2008-2009学年第二学期《高等代数I I》期末考试试卷(B)
答案与评分标准
一、填空题(每小题3分,共30分)
1.全体n阶实反对称矩阵, 关于矩阵的加法与数乘作成实数域上的线性空间,它的维数等于 .
2.已知 1 = 1, 2 = x, 3 = x2, 4 = x3 和 1 = 1, 2 = 1+x, 3 = (1+x)2,
4 = (1+x)3 是线性空间的两组基, 则由基1, 2, 3, 4到基1, 2, 3, 4的过渡矩阵是 .
3.中的向量在基下的坐标是, 则在基下的坐标是 .
4. 设矩阵有3个线性无关的特征向量，则= 0 .
5. 设欧氏空间V的两组基1, 2, , n与 1, 2, , n的度量矩阵分别
是A与B,从基1, 2, , n到 1, 2, , n的过渡矩阵是C, 则A与B之间
的关系是 .
6.上线性变换A（其定义为A）的值域的一组基是 (1,2)’ ．核的维数为 1 ．
7. 以下断言正确的有 ( A,B )
(A) 设是n维线性空间的子空间。若，则和是直和；
(B) 若阶方阵有个不同的特征值，则可以对角化；
(C)阶方阵的最小多项式的次数必小于；
(D) 有限维欧氏空间中保持长度不变的变换一定是正交变换。
8. 以下集合对于所指的线性运算构成实数域上线性空间的有 ( B )
(A) 次数等于3的实系数一元多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；
(B) 全体阶实对称矩阵, 关于矩阵的加法和数量乘法；
(C) 平面上不平行于轴的向量全体，关于向量的加法与数量乘法；
(D) 平面上的全体向量，关于向量的加法和以下定义的数量乘法：
（零向量）。
9. 下列变换A中，是线性变换的有 ( A,B )
(A) 在中，A；
(B) 在中，A（；
(C) 在中，A，其中是n 阶单位矩阵；
(D) 把复数域看作复数域上线性空间，定义
A 其中是复数的共轭 。
10. 对线性空间R2中以下函数f，不是线性函数的有 ( B，C，D )
(A) f(x1, x2) = 4x1 + x2log38 ； (B) f(x1, x2) = x1 + 4x2 + 4；
(C) f(x1, x2) = x12 + x1x2 + x22 ； (D) f(x1, x2) = sinx1 + cosx2 。
二、（12分）记为实数域上3阶方阵全体，则关于矩阵的加法与数乘构成实数域上线性空间。设，令
。
（1）证明是的一个子空间；
（2）求的维数和一组基。
解 (1) W不空 …1分
W关于加法、数乘封闭 …4分
(2) …9分
的维数是5，是一组基。 …12分
三、 （12分） 在线性空间中定义线性变换为
，
（1）求在基下的矩阵；
（2）求的一组基，使在这组基下的矩阵为对角矩阵，并写出该对角阵。
解 (1)求在基下的矩阵为
…3分
（2）A 的特征根为1，1，2，2。 …..6分
对应特征值1，解齐次线性方程组
得基础解系 …..8分
对应特征值2，解齐次线性方程组
得基础解系 …..10分
令
则P可逆。于是
是基， …..11分
且A在该基下矩阵为对角阵
…..12分
四、（12分）求矩阵的不变因子、最小多项式和Jordan标准形。
解 …6分
不变因子， …7分
最小多项式 …8分
初等因子 …10分
Jordan 标准形是 …12分
五、（12分）设1, 2, 3 是欧氏空间V的一组基, 这组基的度量矩阵是
又设 1 = 1 + 2 ，
(1) 证明 1 是一个单位向量；
(2) 求x使 1 与 2 = 1 + 2 + x3 正交；
(3) 把所求出的 2 单位化, 并记作 2 ；
(4) 给出正交补空间的一组基。
解 (1) (1 , 1)=1 …2分
(2) (2, 1)=x+1=0, x= -1. 所以
2 = 1 + 2 -3 …6分
(3) （2 ，2 ）=5,, 所以 …8分
(4)是V的一组基，令
则是正交补空间的一组基。 …12分
六、（7分）设是线性空间的一组基，是它的对偶基。记
证明也是的一组基，并用表示的对偶基。
证 （1）因为 …2分
且矩阵可逆，所以是的一组基 …3分
记表示的对偶基，则
…6分
即。 …7分
七、证明题 (每小题5分，共15分）
1.设分别是数域上齐次线性方程组与的解空间。证明可表为与的直和。
2．设是阶非零方阵，且存在正整数使。证明不能相似于对角阵。
3.设是n维欧氏空间一个标准正交向量组。证明关于中任意向量，都有下面的不等式成立：
。
证明 (1) …2分
又属于 ……4分
所以可表为与的直和。 …5分
(2) 的最小多项式为，因此不能相似于对角阵。
(3) 将扩充为V的标准正交基， …1分
则关于中任意向量，有下式成立：
…3分
所以 …5分下载本文
