知识架构
第一讲 集合
★知识梳理
一：集合的含义及其关系
1.集合中的元素具有的三个性质:确定性、无序性和互异性;
2.集合的3种表示方法：列举法、描述法、韦恩图；
3.集合中元素与集合的关系：
文字语言
符号语言 属于
∈ 不属于 ∉ 4.常见集合的符号表示 数集 自然数集 正整数集
整数集 有理数集 实数集 复数集
符号 N
*N +N 或 Z Q R C 二： 集合间的基本关系
表示
关系
文字语言 符号语言 相等 集合A 与集合B 中的所有元素
都相同
B A ⊆⇔A ⊆B 且 B A = 子集 A 中任意一元素均为B 中的元
素
B A ⊆A B ⊇或 真子集 A 中任意一元素均为B 中的元
素，且B 中至少有一元素不是
A 的元素
A B 空集 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集 A
⊆φ）φ≠B （B φ，
①两个集合的交集:= ;A B {}x x A x B ∈∈且
②两个集合的并集: =;A B {}x x A x B ∈∈或
③设全集是U,集合,则A U ⊆U C A ={}x x U x A ∈∉且
交
并 补
{|,}A B x x A x B =∈∈且 {|,}A B x x A x B =∈∈或 U C A ={}x x U x A ∈∉且
方法:常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算
★重、难点突破
重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相
互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。
重难点：
1.集合的概念
掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，
在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；
2．集合的表示法
（1）列举法要注意元素的三个特性；（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如、、等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：{})(x f y x ={})(x f y y ={})(),(x f y y x =
问题：已知集合（ ） 221,1,9432x y x y M x N y ⎧⎫⎧⎫=+==+=⋂⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭
则M N= A. ；B. ；C. ；D. Φ{})2,0(),0,3([]3,3-{}3,2
[错解]误以为集合表示椭圆，集合表示直线，由于这直线过椭圆的
两个顶点，于是错选B M 14922=+y x N 12
3=+y x [正解] C ； 显然，故{}33≤≤-=x x M R N =]3,3[-=N M
(3)Venn 图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn 图。
3．集合间的关系的几个重要结论
（1）空集是任何集合的子集，即A ⊆φ
（2）任何集合都是它本身的子集，即A A ⊆
（3）子集、真子集都有传递性，即若，则B A ⊆C B ⊆C A ⊆
4．集合的运算性质
（1）交集：①；②；③；④，⑤；A B B A =A A A = φφ= A A B A ⊆ B B A ⊆ B A A B A ⊆⇔=
（2）并集：①；②；③；④，⑤；A B B A =A A A = A A =φ A B A ⊇ B B A ⊇ A B A B A ⊆⇔=
（3）交、并、补集的关系
①；φ=A C A U U A C A U =
②；)()()(B C A C B A C U U U =)()()(B C A C B A C U U U =
★热点考点题型探析
考点一：集合的定义及其关系
题型1：集合元素的基本特征
[例1]（2008年江西理）定义集合运算：．设{}|,,A B z z xy x A y B *==∈∈ {}{}1,2,0,2A B ==，则集合的所有元素之和为（ ）A B *
A ．0；
B ．2；
C ．3；
D ．6
[解题思路]根据的定义，让在中逐一取值，让在中逐一取值，在值就是的元素A B *x A y B xy A B *
[解析]：正确解答本题,必需清楚集合中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=，故应选择D A B *A B *{}4,2,0
【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。
题型2：集合间的基本关系
[例2]．数集与之的关系是（ ）{}Z n n X ∈+=,)12(π{}Z k k Y ∈±=,)14(π
A ．；
B ．；
C ．；
D ．X Y Y X Y X =Y X ≠
[解题思路]可有两种思路：一是将和的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。X Y
[解析] 从题意看，数集与之间必然有关系，如果A 成立，则D 就成立，这不可能；X Y
同样，B 也不能成立；而如果D 成立，则A 、B 中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C
【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。
[新题导练]
1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（ ）
A ． B. C. D.
B A ⊆
C B ⊆C B A = A C B =
[解析] D ；因为全集为，而=全集=A C B A
2．(2006•山东改编）定义集合运算:,设集合,,则集合的所有元素之和为 {}B y x xy y x B ∈∈+==⊗A,,z A 22{}1,0A ={}3,2=B B ⊗A
[解析]18，根据的定义，得到，故的所有元素之和为18B ⊗A {}12,6,0A =⊗B B ⊗A
3．(2007·湖北改编）设和是两个集合，定义集合，如果，,那么等于 P Q =-Q P {}Q x P x x ∉∈且,|{}1log 3<=x x P {}1<=x x Q Q P -
[解析] ；因为，所以{}31< [解析] 与，与都无包含关系，而；因为表示A C B C B A {} 42-==x y x A 42-=x y 的定义域，故；表示函数的值域，；表示曲线上的点集，可见，而与，与都无包含关系R A ={}42-==x y y B 42-=x y ),4[+∞-=B {}4),(2-==x y y x C 42-=x y B A A C B C 考点二：集合的基本运算 [例3] 设集合，{}0232=+-=x x x A {}0)5()1(222=-+++=a x a x x B （1） 若，求实数的值；{}2=B A a （2）若，求实数的取值范围若，A B A = a {}2=B A [解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。 [解析]因为，{}{}2,10232==+-=x x x A （1）由知，从而得，即{}2=B A B ∈20)5()1(4222=-+++a a 0342=++a a ，解得或1-=a 3-=a 当时，满足条件；1-=a {}⎣⎦2,2042-==-=x x B 当时，满足条件3-=a {}{}20442==+-=x x x B 所以或1-=a 3-=a （2）对于集合，由B )3(8)5(4)1(422+=--+=∆a a a 因为，所以A B A = A B ⊆ ①当，即时，满足条件；0<∆3-②当，即时，满足条件；0=∆3-=a {}2=B ③当，即时，才能满足条件，0>∆3->a {}2,1==A B 由根与系数的关系得，矛盾⎪⎩ ⎪⎨⎧=-=⇒⎩⎨⎧-=⨯+-=+725521)1(22122a a a a 故实数的取值范围是a 3-≤a 【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况. [新题导练] 6．若集合，则是（ ）{}R x y y S x ∈==,3{}R x x y y T ∈-==,12T S A. ； B. ； C.； D. 有限集S T φ [解析] A ；由题意知，集合表示函数的值域，故{}R x y y S x ∈==,3R x y x ∈=,3 集合；表示函数的值域，),0(+∞=S {}R x x y y T ∈-==,12R x x y ∈-=,12 ),1[+∞-=T ，故S T S = 7．已知集合，那么集合为（ ）A.；B.；C.；D.{}2),(=+=y x y x M {}4),(=-=y x y x N N M 1,3-==y x )1,3(-{}1,3-{})1,3(- [解析]D ；表示直线与直线的交点组成的集合，A 、B 、C 均不合题意。N M 2=+y x 4=-y x 8．集合,,且,求实数的值.{|10}A x ax =-={}2|320B x x x =-+=A B B =a [解析] ；先化简B 得, .由于,故或.10,1,2{}1,2B =A B B =A B ⇔⊆1A ∈2A ∈ 因此或,解得或.10a -=210a -=1a =12 a = 容易漏掉的一种情况是: 的情形,此时.∅=A 0a = 故所求实数的值为.a 10,1,2 备选例题1：已知，则中的元素个数是（ ）{}1+==x y y M {} 1),(22=+=y x y x N N M A. ；B. ；C.；D.无穷多个012 [解析]选A;集合表示函数的值域,是数集,并且,而集合表示满足M 1+=x y R M =N 122=+y x 的有序实数对的集合,即表示圆上的点,是点集。所以，集合与集合中的元素均不相同，因而，故其中元素的个数为0122=+y x M N φ=N M [误区分析]在解答过程中易出现直线与圆有两个交点误选C ；或者误认为中，而中，从而有无穷多个解而选D 。注意，明确集合中元素的属性（是点集还是数集）是准确进行有关集合运算的前提和关键。1+=x y 122=+y x 1+=x y R y ∈122=+y x 11≤≤-y ]1,1[-=N M 备选例题2：已知集合和集合各有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合的个数：A B B A C (Ⅰ)，且中含有3个元素；C B A C (Ⅱ)（表示空集）φ≠A C φ [解法一]因为、各有12个元素，含有4个元素，A B B A 因此，的元素个数是B A 2041212=-+ 故满足条件(Ⅰ)的集合的个数是C 320C 上面集合中，还满足的集合的个数是φ=A C C 38C 因此，所求集合的个数是C 108438320 =-C C [解法二]由题目条件可知，属于而不属于的元素个数是B A 8412=- 因此，在中只含有中1个元素的所要求的集合的个数为B A A C 28112C C 含有中2个元素的所要求的集合的个数为A C 18212C C 含有中3个元素的所要求的集合的个数为A C 312C 所以，所求集合的个数是C 10843121821228112 =++C C C C C ★抢分频道 基础巩固训练： 1． （09年××市川西中学09届第四次月考）设全集 {}{}R,(3)0,1U A x x x B x x ==+<=<-, 则右图中阴 影部分表示的集合为 ( ) A ．； B ．； C ．； D ．{}0x x >{}30x x -<<{}31x x -<<-{}1x x <- [解析]C ；图中阴影部分表示的集合是，而，故B A {}03<<-=x x A 2. （韶关09届高三摸底考）已知 则={}{}2(1)0,log 0A x x x B x x =->=A ．； B ．； C ．； D ．(0,1)(0,2))0,(-∞)(,0)(0,-∞+∞ [解析] A ；因为，所以{}10<<=x x A {}10<<=x x B {}10<<=x x B A 3. （苏州09届高三调研考）集合的所有子集个数为 {1,0,1}- [解析]8；集合的所有子集个数为{1,0,1}-823= 4.（09年××市高三第一次月考）集合中的代表元素设为，集合中的代表元素设为，若且，则与的关系是 A x B y B x ∈∃A y ∈∀A B [解析] 或；由子集和交集的定义即可得到结论A B ⊆A B ⋂≠∅ 5．(2008年天津)设集合，则的取值范围是（ ） {}{}R T S a x a x T x x S =+<<=>-= ,8|,32|a A ．；B ． 13-<<-a 13-≤≤-a C ．或； D ．或3-≤a 1-≥a 3-a [解析]A ；，{}{}5132|>-<=>-=x x x x x S 或{} 8|+<<=a x a x T R T S = 所以，从而得⎩ ⎨⎧>+-<581a a 13-<<-a 综合提高训练： 6．,{}01<<-=m m P {}恒成立对于任意实数x mx mx R m Q 0442<-+∈= 则下列关系中立的是( ) A ．; B ．; C ．; D ．P Q Q P Q P =φ=Q P [解析]A ；当时，有，即0≠m ⎩⎨⎧<-⨯⨯-=∆<0 )4(4)4(0 2m m m {}01<<-∈=m R m Q ；当时，也恒成立，故0=m 0442<-+mx mx {}01≤<-∈=m R m Q ，所以P Q 7.设，，记)(12)(N n n n f ∈+={}5,4,3,2,1=P {}7,6,5,4,3=Q {}P n f N n P ∈∈=)(ˆ，则＝( ){} Q n f N n Q ∈∈=*)(ˆ)ˆˆ()ˆˆ(P C Q Q C P N N A. ; B.; C. ; D. {}3,0{}2,1{}5,4,3{}7,6,2,1 [解析] A ；依题意得，所以，{}2,1,0ˆ=P {}3,2,1ˆ=Q { }0)ˆˆ(=Q C P N { }3)ˆˆ(=P C Q N ，故应选A 8．（09届惠州第一次调研考）设A 、B 是非空集合，定义 {}A B x x A B x A B ⨯=∈⋃∉⋂且，已知A=，B=，{|x y ={|2,0}x y y x => 则A ×B 等于（ ） A ．； B ．； C ．； D ．[)0,+∞[][)0,12,+∞[)[)0,12,+∞[]0,1(2,)+∞ [解析]D ；，∴A=[0，2]，∴B=（1，＋∞），22002x x x -≥⇒≤≤021x x >⇒> ∴A ∪B=[0, ＋∞），A ∩B=（1，2]，则A ×B ＝[]0,1(2,)+∞ 第2讲 函数与映射的概念 ★知识梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义： 设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为B A 、f A x B A B A x x f y ∈=),( (2)函数的定义域、值域 在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。A x x f y ∈=),(x x A )(x f y =x y {}A x x f ∈)()(x f y = (2)函数的三要素：定义域、值域和对应法则 2．映射的概念 设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为B A 、f A B A B B A f →: ★重、难点突破 重点：掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域 难点：求函数的值域和求抽象函数的定义域 重难点：1．关于抽象函数的定义域 求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误 问题1：已知函数的定义域为，求的定义域)(x f y =][b a ，)2(+=x f y [误解]因为函数的定义域为，所以，从而)(x f y =][b a ，b x a ≤≤222+≤+≤+b x a 故的定义域是)2(+=x f y ]2,2[++b a [正解]因为的定义域为，所以在函数中，)(x f y =][b a ，)2(+=x f y b x a ≤+≤2 从而，故的定义域是22-≤≤-b x a )2(+=x f y ]2,2[--b a 即本题的实质是求中的范围b x a ≤+≤2x 问题2：已知的定义域是，求函数的定义域)2(+=x f y ][b a ，)(x f y = [误解]因为函数的定义域是，所以得到，从而)2(+=x f y ][b a ，b x a ≤+≤2 22-≤≤-b x a ，所以函数的定义域是)(x f y =]2,2[--b a [正解]因为函数的定义域是，则，从而)2(+=x f y ][b a ，b x a ≤≤222+≤+≤+b x a 所以函数的定义域是)(x f y =]2,2[++b a 即本题的实质是由求的范围b x a ≤≤2+x 即与中含义不同)(x f )2(+x f x 2． 求值域的几种常用方法 （1）配方法：对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数，可变为解决4cos 2sin 2+--=x x y 2)1(cos 4cos 2sin 22+-=+--=x x x y （2）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。)32(log 221++-=x x y u y 2 1log =322++-=x x u （3）判别式法：通过对二次方程的实根的判别求值域。如求函数的值域221 22+-+=x x x y 由得，若，则得，所以是函数值域中的一个值；若，则由得，故 所求值域是2 2122+-+=x x x y 012)1(22=-++-y x y yx 0=y 21-=x 0=y 0≠y 0)12(4)]1(2[2≥--+-=∆y y y 021332133≠+≤≤-y y 且]2 133,2133[+- （4）分离常数法：常用来求“分式型”函数的值域。如求函数的值域，因为1 cos 3cos 2+-=x x y 1 cos 521cos 3cos 2+-=+-=x x x y ，而，所以，故]2,0(1cos ∈+x ]25,(1cos 5--∞∈+-x （5）利用基本不等式求值域：如求函数的值域4 32+=x x y 当时，；当时，若，则0=x 0=y 0≠x x x y 43 += 0>x 4424=⋅≥+ x x x x 若，则，从而得所求值域是0 x x x x x ]43,43[- （6）利用函数的单调性求求值域：如求函数的值域]) 2,1[(2224-∈+-=x x x y 因，故函数在上递减、在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为)14(22823-=-=x x x x y ])2,1[(2224-∈+-=x x x y )2 1,1(--)0,21(-)21,0()2,21(]30,815[ （7）图象法：如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。 ★热点考点题型探析 考点一：判断两函数是否为同一个函数 [例1] 试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1），；2)(x x f =33)(x x g = （2），x x x f =)(⎩⎨⎧<-≥=; 01,01)(x x x g （3），（n∈N*）；1212)(++=n n x x f 1212)()(--=n n x x g （4），；x x f =)(1+x x x x g +=2)( （5），12)(2--=x x x f 12)(2--=t t t g [解题思路]要判断两个函数是否表示同一个函数，就要考查函数的三要素。 [解析] （1）由于，故它们的值域及对应法则都不相同，所以它们不是同一函数.x x x f ==2)(x x x g ==33)( （2）由于函数的定义域为，而的定义域为R ，所以它们不是同一函数.x x x f =)(),0()0,(+∞-∞ ⎩⎨⎧<-≥=; 01,01)(x x x g （3）由于当n∈N*时，2n±1为奇数，∴，它们的定义域、值域及对应法则都相同，所以它们是同一函数.x x x f n n ==++1212)(x x x g n n ==--1212)()( （4）由于函数的定义域为，而的定义域为，它们的定义域不同，所以它们不是同一函数.x x f =)(1+x {}0≥x x x x x g +=2)({}10-≤≥x x x 或 （5）函数的定义域、值域和对应法则都相同，所以它们是同一函数. [答案]（1）、（2）、（4）不是；（3）、（5）是同一函数 【名师指引】构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系确定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数为同一函数。第（5）小题易错判断成它们是不同的函数。原因是对函数的概念理解不透，在函数的定义域及对应法则f 不变的条件下，自变量变换字母对于函数本身并无影响，比如，都可视为同一函数.1)(2+=x x f 1)(2+=t t f 1)1()1(2++=+u u f [新题导练] 1．(2009·佛山) 下列函数中与函数相同的是( )x y = A .y = ()2 ; B. y = ; C. y = ; D. y=x 2x x x 2 [解析] B ；因为y = ，所以应选择t = 2．(09年重庆南开中学)与函数的图象相同的函数是 （ ）)12lg(1.0-=x y A.； B.； C.； D.)21 (12>-=x x y 1 21-=x y )21(121>-=x x y |1 21|-=x y [解析] C ；根据对数恒等式得，且函数的定义域为，故应选择C 121101.0121 lg )12lg(-===--x y x x )12lg(1.0-=x y ),2 1(+∞ 考点二：求函数的定义域、值域 题型1：求有解析式的函数的定义域 [例2].（08年湖北）函数的定义域为( )=)(x f )4323ln(122+--++-x x x x x A.; B.； C. ; D. ),2[)4,(+∞--∞ )1,0()0,4( -]1,0()0,4[, -)1,0()0,4[, - [解题思路]函数的定义域应是使得函数表达式的各个部分都有意义的自变量的取值范围。 [解析]欲使函数有意义，必须并且只需)(x f ⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧≠>+--++-≥+--≥+-0043230430232222x x x x x x x x x )1,0()0,4[ -∈⇒x ，故应选择D 【名师指引】如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的的取值范围，实际操作时要注意：①分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③偶次根式中被开方数应为非负数；④零指数幂中，底数不等于0；⑤负分数指数幂中，底数应大于0；⑥若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写。x 题型2：求抽象函数的定义域 [例3]（2006·湖北）设，则的定义域为（ ）()x x x f -+=22lg ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22 A. ； B. ； C. ； D. ()()4,00,4 -()()4,11,4 --()()2,11,2 --()()4,22,4 -- [解题思路]要求复合函数的定义域，应先求的定义域。⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22)(x f [解析]由得，的定义域为，故202x x +>-()f x 22x -<<22,2 22 2. x x ⎧-<<⎪⎪⎨ ⎪-<<⎪⎩ 解得。故的定义域为.选 B.()()4,11,4x ∈--⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22()()4,11,4 -- 【名师指引】求复合函数定义域,即已知函数的定义为，则函数的定义域是满足不等式的x 的取值范围；一般地，若函数的定义域是，指的是，要求的定义域就是时的值域。()f x [,]a b [()]f g x ()a g x b ≤≤[()] f g x [,]a b [,]x a b ∈()f x [,]x a b ∈()g x 题型3；求函数的值域 [例4]已知函数，若恒成立，求的值域) (6242R a a ax x y ∈++-=0≥y 32)(+-=a a a f [解题思路]应先由已知条件确定取值范围，然后再将中的绝对值化去之后求值域a )(a f [解析]依题意，恒成立，则，解得，0≥y 0 )62(4162≤+-=∆a a 2 31≤ ≤-a 所以，从而，所以的值域是4 17)2 3()3(2)(2+ +-=+-=a a a a f 4)1()(max =-=f a f 419)23()(min -==f a f )(a f ]4,4 19 [- 【名师指引】求函数的值域也是高考热点，往往都要依据函数的 单调性求函数的最值。 [新题导练] 3.（2008安徽文、理）函数的定义域为 ．()f x = [解析] ；由解得[3,)+∞⎩⎨ ⎧≠->-≥--1 1,01012x x x 3≥x 4．定义在上的函数的值域为，则函数的值域为( )R ()y f x =[,]a b (1)y f x =- A ．； B ．； C ．； D ．无法确定 [1,1]a b --[,] a b [1,1]a b ++ [解析] B ；函数的图象可以视为函数的图象向右平移一个单位而 得到，所以，它们的值域是一样的(1)y f x =-()y f x = 5．(2008江西改) 若函数的定义域是，则函数的定义域是()y f x =] 3,1[(2) ()1 f x g x x = - [解析] ；因为的定义域为，所以对，但故]2 3,1()1,2 1[ ()f x ]3,1[() g x 321≤≤x 1x ≠]2 3 ,1()1,21[ ∈x 6．(2008江西理改)若函数的值域是，则函数的值域()y f x =] 3,3 2[()()1 () F x f x f x =+ 是 [解析] ；可以视为以为变量的函数，令，则]3 10 , 2[)(x F )(x f )(x f t =)33 2 (1≤≤+=t t t F 2 222) 1)(1(111t t t t t t F -+=-=-='，所以，在上是减函数，在上是增函数，故的最大值是，最小值是2t t F 1+=]1,32[]3,1[)(x F 3 10 考点三：映射的概念 [例5] （06陕西）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文密文（加密），接收方由密文明文（解密），已知加密规则为：明文对应密文例如，明文对应密文当接收方收到密文时，则解密得到的明文为（ ）→→,,,a b c d 2,2,23,4.a b b c c d d +++1,2,3,45,7,18,16. 14,9,23,28 A ．； B ．； C ．； D ．7,6,1,46,4,1,74,6,1,71,6,4,7 [解题思路] 密文与明文之间是有对应规则的，只要按照对应规则进行对应即可。 [解析] 当接收方收到密文14，9，23，28时， 有，解得，解密得到的明文为C ．21429 2323428 a b b c c d d +=⎧⎪+=⎪⎨ +=⎪⎪=⎩6 417 a b c d =⎧⎪=⎪ ⎨=⎪⎪=⎩ 【名师指引】理解映射的概念，应注意以下几点： （1）集合A 、B 及对应法则f 是确定的，是一个整体系统； （2）对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从集合B 到集合A 的对应关系一般是不同的； （3）集合A 中每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的，这是映射区别于一般对应的本质特征； （4）集合A 中不同元素，在集合B 中对应的象可以是同一个； （5）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象. [新题导练] 7．集合A={3，4}，B={5，6，7}，那么可建立从A 到B 的映射个数是__________，从B 到A 的映射个数是__________. [解析] 9 , 8；从A 到B 可分两步进行：第一步A 中的元素3可有3种对应方法（可对应5或6或7），第二步A 中的元素4也有这3种对应方法.由乘法原理，不同的映射种数N1＝3×3＝9.反之从B 到A ，道理相同，有N2＝2×2×2＝8种不同映射. 8．若f :y=3x+1是从集合A={1，2，3，k}到集合B={4，7，a4，a2+3a}的一个映射，求自然数a 、k 的值及集合A 、B. [解析] a=2，k=5，A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}； ∵f（1）=3×1+1=4，f （2）=3×2+1=7，f （3）=3×3+1=10，f （k ）=3k+1，由映射的定义知（1）或（2） ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=, 133, 102 4k a a a ⎪⎩⎪⎨⎧+==+. 13, 1034 2 k a a a ∵a∈N，∴方程组（1）无解. 解方程组（2），得a=2或a=－5（舍），3k+1=16，3k=15，k=5. ∴A={1，2，3，5}，B={4，7，10，16}. 备选例题：（03年上海）已知集合是满足下列性质的函数的全体：存在非零常数，对任意，有成立。M )(x f T R x ∈)()(x Tf T x f =+ （1）函数是否属于集合？说明理由；x x f =)(M （2）设函数的图象与的图象有公共点，证明： )1,0()(≠>=a a a x f x x y =M a x f x ∈=)( [解析]（1）对于非零常数T ，f(x+T)=x+T, Tf(x)=Tx. 因为对任意x∈R，x+T= Tx 不能恒成立，所以f(x)=.M x ∉ （2）因为函数f(x)=ax （a>0且a ≠1）的图象与函数y=x 的图象有公共点， 所以方程组：有解，消去y 得ax=x,⎩ ⎨⎧==x y a y x 显然x=0不是方程ax=x 的解，所以存在非零常数T ，使aT=T. 于是对于f(x)=ax 有 故f(x)=ax ∈ M.)()(x Tf a T a a a T x f x x T T x =⋅=⋅==++ ★抢分频道 基础巩固训练： 1．(2007·广东改编) 已知函数的定义域为，的定义域为，则 x x f -= 11)(N )1ln()(x x g +=M =N M [解析] ；因为,故),(+∞∞(1,),(,1)M N =-+∞=-∞R N M = 2．函数的定义域是 )23(log 3 1-=x y [解析] ；由得到23(,1]1 230≤- 2+-=x x y [解析]；由知，从而得，而，所以，即)1,1(-1 212+-=x x y 1≠y y y x -+= 11202>x 011 >-+y y 11<<-y 4．（广东从化中学09届月考）从集合A 到B 的映射中,下列说法正确的是( ) A ． B 中某一元素的原象可能不只一个；B ．A 中某一元素的象可能不只一个b a C ．A 中两个不同元素的象必不相同； D ．B 中两个不同元素的原象可能相同 [解析]A ；根据映射的定义知可排除B 、C 、D 5．（深圳中学09届高三第一学段考试）下列对应法则中，构成从集合A 到集合的映射是f B A ．2||:,},0|{x y x f R B x x A =→=>= B ．2:},4{},2,0,2{x y x f B A =→=-= C ．21:},0|{,x y x f y y B R A =→>== D ．2 :},1,0{},2,0{x y x f B A = →== [解析]D ；根据映射的定义知，构成从集合A 到集合的映射是D B 6．（09年执信中学）若函数的定义域为,值域为，则的取值范围是（ ）234y x x =--[0,]m 25[4]4 - -，m B ．； C ．； D ．(]4,03[3]2，3[]2，43[2 +∞，） [解析]B ；因为函数即为，其图象的对称轴为直线，234 y x x =--425)23(2--=x y 2 3=x 其最小值为，并且当及时，若定义域为，值域为，则4 25 - 0=x 3=x 4-=y [0,]m 25[4]4- -，32 3≤≤m 综合提高训练： 8．（05天津改）设函数，则函数的定义域是 x x x f -+=22ln )()1 ()2()(x f x f x g += [解析] ；由得，的定义域为。故) 4,21()21,4( --022>-+x x ()f x 22<<-x ⎪⎪⎩ ⎪ ⎪⎨ ⎧ <<-<<-21222 2x x 解得或。214- <<-x 42 1 < [解析]；因为，可见，在(是正整数)上是增函数，又2 2+n 4 1)21(21)(22++=+ +=x x x x f ) (x f ] 1,[+n n n 22)2 1 (]21)1()1[()()1(22+=++-++++=-+n n n n n n f n f 所以，在的值域有个整数)(x f 22+n 第3讲 函数的表示方法 ★知识梳理 一、函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 1．图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； 2．列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； 3．解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式来表示。 二、分段函数 在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的 函数称为分段函数。 ★重、难点突破 重点：掌握函数的三种表示法-----图象法、列表法、解析法，分段函数的概念 难点：分段函数的概念，求函数的解析式 重难点：掌握求函数的解析式的一般常用方法： （1）若已知函数的类型（如一次函数、二次函数），则用待定系数法； （2）若已知复合函数的解析式，则可用换元法或配凑法；)] ([x g f 问题1．已知二次函数满足，求)(x f 5)12(2+-=+x x x f )(x f 方法一：换元法 令 ，则，从而 )(12R t t x ∈=+2 1-= t x )(9552 1 6)21( 4)(22R t t t t t t f ∈+-=+-⋅--= 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法二：配凑法 因为9)12(5)12(410)12(5)12(222++-+=+-+==+-=+x x x x x x x f 所以)(95)(2R x x x x f ∈+-= 方法三：待定系数法 因为是二次函数，故可设，从而由可求出，所以) (x f c bx ax x f ++=2)(5)12(2+-=+x x x f 9 51=-==c b a 、、)(95)(2R x x x x f ∈+-= （3）若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出 )(x f 问题2：已知函数满足，求)(x f x x f x f 3)1(2)(=+)(x f 因为① x x f x f 3)1(2)(=+ 以代得②x 1x x x f x f 1 3)(2)1(⋅=+ 由①②联立消去得)1(x f )0(2 )(≠-=x x x x f ★热点考点题型探析 考点1：用图像法表示函数 [例1] （09年广东南海中学）一水池有个进水口, 个出水口,一 个口的进、出水的速度如图甲、乙所示.某天点到点,该水池的蓄水量如图丙所示．给出以下个论断：21063 进水量 出水量 蓄水量 甲 乙 丙 （1）点到点只进水不出水；（2）点到点不进水只出水；（3）点到点不进水不出水．033446 则一定不正确的论断是 (把你认为是符合题意的论断序号都填上) . [解题思路]根据题意和所给出的图象，对三个论断进行确认即可。 [解析]由图甲知，每个进水口进水速度为每小时1个单位，两个进水口1个小时共进水2个单位，3个小时共进水6个单位，由图丙知①正确；而由图丙知，3点到4点应该是有一个进水口进水，出水口出水，故②错误；由图丙知，4点到6点可能是不进水不出水，也可能是两个进水口都进水，同时出水口也出水，故③不一定正确。从而一定不正确的论断是（2） 【名师指引】象这类给出函数图象让考生从图象获取信息的问题是目前高考的一个热点，它要求考生熟悉基本的函数图象特征，善于从图象中发现其性质。高考中的热点题型是“知式选图”和“知图选式”。 [新题导练] 1．(05辽宁改)一给定函数的图象在下列图中，并且对任意，由关系式得到的数列满足，则该函数的图象是（ ）)(x f y =) 1,0(1∈a 0)(1=-+n n a f a }{n a )(0*1N n a a n n ∈>-+ A B C D [解析] A.；令，则等价于，是由点组1n n a x a y +=⎧⎨ =⎩()y f x =) (1n n a f a =+()y f x =1(,)n n a a + 成，而又知道，所以每各点都在y=x 的上方。1n n a a +< 2．(2005·湖北)函数的图象大致是( )|1|||ln --=x e y x [解析] D ；当时，可以排除A 和C ；又当时，可以排除B 1 ≥x 1)1(=--=x x y 21= x 2 3=y 考点2：用列表法表示函数 [例2] （07年北京）已知函数，分别由下表给出()f x ()g x 则的值为 ；满足的的值是 [(1)]f g [()][()]f g x g f x >x [解题思路]这是用列表的方法给出函数，就依照表中的对应关系解决 问题。 [解析]由表中对应值知=；[(1)]f g (3)1f = 当时，不满足条件1=x [(1)]1,[(1)](1)3f g g f g === 当时，满足条件，2=x [(2)](2)3,[(2)](3)1f g f g f g ==== 当时，不满足条件，3=x [(3)](1)1,[(3)](1)3f g f g f g ==== ∴满足的的值是[()][()]f g x g f x >x 2=x 【名师指引】用列表法表示函数具有明显的对应关系，解决问题的关键是从表格发现对应关系，用好对应关系即可。 [新题导练] 3．（09年山东梁山）设f 、g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表（从上到下）： 映射f 映射g 则与相同的是（ ） )]1([g f A ．； B ．； C ．； D ．)]1([f g )]2([f g )]3([f g )]4([f g [解析] A ；根据表中的对应关系得，1 )4()]1([==f g f 1)3()]1([==g f g 4．（04年江苏改编）二次函数（∈R ）的部分对应值如下表： ax y +=2 02<++c bx ax [解析] ；由表中的二次函数对应值可得，二次方程的两根为－2和3，又根据且可知，所以不等式)3,2(-02=++c bx ax ) 2()0(- 02<++c bx ax 的解集是)3,2(- 考点3：用解析法表示函数 题型1：由复合函数的解析式求原来函数的解析式 [例3] （04湖北改编）已知=，则的解析式可取为 )11(x x f -+2211x x +-)(x f [解题思路]这是复合函数的解析式求原来函数的解析式，应该首选换元法 [解析] 令，则，∴ .∴.t x x =-+1111+-=t t x 12)(2+=t t t f 12)(2 +=x x x f 故应填 2 12x x + 【名师指引】求函数解析式的常用方法有：① 换元法（ 注意新 元的取值范围）；② 待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）；③整体代换（配凑法）；④构造方程组（如自变量互为倒数、已知为奇函数且为偶函数等）。)(x f )(x g 题型2：求二次函数的解析式 [例4] （××市城东中学09届高三第二次月考）二次函数满足，且。)(x f x x f x f 2)()1(=-+1)0(=f ⑴求的解析式；)(x f ⑵在区间上，的图象恒在的图象上方，试确定实数的范围。] 1,1[-)(x f y =m x y +=2m [解题思路]（1）由于已知是二次函数，故可应用待定系数法求解；（2）用数表示形，可得求对于恒成立，从而通过分离参数，求函数的最值即可。)(x f )(2x f m x <+]1,1[-∈x [解析]⑴设，则2()(0) f x ax bx c a =++≠22(1)()[(1)(1)]() 2f x f x a x b x c ax bx c ax a b +-=+++-++=++ 与已知条件比较得：解之得，又，22, a a b =⎧⎨ +=⎩1, 1 a b =⎧⎨ =-⎩(0)1f c == ⑵由题意得：即对恒成立，212x x x m -+>+231m x x ≤-+[]1,1x ∈- 易得2min (31)1m x x <-+=- 【名师指引】如果已知函数的类型，则可利用待定系数法求解；通过分离参数求函数的最值来获得参数的取值范围是一种常用方法。 [新题导练] 5．（06全国卷二改编）若，则 x x f 2cos 3)(sin -==-)]2 [sin( x f π [解析 ] ； x 2cos 3+= -)]2 [sin( x f π 2 2 (sin )3cos 23(12sin )2sin 2f x x x x =-=--=+ 所以,因此2()22f x x =+22(cos )2cos 2(2cos 1)33cos 2f x x x x =+=-+=+ 6．（09年潮州金山中学）设是一次函数，若且成()y f x =()01 f =()()()1,4,13f f f 等比数列，则 ；()()()242f f f n +++= [解析]；设，由得，从而)32(+n n b kx x f +=)(1)0(=f 1=b 1)(+=kx x f 又由成等比数列得，解得()()()1,4,13f f f 2)14()113)(1(+=++k k k 2=k 所以，12)(+=x x f 7．（华侨中学09届第3次月考（09年中山））设 ，又记 ()11x f x x += - ()()()()()11,,1,2, ,k k f x f x f x f f x k +===则 （ ）()2008f x = A ．； B ．； C ．； D ．； 11x x +-11x x -+x 1 x - [解析] C ；由已知条件得到，x x x x x x f x f x f f x f 1111111)(1)(1)]([)(1112-=-+- -++ =-+= = 111111) (1)(1)]([)(1123+-=+ - =-+==x x x x x f x f x f f x f ， x x x x x x f x f x f f x f =+-- +-+ =-+==1 11111)(1)(1)]([)(3334x x x f f x f -+==11)]([)(4 5 可见，是以4为周期的函数，而，所以，)(x f n 4 5022008⨯=x x f x f ==)()(42008 8．设二次函数满足,且其图象在y 轴上的截距为1，在x 轴上截得的线段长为，求的解析式。)(x f )2()2(--=-x f x f 2)(x f [解析] ；设f(x)=ax2+bx+c ，17 87 2)(2++=x x x f 由f(x)满足f(x －2)=f(－x －2)，可得函数y=f(x)的对称轴为x=－2，所以 22b a -=- 由y=f(x)图象在 y 轴上的截距为1，可得，即c=1(0) 1f = 由y=f(x) 图象在x 轴上截得的线段长为，可得2 所以联立方程组，可解得1 2 2c b a ==⎨⎪-⎪=-⎪⎩27 871a b c ⎧= ⎪⎪⎪ =⎨⎪=⎪⎪⎩ 所以f(x)=.17 87 22++x x 考点4：分段函数 题型1：根据分段函数的图象写解 析式 [例5] (07年湖北)为了预防流感，某学校对教室用药 物消毒法进行消毒。已知药物释放过程中，室内每立方米空气中含药量y （毫克）与时间t （小时）成正比；药物释放完毕后，y 与t 的函数关系式为 （a 为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题： a y -⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=1161 （Ⅰ）从药物释放开妈，每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间t （小时）之间的函数关系式为 ； （Ⅱ）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下 时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过 小时后，学生才能回到教室。 [思路点拨]根据题意，药物释放过程的含药量y （毫克）与时间t 是一次函数，药物释放完毕后，y 与t 的函数关系是已知的，由特殊点的坐标确定其中的参数，然后再由所得的表达式解决（Ⅱ） [解析] （Ⅰ）观察图象，当时是直线，故；当时，图象过 1.00≤≤t t y 10=1.0≥t )1,1.0( 所以，即，所以a -⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛=1.016111.0=a ⎪⎩⎪ ⎨⎧>≤≤=-1.0,)16 1(1.00,101.0t t t y t （ Ⅰ）， 所 以 至少需要经过小时 6.016116125.01615 .01.01.0≥⇔⎪⎭ ⎫ ⎝⎛≤⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛⇔≤⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--t a a 6.0 【名师指引】分段函数的每一段一般都是由基本初等函数组成的，解决办法是分段处理。 题型2：由分段函数的解析式画出它的图象 例6] (2006·上海)设函数，在区间上画出函数的图像。 54)(2--=x x x f ]6,2[-)(x f [思路点拨]需将来绝对值符号打开，即先解，然后依分界点将函数分段表示，再画出图象。0542≥--x x [解析] ,如右上 25 / 25 图.222452156()45(45)15x x x x f x x x x x x ⎧---≤≤-≤≤⎪=--=⎨----≤≤⎪⎩或 【名师指引】分段函数的解决办法是分段处理，要注意分段函数 的表示方法，它是用联立符号将函数在定义域的各个部分的表达式依次表示出来，同时附上自变量的各取值范围。 [新题导练] 9．（09年潮州金山中学）已知函数，则 223(0)() 1 (0) x x f x x x -≥⎧=⎨+<⎩()1f f =⎡⎤⎣⎦ [解析] 2；由已知得到21)1()1()312()]1([2=+-=-=-⨯=f f f f 10．（06山东改编）设则不等式的解集为 ⎪⎩⎪⎨⎧≥-<=-, 2),1(log .2,2)(221x x x x f x π02)(>-x f [解析] ；当时，由得，得),5()2,1(+∞ 2 21>-x π21<
