一．填空题（共3小题）
1．如图，在底面为正方形的四棱锥P﹣ABCD中，PA=PB=PC=PD=AB=2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为 ．
2．如图的矩形，长为5，宽为3，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为120颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为 ．
3．某同学在借助题设给出的数据求方程lgx=2﹣x的近似数（精确到0.1）时，设f（x）=lgx+x﹣2，得出f（1）＜0，且f（2）＞0，他用“二分法”取到了4个x的值，计算其函数值的正负，并得出判断：方程的近似解为x≈1.8，那么他所取的4个值中的第二个值为 ．
二．解答题（共3小题）
4．已知（+2x）n．
（1）若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大的项的系数；
（2）若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．
5．购买某种保险，每个投保人每年度向保险公司交纳保费a元，若投保人在购买保险的一年度内出险，则可以获得10 000元的赔偿金．假定在一年度内有10 000人购买了这种保险，且各投保人是否出险相互．已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1﹣0.999104．
（Ⅰ）求一投保人在一年度内出险的概率p；
（Ⅱ）设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元，为保证盈利的期望不小于0，求每位投保人应交纳的最低保费（单位：元）．
6．如图，已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率e=，F是右焦点，A是右顶点，B是椭圆上一点，BF⊥x轴，|BF|=．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：x=ty+λ是椭圆C的一条切线，点M（﹣，y1），点N（，y2）是切线l上两个点，证明：当t、λ变化时，以 M N为直径的圆过x轴上的定点，并求出定点坐标．
寒假作业（八）参
1．如图，连接AC，BD，并交于O点，连接PO，根据题意知，PO⊥底面ABCD；
又底面ABCD为正方形；
∴AC⊥BD；
∴OB，OC，OP三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：
根据条件可确定以下几点坐标：A（0，，0），，，；
∴，；
∴，；
∴=；
∴异面直线BE与PD所成角的余弦值为．
故答案为：．
2．∵矩形的长为5，宽为3，则S矩形=5×3，
∴==，
∴利用几何概型，
故答案为：6．
3．先判断零点所在的区间为（1，2），故用“二分法”取的第一个值为1.5，
由于方程的近似解为x≈1.8，故零点所在的区间进一步确定为（1.5，2），
故取的第二个值为（1.5+2）÷2=1.75，
故答案为 1.75．
4．（1）∵Cn4+Cn6=2Cn5，
∴n2﹣21n+98=0，
∴n=7或n=14．
当n=7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，
∴T4的系数=C73（）423=，
T5的系数=C74（）324=70．
当n=14时，展开式中二项式系数最大的项是T8．
∴T8的系数=C147（）727=3432．
（2）由Cn0+Cn1+Cn2=79，可得n=12，设Tk+1项的系数最大．
∵（+2x）12=（）12（1+4x）12，
∴
∴9.4≤k≤10.4，∴k=10，
∴展开式中系数最大的项为T11．
T11=（）12C1210410x10=166x10．
5．由题意知
各投保人是否出险互相，且出险的概率都是p，
记投保的10000人中出险的人数为ξ，
由题意知ξ～B（104，p）．
（Ⅰ）记A表示事件：保险公司为该险种至少支付10000元赔偿金，
则发生当且仅当ξ=0，
=1﹣P（ξ=0）=1﹣（1﹣p）104，
又P（A）=1﹣0.999104，
故p=0.001．
（Ⅱ）该险种总收入为10000a元，支出是赔偿金总额与成本的和．
支出10000ξ+50000，
盈利η=10000a﹣（10000ξ+50000），
盈利的期望为Eη=10000a﹣10000Eξ﹣50000，
由ξ～B（104，10﹣3）知，
Eξ=10000×10﹣3，
Eη=104a﹣104Eξ﹣5×104=104a﹣104×104×10﹣3﹣5×104．
Eη≥0⇔104a﹣104×10﹣5×104≥0⇔a﹣10﹣5≥0⇔a≥15（元）．
∴每位投保人应交纳的最低保费为15元．
6．（1）由题意设椭圆方程为①焦点F（c，0），
因为②，
将点B（c，）代入方程①得③
由②③结合a2=b2+c2得：．
故所求椭圆方程为．
（2）由得（2+t2）y2+2tλy+λ2﹣2=0．
∵l为切线，
∴△=（2tλ）2﹣4（t2+2）（λ2﹣2）=0，
即t2﹣λ2+2=0①
设圆与x轴的交点为T（x0，0），则，
∵MN为圆的直径，
∴②
因为，所以，代入②及①得
=，
要使上式为零，当且仅当，解得x0=±1，
所以T为定点，故动圆过x轴上的定点是（﹣1，0）与（1，0），即两个焦点．下载本文
