一．填空题（共3小题）

1．出以下命题其中正确的命题有　　　　　　（只填正确命题的序号）．

①非零向量，满足⊥，则|+|=|﹣|

②•＞0，是，的夹角为锐角的充要条件；

③将y=lg（x﹣1）函数的图象按向量=（﹣1，0）平移，得到的图象对应的函数为y=lgx；

④在△ABC中，若（+）•（﹣）=0，则△ABC为等腰三角形．

2．用秦九韶算法计算多项式f（x）=x6﹣12x5+60x4﹣160x3+240x2﹣192x+当x=2时的值时，v4的值为　　　　　　．

3．给出以下四个结论：

（1）若关于x的方程在x∈（0，1）没有实数根，则k的取值范围是k≥2

（2）曲线与直线y=k（x﹣2）+4有两个交点时，实数k的取值范围是

（3）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0两侧，则3b﹣2a＞1；

（4）若将函数的图象向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位后变为偶函数，则ϕ的最小值是，其中正确的结论是：　　　　　　．

二．解答题（共3小题）

4．如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表： 

（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？

（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望．

5．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，

AB=BC=，BB1=3，D为A1C1的中点，F在线段AA1上．

（1）AF为何值时，CF⊥平面B1DF？

（2）设AF=1，求平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

6．如图所示，在直角坐标平面上的矩形OABC中，|OA|=2，，点P，Q满足，，点D是C关于原点的对称点，直线DP与CQ相交于点M．

（Ⅰ）求点M的轨迹方程；

（Ⅱ）若过点（1，0）的直线与点M的轨迹相交于E，F两点，求△AEF的面积的最大值．

寒假作业（七）参

1．对于①根据其几何意义，由于⊥，故平行四边形为矩形，又其对角线相等，故正确；对于②当共线且同向时不成立，故错误；对于③显然正确；对于④由于（+）•（﹣）=0，所以，所以△ABC为等腰三角形．

故正答案为①③④

2．由秦九韶算法计算多项式f（x）=x6﹣12x5+60x4﹣160x3+240x2﹣192x+

=（（（（（x﹣12）x+60）x﹣160）x+240）x﹣192）x+．

∴当x=2时的值时，

v0=1，v1=1×2﹣12=﹣10，v2=﹣10×2+60=40，v3=40×2﹣160=﹣80，v4=﹣80×2+240=80．

故答案为：80．

3．（1）若关于x的方程 在x∈（0，1）没有实数根，则k的取值范围是k≤0，故（2）错误；

对于（2），可化为x2+（y﹣1）2=4，y≥1，所以曲线为以（0，1）为圆心，2为半径的圆y≥1的部分．

直线y=k（x﹣2）+4过定点p（2，4），由图知，当直线经过A（﹣2，1）点时恰与曲线有两个交点，顺时针旋转到与曲线相切时交点边为一个．

且kAP==，由直线与圆相切得d==2，解得k=

则实数k的取值范围为 ，故正确；

对于（3），点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x﹣3y+1=0两侧，则2a﹣3b+1＜0，故（3）正确；

（4）若将函数 的图象向右平移ϕ（ϕ＞0）个单位后变为偶函数，则φ=kπ+，k∈N，当k=0时，ϕ的最小值是 ，故（4）正确；

故答案为：（2）、（3）、（4）．

4．（Ⅰ）Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，

Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，

i=1，2．用频率估计相应的概率可得

∵P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6，

P（A2）=0.1+0.4=0.5，∵P（A1）＞P（A2），

∴甲应选择Li，

P（B1）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，

∵P（B2）＞P（B1），∴乙应选择L2．

（Ⅱ）A，B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，

由（Ⅰ）知P（A）=0.6，P（B）=0.9，

又由题意知，A，B，

，

P（x=1）=P（B+A）=P（）P（B）+P（A）P（）

=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42，

P（X=2）=P（AB）=P（A）（B）=0.6×0.9=0.54，

X的分布列：

5．（1）因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，BB1⊥面ABC，∠ABC=．

以B点为原点，BA、BC、BB1分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系．

因为AC=2，∠ABC=90°，所以AB=BC=，

从而B（0，0，0），A，C，B1（0，0，3），A1，C1，D，E．

所以，

设AF=x，则F（，0，x），.，所以．

要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F．

由=2+x（x﹣3）=0，得x=1或x=2，

故当AF=1或2时，CF⊥平面B1DF．（5分）

（2）由（1）知平面ABC的法向量为n1=（0，0，1）．

设平面B1CF的法向量为n=（x，y，z），则由得

令z=1得，

所以平面B1CF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值．

6．

（Ⅰ）设点M的坐标为（x，y），由图可知A（2，0），，，．

由，得点P的坐标为（2λ，0）；

由，得点Q的坐标为．

于是，当λ≠0时，直线DP的方程为，①

直线CQ的方程为．②

①×②，得，即．

当λ=0时，点M即为点C，而点C的坐标也满足上式．

故点M的轨迹方程为．

（Ⅱ）设过点（1，0）的直线EF的方程为x=my+1，且设E（x1，y1），F（x2，y2）．

由

得（3m2+4）y2+6my﹣9=0．③

由于上述方程的判别式△=（6m）2+36（3m2+4）＞0，所以y1，y2是方程③的两根，

根据求根公式，可得．

又A（2，0），所以△AEF的面积．

令（t≥1），则m2=t2﹣1．

于是，t≥1．

记，t≥1，则．

因为当t≥1时，f'（t）＞0，所以在[1，+∞）上单调递增．

故当t=1时，f（t）取得最小值，

此时取得最大值．

综上所述，当m=0时，即直线EF垂直于x轴时，△AEF的面积取得最大值．下载本文