=c .令∠DOA=,则就是其一条渐

近线的倾斜角。设斜率K，则

可以利用三角函数在双曲线的a,b,c,e,K之间进行过渡。

对于，则是它的基本：

. 令∠BOD。

互余，在共轭双曲线之间e与有关系.

3.双曲线渐近线

m>0为一类双曲线，m<0为二类双曲线，不论一类，二类，令m=0得到的两条直线定为双曲线的渐近线，具体运作时，移项，开方：。这一结果可以使双曲线方程和它的渐近线方程，两者相互反馈。

例：已知双曲线以坐标轴为对称轴，一条渐近线的方程为，且过点（6，4）。

试求该双曲线方程。

由可得

得 .

4.有关抛物线的知识点：

（1）四类抛物线：可以简化为两大类： .

焦点。

（2）焦点弦端点坐标公式

如图，为的焦点弦，则有： y

练习题：由焦点弦的一个端点B做准线的垂线，

垂足E。证明：A,O,E三点共线。 E

上面的性质可以推广到其他类型的抛物线。

（3）抛物线上两点连线斜率公式

对于一类抛物线上两点

关于圆锥曲线的切线

1.椭圆

1）若点为椭圆上一点，则椭圆过点P的切线方程为

同一法证明：由（1）知点为椭圆与直线的公共点，若椭圆与直线还有一个公共点，则（2）（3）

（1）+（2）－2（3）：

即，直线与椭圆仅有一个公共点，故为切线。

2）椭圆切线的一般表示

点为椭圆上点的一般表示，代入上面的切点公式得

. 此为椭圆切线的一般表示。

练习题：求椭圆上点与直线距离的最大值。

设椭圆切线，令其斜率

3）切点弦直线

点为椭圆外一点，由P两条切线PA，PB，切点A,B。直线AB称为切点弦直线。

容易证明点的切点弦直线方程为。

设切点，则

切线PA:，由切线过，则。（1）

切线PB:，由切线过，则。（2）

由（1），（2），直线过。故为切点弦直线。

2.双曲线

（1）若点为双曲线上一点，则双曲线过点P的切线方程为。（2）若点为双曲线拱形外一点，则由P可引双曲线的两条切线PA，PB，切点A,B，切点弦直线AB方程为。

3. 抛物线

（1）若点为抛物线上一点，则抛物线在点处的切线方程为 .

完全类似于椭圆时情形，用同一方法进行证明。

若抛物线方程为，其上一点，则点P处切线方程为。

若抛物线方程为，其上一点，则点P处切线方程为

（2）若点为抛物线拱形外一点，则由P可引抛物线的两条切线PA，PB，切点A,B，则切点弦AB所在直线方程为。

练习题：（08山东理） y

M为上任意一点，MA,MB为的两条切线。

求证：A,M,B三点横坐标成等差。

证明：设，由求导公式得过点A的抛物线切线为

,同理点处切线为

若这两条直线是由点所引的两切线， A

.这一结果表明直线 B 过点，点，故直线

即为直线AB

x

M

3.圆

1）若点为圆上一点，则方程为圆在点P处的切线。2）若点为圆上一点，则方程

为圆在点P处的切线。

3）若点或上一点，则方程

或为切点弦直线。

练习题：

1.由P（3,4）向圆引两条切线PA，PB，切点A,B，求△PAB外接圆方程。解：由P（3,4）向圆所引切点弦直线方程为

方程为过A,B两点的圆系方程，代入P（3,4），

，外接圆方程为.

2.（09山东）圆在椭圆内部，求t使圆上任意一点处的切线与椭圆交于点A,B两点，都有OA⊥OB。

解：设为圆上一点，此点切线为.

取代入椭圆得，

得 .

再将切线写成，代入椭圆得

，得 .

由OA⊥OB知 .

5.有关切点弦直线的统一结论：

在准线上任一点的切点弦直线必过对应的焦点。

1）椭圆，左准线上一点的切点弦直线

代入左焦点 ,方程成立。

对于双曲线，抛物线同样证明。

2）抛物线准线上一点的切点弦直线，不仅过焦点，且两条切线垂直。

可以直接证明：

设过点M()的直线代入，得一代入后方程：（请

自己写结果）由这一方程的得一斜率为K的二次关系式，视为K的一元二次方程。由韦达定理.

间接证明：

先证切点弦直线必过焦点，再由焦点弦端点坐标公式，证明所引的两条切线必定垂直。

y

关于圆锥曲线焦点弦一个有关角度的结论：

如图，AB为圆锥曲线任意一条焦点弦，点E C B

为准线和对称轴焦点（亦称准点），则定有∠AEF=∠BEF。

证明：设点C,D为点B,A在准线上的射影，由圆锥 E F x 曲线统一定义：。

由

. D A

练习题：椭圆，过点P(4,0)做斜率K直线交椭圆于A,B两点，再过P做斜率－K

直线交椭圆于C，D两点。（如图）

求证：AB与CD交于定点。 y

证明：利用上面定理（要先证明引理）

∵点P(4,0)为准点，设椭圆右焦点F。连接DF

与，则为焦点弦。 A

∴ .

又由假设知。

∵A与同为椭圆上一点，∴只能是A= .

也即AD连线过右焦点F，同理，BC连线过右焦点F。

∴AB与CD交于定点F 。下载本文