采用小波Galerkin方法和扩展有限元法进行断裂力学分析

摘要

本论文介绍了采用小波Galerkin方法和扩展有限元法进行断裂力学分析，小波Galerkin方法是解决以缩放/小波函数为基底函数的偏微分方程的一种新方法。在固体结构分析中,划分为等距结构性细胞和缩放功能的分析域都周期性的放置在整个域中。为了提高精度 ，小波函数叠加在具有高度应力集中区域的缩放函数上，比如靠近孔和切口处。因此，这个方法在固定网格方法中被认为是一种精细化技术。然而，在应用小波Galerkin方法时，基函数被假定为连续函数，这就为处理裂纹表面位置不连续问题带来一定的困难。在本研究中，我们引入丰富的功能，在小波Galerkin公式考虑不连续位置和裂纹尖端的应力集中应用扩展有限元的概念。本论文介绍了上面提到的技术的数学模型及其数值实现。作为算例，文章提出了应力强度因子评估和二维裂缝的裂纹扩展分析。版权所有2012John Wiley父子有限公司。

关键字：有限元方法；小波Galerkin方法；扩展有限元方法；应力强度因子

1.绪论

断裂力学分析广泛地应用于受损结构完整性、安全性和可靠性评估，诸如飞机、轮船和动力设备。有限元方法作为强大的计算工具经常用于解决这些裂纹问题。商业有限元软件（如ABAQUS、MSC、MARC和ANSYS）能够建立二维或者三维的有限元裂纹模型，利用这些有限元模型能够计算出其应力强度因子。然而，因为特殊有限元建模的要求，即使是一个有熟练技术的工程师，在建立裂纹模型和计算应力强度因子时依然包含复杂的工作，比如，用双节点来表示裂纹表面和用很细的网格来表示裂纹尖端附近的应力奇异性。研究员已经开发出数值方法来提高计算效率和减少用有限元进行断裂力学分析时的自由度。叠加方法为裂纹尖端附近的应力场提供解析解，而且有限元解叠加，能提高应力奇异性的近似程度。四分之一点元素发展到使元素一边崩溃然后转化裂纹尖端方向的中节点为等参单元。四分之一点技术可以表示（1/）弹性体内裂纹尖端应力域的奇异性[2-6]。作为一种非传统有限元替代传统方法,混合奇异元素[7-11]和混合Trefftz方法被提出来。尽管几乎所有的研究工作都是针对简单的静止裂纹问题，但在更早的前沿工作中，有限元就被用来解决裂纹问题。

小波方法作为一个强大的数学工具被提出来表示信号或功能，并且这个方法已经被应用到信号处理和图像处理领域[15-19]。近年来，小波Galerkin方法已经被认为是解决偏微分方程的有效工具[20-22]。用小波Galerkin方法进行固体结构分析中，尺度函数和小波函数用来表示位置或应力。缩放/小波函数具有所谓的多分辨率特性。这些函数能够得出有层次结构的结果。不仅如此，基函数有紧凑的支撑条件，而且其结果能在诸如靠近孔或缺口应力集中的高梯度区域得到改善。对比传统的有限元方法，新方法没有网格划分处理。这就需要在小波Galerkin方法的基函数多精度和多分辨率方面的应用做许多研究，例如结构分析方面的研究[23-28]，固体力学问题[29-32]，拓扑优化[33、34]和小波有限元的发展[35、36]。基于小波分级再生核（RK）方法也已经被提出来。Liu et al.[37]提出了用再生核和小波分析多尺度的方法。Liu et al.[38]还提出了移动最小二乘再生核。傅里叶分析被用来验证这个方法。在该文献中提出了所谓的同步收敛现象。Liu et al.[39]提出了同步再生核。不仅如此，Liu et al.[40，41]提出了联合分层分区（PU）再生核。采用一系列基本的小波函数来构建分层分区。联合分层分区再生核已应用于非弹性固体应变的定位。

小波函数多分辨率特性加强了裂纹尖端的高应力梯度。然而，几乎没有文章已经解决了断裂力学问题。因为大多数小波Galerkin方法的基函数在Galerkin公式中被假定为连续的，这就给处理裂纹表面位置跳跃问题带来困难。近年来，有限元框架中的扩展有限元方法（X-FEM）[43-45]已经作为有效处理裂纹问题而被提出。基于PU[46,47]概念介绍了新的基函数（富集函数），新的基函数很容易就能表示裂纹表面和裂纹尖端附近应力集中区域的不连续性。而且，因为有限元网格的富集函数能地表示裂缝几何形状并且裂纹扩展分析不需要重新划分网格，所以裂纹扩展分析能力得到加强。Lee et al.[48]和Makasumi etal.[49]提出了一个耦合技术，这个技术同时使用X-FEM和网格叠加方法来有效地处理裂纹模型和裂纹扩展。另外，Li et al.[50]利用扩展Voronoi单元有限元模型来解决脆性材料的内聚裂纹扩展问题。通过使用多项式函数、分值函数和多分辨率小波函数来解决内聚裂纹问题。扩展Voronoi单元有限元模型通过增加裂纹合并的生长机制进行扩展[51]。

使用WGM和X-FEM方法进行断裂力学分析本文提出的二维裂纹问题。在WG公式中使用线性B样条曲线缩放/小波基函数。虽然基函数不满足小波理论中所谓的正交性条件，但该方法适用于求解边值问题。基函数有一个明确的形式，并且整合和分化都可以进行分析。基函数有紧凑的支撑。在固体/结构WG离散化下，分析域被分成相等间隔的结构化细胞，并且缩放函数被周期性地放置在网格细胞中。为了表示一个物体的边界，一个穿越边界的细胞分为等间隔的子单元。位于外部区域的子单元不参与刚度矩阵的数值积分。该方法可用来对复杂的结构自动地进行建模。此外，具有不同长度范围的小波函数叠加在缩放函数上来改进该解决方案。这个方法因此被认为是一个优化的固定网格（像素型）方法[53]。

用WGM进行固体/结构分析中，研究人员有时会讨论的一般边界的处理。虚拟域方法[29、33]和应用边界修正小波函数方法[30,31]被广泛使用。前者，其分析域扩展到外部，但非常小的刚度被提供给外部区域。后者，传统的缩放/小波函数被改进以适用于其边界形状。基于小波变换的有限元方法[54]是一种可避免处理与边界有关问题的技术。在作者之前的研究中，固体力学问题是通过使用B样条WGM方法解决的[55]。尽管在解决WGM中一般边界问题时经常采用虚拟域方法，但在这个工作中提出了一种技术来移除虚拟域。在当前的文章中，基于X-FEM的富集函数被提出来解决裂纹问题。Heaviside函数是一个丰富的线性B样条曲线缩放函数，这个函数用来表示裂纹表面的不连续位置。另外，在裂纹尖端附近的渐近解富含线性B样条曲线缩放函数和小波函数两种。无需通过重新划分和重新建立分析模型而重定位富集函数证明了裂纹扩展分析。

本文内容安排如下。第2节提出了用于对裂纹问题和裂纹扩展分析的WG方法，该分析方法是采用WGM和X-FEM。第3节提出了用上述方法完成应力强度因子计算和离散化。第4节提出了应力强度因子估值算例和裂纹扩展分析来证明上述技术。第5节得出结论。

2采用小波Galerkin方法和扩展有限元法进行断裂力学分析

2.1多分辨率特性和B样条小波基

WGM中的基函数是采用缩放/小波函数。在小波理论中根据所谓的多分辨率特性，基函数存在多层次结构。本节将对多分辨率特性和B样条小波基作简要介绍。更详细的内容，请参阅参考文献[15-19]。

多分辨率特性是在希尔伯（R）空间系列嵌套的子空间{；j∈Z}。

这些子空间都会产生缩放函数，j水平的缩放函数 (x)可被定义如下：

其中j是一个尺度参数，k是转换参数。因为空间包含于空间内，任何空间中的函数都能由若干个空间中的基函数表示 ，这样就有

这是的缩放函数的所谓双尺度关系，并且这组序数被称为双尺度序列。此外，再介绍一组互补子空间和,这样子空间能直接由若干个和,表示为

还有缩放函数都能生成小波函数。j层次的小波函数可以写成

因为包含在中，小波函数可以在一个有着双尺度序列的更高规模上表示为缩放函数{}

公式（3）和公式（6）中的系数被定义为一组缩放/小波函数。

如果一组小波函数，在中 (x)形成一个正交组，函数 (x)满足

在（I）表示内积运算符， 是Kronecker 。如果用一组正交小波基组，公式（4）的直和就成为正交和。

其中表示正交和。因此（R）空间可以分解为子空间的和

在空间上，函数f(x) （R）近似为他的投影f（x）（= (x)）

f（x）方法中f(x)是j→。如果缩放函数 (x)是正交的，系数可以由下方法取得：

通过一组函数，f(x) 和f（x）的差异可以分解

是小波函数系数。如果（x）是正交的，系数可按如下方法获得

公式（10）和（12）与连续（j,k）值重复使用，这样我们就得到一个缩放/小波函数的层次结构：

这里 (x)，是系数为下的缩放函数， (x)，（i=,…,j）是系数由到j的小波函数。作为公式（14）另一种表示方法，方程 (x)可以由系数为,k的j+1层缩放函数,k(x)叠加推导出来，并且由方程（10）可得

这就是在小波理论下缩放/小波函数所谓的多分辨率特性。这个理论可以直接扩展到2维和3维问题。一维缩放/小波函数的张量积是构建2D和3D缩放/小波函数的现有技术之一,，2维表示将在下节中讨论。

到目前为止，已经提出几对缩放/小波函数。[15-17,19]。本研究采用了B样条小波基。因为B样条小波基属于双小波家族且不满足正交条件。对B样条小波基的详细描述在[15,52]。另一方面，因为基函数有简单的形式和紧支撑，并且它很容易分化和整合，所以就有可能用它来解决WG表述中的固体/结构问题。第m阶B样条的缩放/小波基是由分段m-1次阶的多项式函数表示的，并且他们衍生至m-2阶是连续的。一维m阶B样条缩放函数可以写成一个幂级数：

这里的函数支撑是

方程（3）中B样条缩放函数（x）两尺度序列 (k=0,…,m)是

依此类推，方程（6）中的B样条小波有一个两尺度序列：

函数支撑是

在本分析中，线性（m=2）B样条缩放/小波函数被用来作为WG基函数，这个函数形式如表1（a,b）。

2.2二维小波Galerkin方法中的标准位置描述

在介绍WGM中裂纹问题的位置场之前，我们先看无裂纹下的位置表示。j+1水平下的位置矢量可以用j水平下的线性（二阶）B样条缩放/小波函数表示为

图1：一维线性（二阶）B样条基：(a)缩放函数和（b）小波函数

这里和是j水平下的缩放/小波函数，和 (i=1,2,3)是他们的系数。下标k和l（=整数）是变换因子。当需要表示高梯度时可以设置缩放函数为小波函数。二维缩放/小波函数用一维缩放/小波函数的张量积表示为

这里和是一维B样条缩放函数，和分别是和方向下的小波函数。二维线性B样条缩放/小波基函数见表2（a-d）。二维j水平下缩放/小波函数的集成域见表3（a-d）。为了完善此方法，j+1，j+2，…层次的二维小波函数可以叠加到方程（23）。在二维表示中，小波系数被组织成对应于方程（23）中j+1水平下位置矢量，和的张量积的三个象限。我们所获得对位置一对一的分解纳入他的较低分辨率近似值和与小波系数相关联的的残差的和。这种分解能被迭代到位置的较低分辨率近似值上以产生多层次的小波分解。

与线性B样条缩放/小波函数不同分辨率级别的函数位置显示在图4（a），图4（b）表示沿着方向的一维布置。这些符号代表的缩放/小波函数的中心。对j层次缩放函数的分析被假定为最初的（最低的）分辨率层次，并且这个模型被称为j层次模型。j层次缩放函数位于细胞的边角。在第一个细化中，j层次小波函数被加在本地j层次的模型上。小波函数的中心位于j层次缩放函数之间。这样我们就称模型为j+1层次模型。类似地，j+2层次，j+3层次，...小波函数被加在第二，第三，…改进其中需要高空间分辨率的地方。这些分析模型分别被称作j+2层次模型，j+3层次模型…。由此可以认为，WGM是固定网格（体素型）方法有效的细化技术。在用WGM进行断裂力学分析时，两种方法都采用了精确地整合刚度矩阵。一种是细胞细化的方法，另一种是子单元细化方法。小波函数是分段线性函数，并且当分辨率是j~j+1时函数支撑减半，如图4（b）所示。在细胞细化方法中，基于小波/缩放函数的位置，一个结构细胞被划分以便精确地整合刚度矩阵。

图2：二维基函数：（a），(b) ，(c) ，(d) 。

图3：对于j层次缩放/小波函数的集成域：（a），(b) ，(c) ，(d) 。

图4：用小波函数改进：（a）缩放/小波函数在二维情况下的位置及其细胞，（b）缩放/小波函数在一维情况下的位置，（c）子细胞细化方法。

函数，这里我们定义结构细胞的大小/分辨率。在图4（a）中，被j层次缩放函数中心围绕的矩形区域称作j层次细胞。j层次细胞被划分成2X2,4X4和8X8，……细胞，这些细胞就成为j+1层次，j+2层次，j+3层次，……模型：这些细胞被称作j+1层次细胞，j+2层次细胞，j+3层次细胞，……能够执行细胞细化的位置是小波函数所在的位置。

另外，一个子细胞细化方法采用精确的集成刚度矩阵，这个矩阵包括富集函数和所代表的边界形状。进一步划分就成为j+1层次细胞，j+2层次细胞，j+3层次细胞，……例如，图4（c）是一个4X4子细胞划分的插图。子细胞细化方法也可以用于需要细化的地方。在两种细化方法中，在细胞和子细胞的基础上采用了2X2高斯正交。

2.3、采用小波Galerkin方法和扩展有限元法进行断裂力学分析

在使用WGM进行断裂力学分析时，位移或应力由缩放/小波函数的叠加表示如方程（23）。具有不同长度尺度的小波函数可以在本地叠加到缩放函数上。靠近裂纹尖端的高应力梯度可以由叠加小波函数有效地表示出来。然而，位移或应力在WG离散情况下被假定为连续的，并且处理裂纹表面的不连续位移是相当困难的。本研究中将介绍用X-FEM概念的富集函数。

文献[43,44]提出的X-FEM用来解决裂纹问题。充实一个靠近裂纹的标准有限元近似值是通过使用PU方法[46,47]来组合不连续域和近尖端渐进域。该方法可以地建立裂缝几何模型的有限元网格。不仅如此，裂纹扩展分析可以简单地仅仅通过适当的重新定位富集函数来执行。没有网格再划分过程。在WG离散化中，介绍了两种富集函数和X-FEM。

现在介绍裂纹问题的WG离散化。从一个弹性固体主体上的孔边缘所产生的裂纹示意图如图5（a）。分析域和边界分别记为和。牵引条件被强制执行为，并且位移边界条件被强制执行为。裂纹表面被假定为牵引自由。裂纹的上侧和下侧的域被表示为和。WG离散化如图5（b）。该离散化中用到了等空间结构细胞。为了精确地整合刚度矩阵和表示实体边界、孔边缘，上节所讨论的细胞和子细胞

细化方法可以采用。一个中心被判断为在外部域的细胞或子细胞不参与数值积分；因此，可以精确的表示实体边界。本节中将描述与j层次缩放/小波函数相关的数值制定。

图5.裂纹问题的小波Galerkin方法：（a）孔产生的裂纹的分析模型（b）小波Galerkin离散。

靠近裂纹尖端区域的放大图如图6（a）。（r，）坐标系统原点位于裂纹尖端处。（r，0）的方向朝向实体内部并平行于裂纹面。与富集函数相关的裂纹模型如图6（b）。这将表示缩放/小波函数和富集函数的位置。这里，我们提出一项与裂纹相关的富集技术，这项技术应用了j层次缩放/小波函数。表示裂纹尖端附近渐进解的富集函数采用了缩放函数和小波函数。然后，一系列富集节点如缩放函数的节点被称为节点，小波函数的节点被称为。表示裂纹表面的位移跳跃的富集函数仅用于缩放函数。一系列富集节点被称作节点。节点，和如图6（b）。在裂纹模型中，j层次缩放函数周期性地被设置在分析域的网格上。为了精确地表示靠近裂纹尖端严重的应力集中，我们利用了中心位于裂纹尖端的内的小波函数。另外，中心在裂纹尖端在内的小波函数被充实为节点和。尽管知道小波系数能用于预测在多分辨率分析中哪里需要细化[27，34]，本研究中介绍半径来定义结论。此外，裂纹表面的缩放函数被充实为除节点和之外的节点。接着之前的讨论，富集的说法在公式（23）中被加到j+1层次的位移 (x)上。该位移 (x)被记作

在公式（25）中，第一和第二项代表标准WG的位移如公式（23）所示。第三和第四项是富集项表示了裂纹尖端周围的严重应力集中。第三项是与缩放函数（节点）相关的富集项，第四项是与小波函数（节点）相关的富集项。和（n=1，……，4）是富集项系数。（x）（n=1，……，4）是裂纹尖端附近的渐进解函数：

图6、裂纹处的放大图；（a）与裂纹尖端相关的本地坐标（r，），（b）固定裂纹的小波Galerkin模型，（c）裂纹扩展分析的小波Galerkin模型。（r，）是裂纹尖端处的本地极坐标如图6（b）。第五项表示富含j层次缩放函数裂纹表面的不连续位移。H（x）是希维赛德不连续函数，和节点系数。在支撑域穿过裂纹表面的缩放函数富集除节点和的节点。不连续函数H（x）为

这里和是裂纹的上下两侧。与缩放/小波函数相关的富集节点、和的整合域与最初的缩放/小波函数的相同，如图3（a-d）。富集项具有不连续性和三角函数。子细胞细化方法应用于精确地整合包含富集函数和边界表示的刚度矩阵。然而，优良的子细胞整合给出了低的计算效率；数值例子中讨论了子细胞划分数和解的精确度之间的关系。

下面将对这种方法的PU特性进行简要描述。公式（25）中不连续函数H（x）的富集与标准X-FEM制定的富集是相同的。下面，我们讨论当应用缩放/小波函数时靠近裂纹尖端渐近解的富集。公式（25）重新分布节点和以获得下面关系：

第一项和第二项分别是对应缩放函数和小波函数的富集。我们检查小波/缩放函数的PU特性：

线性B样条缩放函数有PU特性，但是小波函数不具有该特性。缺少PU特性有时导致丧失精度（例如[56-58]）。尽管提出的技术不能完全满足PU条件，但是小波函数和多分辨率特性的应用对解决裂纹问题和裂纹扩展分析是具有吸引力的。

图6（c）是对二维裂纹扩展分析的WG离散化的示意图。裂纹扩展分析和固定裂纹分析可以通过重新定位富集函数而不重新划分网格简单地表示出来。尽管作者们提出一个应用WGN适应性策略[55]，在一步一步裂纹扩展分析中可以保持相同的空间分辨率而无需对其进行重新设置。当裂纹扩展时，裂纹尖端内的缩放/小波函数通过用节点和富集。穿过裂纹段的缩放函数则用节点富集。与富集节点和相关的细胞被划分为细胞和子细胞来得到刚度矩阵精确的数值整合。公式（35）中与富集函数相关的DOFs包含在位移中，并且公式（41）表示了刚度矩阵的重新建立。因为没有FE模型和网格重新划分的步骤，该过程是逐步重复对裂纹扩展进行分析。这样利用X-FEM的概念进行裂纹增长模拟就是很容易的了。

2.4.控制方程

控制方程是为用WGM和X-FEM来对无穷小应变的线弹性裂纹问题进行分析而提出的。平衡公式为

  这里是柯西应力张量，n是边界的法线。是体密度，g是体积力。在裂纹表面上，假定为牵引自由状态。线性B样条小波函数没有所谓的克罗内克特性。这样，我们介绍公式（33）中一个罚的制定来实施位移边界条件。

这里是位移矢量，是他的变量。（）和（）是位移梯度和他们的变量的对称部分。D表示弹性常数，是一个具有大的正值的罚常数。尽管这个大值的罚常数削弱了刚度矩阵的条件值，但是因为系统没有附加的自由度，这样就能容易地应用计算机软件和解线性方程组。

公式（25）可以被重新写成矩阵形式为

这里（x）和就方程（25）中的缩放/小波函数而言是矩阵和向量。方程（35）的导数得到应变分量。当采用j层次缩放/小波函数分辨率时，矩阵（x）可以表示为 

这里和（i=1，2，3）由最初的j层次缩放/小波函数表示的部分。和 (i=1,2,3)由节点和的尖端富集函数来表示。是节点的一个富集函数组成部分。另外和可以被扩展为

这里和（n=1，……，4）是尖端富集函数（x）和最初的缩放/小波函数的部分。以此类推，系数向量可以写成

这里和（i=1,2,3）是j层次缩放/小波函数的系数。和是以富集节点和而言的系数向量。是富集节点的系数向量。

将公式（35）中表示位移矢量的（x）代入公式（34）。重新排列公式，我们得到分析j层次缩放/小波函数的线性联立方程：

是一个刚度矩阵，这个可以扩展为

是一个矢量力，也可以表示为

另外，矩阵和矢量与罚方法相关。若是一个体矢量力，公式又可写为

这里矩阵（x）在公式（35）中表示j层次缩放/小波函数。

3.应力强度因子计算和裂纹扩展分析

下面简要介绍应用WGM和X-FEM来计算二维混合模型裂纹问题和离散化下的应力强度因子的技术。应力强度因子（SIFs）和是用交互积分的域形式计算[59]。[43-45]详细介绍了采用X-FEM进行分析。求和的值可以通过分割J积分值进行[60]。图7（a）是一个域积分示意图。通过包含一个裂纹尖端来定义两个轮廓和。

图7.应力强度因子计算：（a）J积分的域积分形式，（b）小波Galerkin方法中q（x）的定义，（c）裂纹扩展从第n步到第n+1步。

和表示裂纹的上表面和下表面。积分域可以写成：

区域A 用（=+++）封闭，W（=）是应变能。我们考虑一个弹性静力学固体的两个平衡状态。状态1 (=J)是一个精确的状态，状态2是附加状态。这个附加状态是由线性断裂力学理论中靠近裂纹尖端的渐进解所决定的。叠加状态为

这里是和相互作用积分项。积分域的相互作用积分项是

局部坐标是与裂纹表面平行的。（==）是相互作用的应变能。函数q（x）是连续光滑的并且有上q（x）=1和上q（x）=0的特性。公式（49）中相互作用的积分可以写成

这里和, 和是这两种状态的SIFs。另外E’=E对应于平面应变状态，E’=E/（1-）对应于平面应力状态。E是杨氏模量，是泊松比。当辅助状态被选择为模型Ⅰ（i.e., ,  =1和=0）或模型Ⅱ（i.e., ,  =0和=1），我们得到模型Ⅰ或模型Ⅱ的精确表述为

因为WGM基于固定网格方法，很容易就能得到公式q（x）和区域A。图7（b）表明了关于交互积分的WG离散化。网格点表示了最低分辨率层次缩放函数的中心所在的位置。当网格坐标在内时，函数q（x）=1，否则q（x）=0.

图7（c）裂纹扩展分析示意图。我们利用最大周向断裂准则[61]来获得裂纹角。角是用应力强度因子和根据下式计算得到的。

为了分析从第n步到第n+1步的裂纹扩展，裂纹长度增量被认为是给定值，这个指定值与整个裂纹长度相比是很小的。当裂纹扩展时，富集节点，和被重新定位以适应裂纹几何形状。这个过程在裂纹扩展分析中重复进行。裂纹韧性被用来检查裂纹是否扩展。然而，裂纹走势并未用进行评估。

4. 数值算例

4.1具有边缘裂纹的矩形板

下面将演示具有边缘裂纹的矩形板的小波Galerkin分析。通过运用公式（47）中J积分的域积分项，可以评估应力强度因子来研究收敛。图8（a）是一个分析模型的示意图。矩形板的尺寸是H=W=10mm。裂纹边缘的长度a=5mm。均匀的应力被加在平板边缘的上下面。WG离散模型见图8（b）。在这个分析中，假定最低分辨率层次为j。矩形板被划分为15X15相等的空间结构细胞，j+1层次缩放函数位于网格点上（i.e.，j层次模型）。为了细化结论，应用j+1和j+2层次模型。缩放/小波函数的位置见图4.

4.1.1子细胞细化方法的评估

在WGM中，细胞和子细胞的细化方法被采用到刚度矩阵的数值积分中，这正如在2.2节中提到过的一样。包含最初的缩放/小波函数的细胞细化方法用于此积分中。包含富集函数和表示边界形状的子细胞细化方法用于精确积分中。在本节中，将讨论节点和的三个函数的子细胞细化方法。

基于X-FEM的小波Galerkin裂纹模型如图8（C）。应用了富集节点、和。富集节点同j层次缩放函数一起介绍，同裂纹尖端的范围内j和j+1层次小波函数一同介绍。半径设为1.0mm。=1.0mm的j+2层次模型如图8（d）。公式（47）是通过采用J积分来得到使用域形式下的应力强度因子。公式（47）中为评估函数q（x）的半径设为5.0mm。

在j层次模型中，一个j层次细胞被划分为ndiv×ndiv子细胞。在j层次模型中，j+1层次细胞也用相似的方法划分。数ndiv选2,4,8和16。表Ⅰ给出了应力强度因子的计算结果。因为包含富集函数的刚度矩阵被进行精确积分，所以当采用精细的分解时，应力强度因子将是收敛的。

4.1.2尖端富集函数的评估

我们讨论了节点和的尖端富集函数的表现。根绝公式（26）中的富集函数（x）（i=1，……，n）的数目检查了两种方法，即n=1和n=4。两种分析方法中，同在裂纹表面的j层次缩放函数一起介绍了富集节点。半径在0.6,1.0,1.4

图8. 具有边缘裂纹的矩形板：（a）要解决的分析模型；（b）小波Galerkin模型（j层次模型）；（c）用节点，和的裂纹模型；（d）小波Galerkin模型（j+2层次模型， =1.0mm）。

表Ⅰ  子细胞细化方法的收敛研究（=1.0mm，n=4）

和1.8mm。采用子细胞细化方法（ndiv=4）对包含富集函数的刚度矩阵进行精确积分。

数值结果如图9.在本图中，横轴表示自由度数，纵轴为的误差，这个误差是数值结果和参数解之间的差值[62]。实线表示一个尖端富集（n=1）的应用结果，虚线表示四个尖端富集（n=4）的应用结果.他们表示半径为=0.6,1.0,1.4和1.8mm时j，j+1，j+2层次的模型中的误差。均匀的细化模型是通过将矩形板划分为为15×15,31×31和63×63的等空间结构模型得到的，并且进行这个分析仅需要用一个缩放函数。用最靠近裂纹尖端的节点来设置富集函数。根据用X-FEM得到的的标准固定网格（体素型），他们可以认为是j，j+1，j+2层次模型。数值结果表明误差随着半径的增大而减小。用四尖富集（n=4）进行的分析比一尖富集（n=1）更精确。此外，j，j+1，j+2模型的结论是连续收敛的，尽管在j+1和j+2层次之间的收敛率是减小的。

图9.裂纹边缘问题的收敛

表Ⅱ.裂纹边缘问题路径性（）。

现在证明积分域项J积分的路径性。这里应用j，j+1，j+2层次模型（），并且公式（47）中用来评估函数q（x）的半径从1.0到5.0mm进行变化。采用了四尖富集函数（n=4）。结果见表Ⅱ。数值结果在所有情况下得到更高的精度。当时路径性轻微受损。在这个例子中，富集函数都包含在域积分中。尽管获得了高精度应力强度因子，PU条件的不完整性似乎影响积分域路径的性。

4.1.3.尖端富集函数节点密度的精确性检查

这里要讨论尖端富集函数不同节点密度的解的精确度。应用图8(a)的裂纹边缘模型。采用富集节点，和。与j层次缩放函数一同介绍富集节点，与j，j+1，……，j+5，j+6层次小波函数一同介绍。仅仅采用作为关于富集节点和的尖端富集函数。采用两种方法，一种是节点密度不变即=0.8mm，另一种是节点密度渐变即j层次缩放函数=1.4mm，j，j+1，……，j+5，j+6层次小波函数=1.2,1.0，……，0.4,0.2mm。j+6层次模型处的函数位置如图10（a，b）。图11给出了应力强度因子的收敛性。作为对比，均匀细化模型（15×15,31×31和63×63的等空间结构细胞模型）的结论也将给出。两种结果都是收敛的。另外，因为采用了较高小波函数而需要许多自由度，均匀富集函数的收敛较缓慢。相比之下，在逐渐富集方法中收敛性提升了。尽管在连续数值实例中采用了均匀富集函数，结果表明在应用WGM进行断裂力学分析分析中精确度还有待提高。

4.1.4.不同分辨率小波Galerkin模型的条件数

这里要评估不同分辨率小波Galerkin模型的条件数。因为缩放/小波函数非正交的应用，当较高分辨率小波函数应用时出现较高宽带。增加条件数就会给数值解

带来误差。另外，尽管本研究中采用了一个直接的稀疏矩阵求解器[63]，当在求解过程中采用迭代求解时有时会出现收敛恶化。检测4.0.3节中用到的裂纹边缘模型。半径=0.8mm并且节点密度均匀时的一尖富集（n=1）如图10（a）。对公式（40）进行了刚度矩阵K+的特征值分析。

图10.j+6层次模型尖端富集函数的位置：（a）节点密度不变（b）节点密度渐变。

图11.裂纹边缘问题（n=1）的收敛性。惩罚项仅用于刚度矩阵模型的三个刚性旋转动作。条件数被定义为（ +）=︱/︱。和是最大和最小特征值。公式（34）中罚常数设为=1.0E+4。表Ⅲ列出了数值解。当采用更高层次的小波函数，条件数变得更大。在4.1.2节和4.1.3节中，收敛性研究是在尖端富集半径和小波函数的细化水平基础上执行的。在数值解中，尽管当更高层次小波函数应用时精度有所提高，但是收敛率降低。这个结论意味着条件数的增加会导致小波方法中结果的减小。另外，因为当运用较大的惩罚常数时条件数增加，所以这个常数要合理选定。

用上述提到过的靠近裂纹尖端的空间分辨率的方法可以使运用小波函数和富集函数很容易得到控制。相比均匀固定网格方法细化模型，本地细化会缩短计算时间。因此这就得到用X-FEM模型进行WG分析在解决裂纹问题时是有效的。

表Ⅲ.每一步细化的条件数（=0.8mm，n=1）。

图12.剪切边裂纹问题：（a）带有边缘裂纹的矩形板（b）小波Galerkin模型（j+2层次模型， =10）.

4.2.混合模型问题

4.2.1.剪切边裂纹问题。

在本节中，将提出混合模型问题的分析。公式（49）已经先给出了交互积分的路径。剪切边裂纹问题的提出如图12（a）。矩形板和边缘裂纹的尺寸为a/W=1/2,H/W=16/7,W=7mm。平板顶端加上了剪切应力=1.0MPa；底部固定。采用了J层次缩放/小波函数和j+1层次小波函数。矩形板被划分为14×32等空间结构细胞。穿过裂纹段的j层次小波函数是用节点富集的。J层次缩放/小波函数和j+1层次小波函数是在半径=1.0mm下的节点和。四尖富集（n=4）被指定。子细胞细化方法（ndiv=4）被采用来精确整合富集函数和。WGM如图12（b）。应力强度因子和的数值解分别在表Ⅳ（a，b）中。误差评估是相对于[]中的参照解。尽管在=1.0时，路径性有所削弱，但是可以得到所有情况下的高精度应力强度因子。

4.2.2.带有倾斜裂纹的矩形平板

下面介绍对带有倾斜裂纹的矩形平板的WG分析。图13（a-d）是分析模型的示意图。带有倾斜裂纹的矩形平板（模型A）的解答如图13（a）。矩形板的宽度2W=10mm，高度2H=20mm。裂纹长度2a=6mm。裂纹角度在15°，30°，45°，60°和75°中变化。将均匀应力加在平板边缘的上下面。倾斜角为45°的WG模型（j+2层次模型）如图13（b）。平板被划分为15×30的等空间结构细胞，j层次缩放函数是在网格上设定的，并且模型被假定为一个j层次模型。为了细化结果，应用j+2层次模型。j和j+1层次小波函数位于每个裂纹尖端=1.0mm内。富集函数，和被用来模拟裂纹。此外，从一个矩形板（模型B）中的孔产生的两种裂纹问题得到了解决。分析模型见图13（c）。倾斜角为45°。除了孔的形状，模型尺寸和WG离散化与模型A相同。孔的尺寸假定为D＝2.5mm。

刚度矩阵的数值积分不包含中心判定为在孔内的子细胞。因为WGM是基于固定网格方法，这就很容易处理任意形状。公式（49）中为评估函数q（x）所设置

表Ⅳ.不同分辨率模型交互积分的路径（a）应力强度因子（b）应力强度因子。

图13. 带有倾斜裂纹的矩形平板：（a）带有倾斜裂纹的矩形平板（模型A），（b）模型A的小波Galerkin模型（j+2层次模型， =1.0），（c）在举行平板中的孔产生的两种裂纹（模型B），（d）模型B的小波Galerkin模型（j+2层次模型， =1.0）。

的半径在两种模型中均为1.5mm。在模型A和模型B的分析中，裂纹和孔边缘横穿细胞。子细胞细化方法需要用来整合包含节点和表示空形状的不连续函数的刚度矩阵。下面讨论子细胞细化方法的划分数ndiv。图13（b，d）中的模型A和B（ =45°）被选择用来进行收敛性研究。两种情况中都采用四尖富集函数（n=4）。执行j，j+1和j+2模型的分析。根据=/和=/可以得到归一化应力强度因子和。结果见表Ⅴ。这里，和是ndiv=1，2,4,8和16时的数值解。当采用精细的划分时，因为包含富集函数和孔边缘的表示被精确整合，所以应力强度因子和是收敛的。

下面所示的是倾斜角=15°，30°，45°，60°和75°时模型A和B的数值解。采用了子细胞划分方法（ndiv=8）。模型A的结果如表Ⅵ所示。另外，模型B的数值解如表Ⅶ。这些解都与模型A[62]和模型B[65]的参考结果作了比较。在表Ⅵ和表Ⅶ中，和是参考解。他们在两种情况下都十分吻合。结果表明运用对域积分项进行交互积分，对应力强度因子和求值是准确的并且高效的。靠近裂纹尖端的j+2层次模型与60×120固定网格均匀细化模型的空间分辨率相当。一个结构细胞（j层次细胞）的长度是=1/6mm。细胞长度（）相对于裂纹长度（2a）被假定为（）=1/24。这样，当运用提到过的技术且当比率约为1/24时，应力强度因子可以被计算出来。

表Ⅴ.子细胞方法的收敛性研究：（a）归一化应力强度因子，（b）归一化应力强度因子。

表Ⅵ.模型A的归一化应力强度因子和。

表Ⅶ. 模型B的归一化应力强度因子和。

4.3.二维矩形平板中的裂纹扩展分析

下面给出二维矩形平板中的裂纹扩展分析。分析模型如图14（a）。平板的尺寸为2W=2H=10mm。初始裂纹长度假定为2a=2mm。杨氏模量E=3300MPa，泊松比为=0.33。下面进行两种分析。一种是在均匀剪切载荷（=）作用下的裂纹扩展分析如图14（b）所示。另一种是在均匀拉伸载荷（）下的裂纹扩展分析如图14（c）所示。倾斜裂纹的倾斜角假设为=40°。在剪切载荷下的WG模型如图15（a）所示。矩形板被划分为63×63等空间结构细胞。在网格上设定一个j层次缩放函数。模型假定为j层次模型。J+1层次模型用来细化裂纹扩展分析的结果。j层次小波函数是在裂纹尖端=0.25mm内的j层次模型上设定的。剪切载荷问题的放大视图见图15（b）。假定所有步骤的裂纹扩张增量为0.35。积分域半径假定为0.3mm。子细胞细化方法（ndiv=16）被采用来对包含富集函数，和的刚度矩阵进行精确整合。

剪切载荷的数值解如图16（a），拉力问题的数值解如图16（b）。裂纹路径与

图14.矩形板中裂纹的裂纹扩展分析：（a）受剪切载荷的裂纹（b）受拉载荷斜裂纹。

图15.小波Galerkin模型：（a）小波Galerkin模型和富集函数的位置（b）放大视图。

图16.二维矩形板的裂纹扩展数值解：（a）剪切载荷问题（b）拉伸载荷问题。WGM，小波Galerkin方法；X-FEM，扩展有限元方法。

与试验结果的比较[61]。细胞长度（）与裂纹长度（2a）的比率被假定为（/2a）≈1/25。这个比率与4.2节中提到的相同。裂纹路径是光滑的并且与参考值很稳合。这就表明了利用WGM和X-FEM进行裂纹扩展分析是有效的。

4.4.边缘裂纹问题的裂纹扩展分析。

下面进行边缘裂纹问题的裂纹扩展分析。Norikura et al.已经进行过实验和数值计算[66]。数值计算是通过用质量力方法。分析模型见图17（a）。矩形板的尺寸是2W=100mm,2H=150mm。孔的尺寸是D=20mm。杨氏模量是3300MPa，泊松比是=0.33。平均应力=1.0MPa被加在板边缘作为边界条件。初始裂纹大小被假定为a=20mm。裂纹边缘和孔中心的距离为L=15mm。矩形板被划分为243×162的等空间结构细胞，并且孔边界用子细胞方法表示。采用了子细胞细化方法

图17.裂纹边缘扩展分析：（a）分析模型（b）L=15mm的小波Galerkin离散模型。

（ndiv=16）。最初的模型假定为j层次模型。j层次缩放/小波函数被用来作为

基函数。采用了裂纹尖端=1.2mm范围内的j层次小波函数。对=1.5和3.0mm时进行裂纹扩展分析。图17（b）是WG离散化示意图。另外，积分域半径在所有步骤里都被假定为=1.35mm。

数值解如图18。为了进行比较，给出了[66]的数值计算结果。细胞长度（）与裂纹长度（2a）的比率被假定为（/2a）≈1/65。与4.2节中的情况相比这个比率是很小的。裂纹路径是光滑的，并且这个分析将是高效的。另外，尽管裂纹路径在开始的阶段是个地增量a，当裂纹尖端靠近孔边缘时，裂纹尖端以小的增量（a=1.5mm）更快地渗透。

4.5.矩形板上两平行裂纹的裂纹扩展分析

下面介绍矩形板上两平行裂纹的裂纹扩展分析。Higuchi et al.已经进行了实验和数值仿真[67]。分析模型示意图如图19（a）。两个裂纹在不同的水平和垂直方位上都是平行的。矩形板尺寸为2W=200mm，2H=300mm。平均应力=1.0MPa被加在边缘的上下两面。杨氏模量E=210GPa，泊松比=0.3.两裂纹详见表19（b）。

表18.边缘裂纹扩展分析的数值解。WGM，小波Galerkin模型；X-FEM，扩展有限元方法。

图19.两平行裂纹的裂纹扩展：（a）待解决的分析模型，（b）两裂纹的放大视图，（c）小波Galerkin模型。

左裂纹称为裂纹1，右裂纹称为裂纹2.裂纹1尖端叫做尖端A和尖端B如图19（b）。裂纹长度2a=11mm。垂直距离S=9mm，水平距离H=15mm。分析模型被划分为324×216等空间结构细胞。采用细胞细化方法（ndiv=16）。模型假定为j层次模型，j层次缩放函数设置在网格点上。在分析中，运用了j层次缩放/小波函数。j层次函数在裂纹尖端的中心=0.7mm范围内使用。每一步的增量都被假定为1.1mm。用X-FEM的WG裂纹模型如图19（c）。积分域的半径被假定为=0.9mm。

裂纹路径和表现如图20（a-h）。图中两裂纹之间的水平距离定义为s’，垂直距离定义为2a’。裂纹扩展分析如下。裂纹从第（a）步到第（b）步地扩展。裂纹在第（c）步时重叠。裂纹尖端从第（d）步到第（h）步相互靠近。最后，裂纹连在一起。裂纹1的尖端Ａ和Ｂ的应力强度因子如表Ⅷ。B点的应力强度因子在第（d）步时达到最大值。与此同时，应力强度因子轻微增大。应力强度因子被认为是解释了裂纹尖端的偏差。裂纹路径与参考值相比[67]相当一致。细胞长度（）与裂纹长度（2a）的比率被假定为（/2a）≈1/24。这样就认为这个分析是有十分精确的。

图20.两平行裂纹的裂纹路径：

(a)2a’=13.2,S’=6.8;(b)2a’=17.59,S’=2.42;(c)2a’=21.97,S’=-1.94;(d)2a’=26.29,S’=-6.18;(e)2a’=30.53,S’=-10.28;(f)2a’=34.7,S’=-14.24;(g)2a’=39.31,S’=-18.1;(h)2a’=42.91,S’=-21.94.

表Ⅷ.A点和B点的应力强度因子（裂纹1）

5.结论

本论文给出了用WGM和X-FEM对二维裂纹问题进行断裂力学分析。运用了线性B样条缩放/小波基函数作为基函数。根绝X-FEM的概念介绍了富集函数来解决裂纹问题。运用了Heaviside函数，这个函数是用来表示裂纹表面不连续位移的富集线性B样条缩放函数。另外，靠近裂纹尖端的渐进解是通过用来表示裂纹尖端附近的严重应力集中的线性B样条缩放函数和小波函数来富集。裂纹扩展分析的证明是通过重新定位富集函数而不重新划分网格和重新建立分析模型。给出应力强度因子的估计和裂纹扩展分析数值样例是为了验证提出的技术。基于X-FEM的WG方法被发现是裂纹问题和裂纹扩展分析的有效方法。

致谢

由Satoyuki Tanaka进行的一部分研究得到了挪威研究理事会（RCN）通过Yggdrasil 流动性计划给予的经济支持。

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