期末数学试题

试卷副标题

考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

第I卷（选择题）

请点击修改第I卷的文字说明

A． B． C． D．

2．矩形、菱形都具有的性质是（       ）

A．对角线互相垂直 B．对角线互相平分

C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等

3．已知反比例函数经过点A、B，则m的值为（       ）

A． B． C． D．6

4．身高1.6m的小刚在阳光下的影长是1.2m，在同一时刻，阳光下旗杆的影长是l5m，则旗杆高为（       ）

A．14米 B．16米 C．18米 D．20米

5．在一个不透明纸箱中放有除了数字不同外，其它完全相同的2张卡片，分别标有数字1、2，从中任意摸出一张，放回搅匀后再任意摸出一张，两次摸出的数字之和为奇数的概率为（       ）

A． B． C． D．

6．如图，D为△ABC中AC边上一点，则添加下列条件不能判定△ABC∽△BDC的是（       ）

A． B． C．∠ABC=∠BDC    D．∠A=∠CBD

7．用小正方体搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体最少需要正方体个数为a，最多需要正方体个数为b，则a+b的值为（       ）

A．14 B．15 C．16 D．17

8．已知是一元二次方程的一个根，则方程的另外一根为（        ）

A． B． C． D．

9．2002年国际数学家大会在北京召开，大会的会标是我国古代数学家赵爽画的“弦图”（如图），体现了数学研究的继承和发展，弦图中四边形ABCD与EFGH均为正方形，若且正方形EFGH的面积为正方形ABCD的面积的一半，则a：b的值为（        ）

A． B． C．2 D．

10．如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点，AF与DE交于点M，则下列结论：①AF⊥DE；②；③AM=MF；④．其中正确的结论有（       ）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

第II卷（非选择题）

请点击修改第II卷的文字说明

12．矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，∠ACB=40°，则∠AOB=_________°．

13．一个不透明的袋子中放有若干个红球，小亮往其中放入10个黑球，并采用以下实验方式估算其数量：每次摸出一个小球记录下颜色并放回，实验数据如下表：

14．正比例函数和反比例函数的图象都经过点A(-1, 2)，若，则x的取值范围是__________________．

15．已知．则_______．

16．如图，菱形ABCD边长为4，∠B=60°，，，连接EF交菱形的对角线AC于点O，则图中阴影部分面积等于________________．

17．如图，△ABC中AB=AC，A (0，8)，C (6，0)，D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为____________．

19．小明家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A(楼梯)、B(客厅)、C(走廊)三盏电灯，按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，因刚搬进新房不久，不熟悉情况．

（1）若小明任意按下一个开关，则小明打开走廊灯的概率是多少？

（2）若任意按下一个开关后，再按下另两个开关中的一个，则正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图法或列表法加以说明．

20．如图，△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB=，D、E为AB上两点，且∠DCE=45°，

(1)求证：△ACE∽△BDC．

(2)若AD=1，求DE的长．

21．如图，一次函数y=ax+b的图像与反比例函数的图像交于C、D两点，与x、y轴分别交于B、A两点，CE⊥x轴，且OB=4，CE=3，

(1)求一次函数的解析式和反比例函数的解析式．

(2)求△OCD的面积．

22．为响应国家“国际国内双循环”号召，南海广场购进一批国产高档服装，进价为500元/件，售价为1000元/件时，每天可以出售40件，经市场调查发现每降价50元，一天可以多售出10件．

(1)售价为850元时，当天的销售量为多少件？

(2)如果每天的利润要比原来多4000元，并使顾客得到更大的优惠，问每件售价为多少元？

23．如图，公路旁有两个高度相等的路灯AB、CD，小明上午上学时发现路灯AB在太阳光下的影子恰好落在路牌底部E处，他自己的影子恰好落在路灯CD的底部C处；晚自习放学时，站在上午同一个地方，发现在路灯CD的灯光下自己的影子恰好落在E处．

(1)在图中画出小明的位置(用线段FG表示)．

(2)若上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，小明身高为1.5米，他距离路牌底部E恰好2米，求路灯高．

24．如图，四边形OABC为正方形，反比例函数的图象过AB上一点E，BE=2，．

(1)求k的值．

(2)反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线y=ax+b过点D及线段AB的中点F，探究直线OF与直线DF的位置关系，并证明．

(3)点P是直线OF上一点，当PD＋PC的值最小时，求点P的坐标．

25．如图1，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝4，点P是对角线BD上一点，连接AP，AE⊥AP，且，连接BE．

(1)当DP=2时，求BE的长．

(2)四边形AEBP可能为矩形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，求出此时四边形AEBP的面积．

(3)如图2，作AQ⊥PE，垂足为Q，当点P从点D运动到点B时，直接写出点Q运动的距离．

参：

1．A

【解析】

【分析】

分别计算四个方程的根的判别式的值，然后根据根的判别式的意义判断各方程根的情况即可．

【详解】

解：A．△，则方程没有实数解，所以选项符合题意；

B．△，则方程有两个相等的实数解，所以选项不符合题意；

C．方程化为，△，则方程有两个不相等的实数解，所以选项不符合题意；

D．方程化为，△，则方程有两个不相等的实数解，所以选项不符合题意．

故选：A．

【点睛】

本题考查了根的判别式，解题的关键是掌握一元二次方程的根与△有如下关系：当△时，方程有两个不相等的实数根；当△时，方程有两个相等的实数根；当△时，方程无实数根．

2．B

【解析】

【分析】

由矩形的性质和菱形的性质可直接求解．

【详解】

解：菱形的对角线互相垂直平分，矩形的对角线互相平分且相等，

矩形、菱形都具有的性质是对角线互相平分，

故选：B．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，菱形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

3．A

【解析】

【分析】

根据反比例函数图象上点的坐标的特征即可得出答案．

【详解】

解：反比例函数经过点，

，

，

将点代入反比例函数解析式得：

，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标的特征，明确同一反比例函数图象上的点的坐标符合是解题的关键．

4．D

【解析】

【分析】

利用同一时刻身高和影长之比等于旗杆与其影长之比列式计算即可．

【详解】

解：设旗杆高为x米，

根据同一时刻身高和影长之比等于旗杆与其影长之比可得：

 ，解得：，

故旗杆高20米，

故选：D．

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，能够把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比列出方程计算出结果，是解决本题的关键．

5．C

【解析】

【分析】

根据题意画出树状图求解即可．

【详解】

解：画树状图如下

共有4种等可能的结果，两次摸出的数字之和为奇数的结果有2种

两次摸出的数字之和为奇数的概率为

故选：C．

【点睛】

此题考查了概率的问题，解题的关键是画出树状图求概率．

6．B

【解析】

【分析】

由相似三角形的判定方法依次进行判断，即可得到答案．

【详解】

解：∵BC2=AC•CD，

∴，

又∵∠C=∠C，

∴△ABC∽△BDC，故选A不合题意，

∵∠ABC=∠BDC，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BDC，故选C不合题意，

∵∠A=∠CBD，∠C=∠C，

∴△ABC∽△BDC，故选D不合题意，

故选：B．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形判定方法是关键．

7．C

【解析】

【分析】

从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出每一层小正方体的层数和个数，从而算出总的个数．

【详解】

解：由俯视图可得最底层有5个小正方体，

由主视图可得第一列和第三列最少有2个正方体，最多有4个正方体，

那么最少需要个正方体，即．

最多需要个正方体，即．

则．

故选：C．

【点睛】

此题考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查，解题的关键是掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．

8．C

【解析】

【分析】

利用一元二次方程根与系数的关系求出两根之和，再将已知解代入求出另一解即可．

【详解】

解：是一元二次方程的一个根，设方程的另一个根为n，

∵两根的和为：，

∴，解得：，

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程根与系数的关系，一次一元二次方程的解，数量掌握根与系数的关系式解决本题的关键．

9．D

【解析】

【分析】

根据题意可得正方形的面积为，正方形的面积为，然后列出方程求解即可．

【详解】

解：，，

正方形的面积为，正方形的面积为，

正方形的面积为正方形的面积的一半，

，

，

，

设，

，

，

解得，，

，

，

的值为．

故选：D．

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，正方形的面积，一元二次方程，解题的关键是掌握勾股定理．

10．B

【解析】

【分析】

先由E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点得到AE=BE=BF、∠DAE=∠ABF=90°、AD=AB，从而得证△DAE≌△ABF，进而利用全等三角形的性质得到∠BAM+∠AEM=90°判定①；假设AE=EG，则AE=BE=EG，则∠EBG=∠EGB，∠EAG=∠EGA，从而推出∠EAG=45°判定②；由BF=AE=BE得到AF=BF=AE，然后证明△AEM∽△AFB，进而利用相似三角形的性质得到AM=MF判定③；先证明△AEM∽△DAM，然后利用AD=2AE得到判定④．

【详解】

解：∵E，F分别为正方形ABCD的边AB、BC的中点，

∴AE=BE=BF，∠DAE=∠ABF=90°，AD=AB，

∴△DAE≌△ABF（SAS），

∴∠BAF=∠ADE，

∵∠ADE+∠AED=90°，

∴∠BAM+∠AEM=90°，

∴∠AME=90°，故①正确，符合题意；

假设AE=EG，则AE=BE=EG，

∴∠EBG=∠EGB，∠EAG=∠EGA，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABD=45°，

∴∠EBG=∠EGB=45°，

∴∠BEG=∠EAG+∠EGA=90°，

∴∠EAG=45°，

又∵∠EAG≠45°，

∴AE≠EG，故②错误，不符合题意

∵BF=AE=BE，AB=2AE，

∴，

∵∠EAM+∠AEM=90°，∠BAF+∠AFB=90°，

∴∠AEM=∠AFB，

∵∠AME=∠ABF=90°，

∴△AEM∽△AFB，

∴，即，

∴AM=AE，

∴MF=AFAM=AEAE=AE，

∴AM=MF，故③正确，符合题意；

∵∠AEM+∠EAM=90°，∠EAM+∠DAM=90°，

∴∠AEM=∠DAM，

∵∠EMA=∠AMD=90°，

∴△AEM∽△DAM，

∴，故④正确，符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理，解题的关键是熟知相关知识．

11．5

【解析】

【分析】

根据比例设a=3k，b=2k，然后代入比例式进行计算即可得解．

【详解】

解：∵，

∴设a=3k，b=2k，

则，

故答案为：5．

【点睛】

本题考查了比例的性质，利用“设k法”求解更简便．

12．80

【解析】

【分析】

根据矩形的对角线互相平分且相等可得，再根据等边对等角可得，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．

【详解】

解：矩形的对角线，相交于点，

，

，

．

故答案为：80．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，等边对等角的性质以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，解题的关键是熟记各性质．

13．40

【解析】

【分析】

先根据表格中的数据求出摸出红球概率，设袋中原有红色小球的个数为x，根据求概率公式列出方程求解即可．

【详解】

解：由表可知，摸出红球的概率约为，

设袋中原有红色小球的个数为x，

根据题意，得：，

解得：x=40，

经检验，x=40是所列分式方程的解，

故设袋中原有红色小球的个数为40，

故答案为40．

【点睛】

本题考查用频率估计概率、简单的概率计算、解分式方程，求得摸出红球的概率是解答的概率．

14．或##0【解析】

【分析】

先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再画出两个函数的图象，然后根据正比例函数和反比例函数的图象与性质可得两个函数图象的另一个交点的坐标为，据此结合函数图象即可得出答案．

【详解】

解：将点代入反比例函数得：，

则反比例函数的解析式为，

画出两个函数的图象如下：

由函数图象的对称性得：正比例函数和反比例函数的图象的另一个交点的坐标为，

所以结合函数图象得：若，则的取值范围是或，

故答案为：或．

【点睛】

本题考查了正比例函数和反比例函数的综合，熟练掌握正比例函数和反比例函数的图象与性质是解题关键．

15．####4.25

【解析】

【分析】

根据．可得 ，且 ，从而得到，再利用完全平方公式，即可求解．

【详解】

解：∵．

∴ ，且 ，

∴ ，

∴，

∴，

即 ，

∴ ．

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了分式的混合运算，完全平方公式，根据题意得到是解题的关键．

16．

【解析】

【分析】

由菱形的性质可得，，，由“”可证，可得，由面积的和差关系可求解．

【详解】

解：连接，

四边形是菱形，

，，，

是等边三角形，，

，

，，

，

在和中，

，

，

，

，

，，

，

，

阴影部分面积，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了菱形的性质，等边三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．

17．

【解析】

【分析】

过点作交于点，交于点，连接，设点的运动时间为，在上的运动速度为，，只需最小即可，再证明，可得，则当、、点三点共线时，此时有最小值，再由，求出即可求坐标．

【详解】

解：过点作交于点，交于点，连接，

，

，

设点的运动时间为，在上的运动速度为，

点在上的运动速度是在上的倍，

，

，

，

，

，，

，，

，

，

，

，

当、、点三点共线时，，此时有最小值，

，

，

，

，即，

，

，   

故答案为：．

【点睛】

本题考查轴对称求最短距离，三角形相似的判定及性质、解题的关键是熟练掌握轴对称求最短距离和胡不归求最短距离的方法．

18．或

【解析】

【分析】

先把等号右边的项移到等号左边，再利用因式分解法求解．

【详解】

解：解：，

．

即．

∴或，

∴或．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的因式分解法是解决本题的关键．

19．（1）；（2）．

【解析】

【分析】

（1）直接利用概率公式求解，即可求得答案；

（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案．

【详解】

解：（1）小明任意按下一个开关，正好楼梯灯亮的概率是：；，

（2）画树状图得：

∵共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况，

∴正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：．

【点睛】

本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

20．(1)见解析

(2)

【解析】

【分析】

（1）由等腰直角三角形的性质得出，可证明；

（2）由勾股定理求出，由相似三角形的性质得出，可求出的长，则可得出答案．

(1)

解：证明：，，

，

又，

；

(2)

解：由勾股定理得，

设长为，

，

，，

，

，

即，

解得，

即．

【点睛】

本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是证明．

21．(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为

(2)8

【解析】

【分析】

（1）根据已知条件求出、点坐标，用待定系数法求出直线和反比例函数的解析式；

（2）由一次函数解析式求得的坐标，然后联立一次函数的解析式和反比例的函数解析式可得交点的坐标，从而根据三角形面积公式求解．

(1)

解：，，

，

，

，

将代入得：；

将，代入得，解得，

一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为；

(2)

解：

由，解得，，

，

．

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是掌握求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

22．(1)售价为850元时，当天的销售量为70件

(2)800元

【解析】

【分析】

（1）降低50元增加10件，可知若想每天出售850件，降低元，进而即可列出算式求解．

（2）利润售价进价，根据一件商品的利润乘以销售量得到总利润，列出方程求解即可．

(1)

解：（件．

答：售价为850元时，当天的销售量为70件；

(2)

解：设每件服装售价元，

，

化简得，

解得：，，

使顾客得到尽可能大的实惠，

，

答：每件应定价800元．

【点睛】

考查了一元二次方程的应用，解题的关键是掌握利润售价进价，根据一件商品的利润乘以销售量总利润列出方程．

23．(1)见解析

(2)路灯高3.75米

【解析】

【分析】

（1）作出太阳光线，过点作的平行线，与的交点即为小明的位置；

（2）易得小明的影长，利用可得路灯的长度．

(1)

解：如图，FG就是所求作的线段.

(2)

上午上学时，高1米的木棒的影子为2米，

，

，

，，

，

，

，

解得，

路灯高3.75米．

【点睛】

综合考查了中心投影和平行投影的运用，注意平行投影的光线是平行的；用到的知识点为：在相同时间段，垂直于地面的物高与影长是成比例的；两三角形相似，对应边成比例．

24．(1)48

(2)OF⊥DF，见解析

(3)

【解析】

【分析】

（1）设AE=3x，则OE=5x，由勾股定理得AO=4x，则3x+2=4x，求出x即可求点E坐标为（6，8），再由E点坐标即可求k 值；

（2）求出D（8，6），证明△AOF∽△BFD，则∠AOF=∠BFD，可得∠OFD=180°-（∠AFO+∠BFD）=90°，即可得到OF⊥DF；

（3）延长DF交y轴于点G，连接CG交OF于点P，则点P为所求作点，证明△AFG≌△BFD（AAS），得到OF为线段DG的垂直平分线，C（8，0），G（0，10），求出直线CG解析式为y=-x+10，直线OF为y=2x，联立，即可求出点P的坐标．

(1)

证明：∵四边形OABC是正方形，

∴AO=AB，∠OAB=90°，

∵，

设AE=3x，则OE=5x，由勾股定理得AO=4x，

∴3x+2=4x，

∴x=2，

∴AE=3x=6，AO=4x=8，

∴点E坐标为（6，8），

∴k=6×8=48；

(2)

解：OF⊥DF，理由如下：

将x=8代入y=得y=6，

∴D（8，6），

∴BD=BC-CD=8-6=2，

∵点F是线段AB的中点，

∴AF=BF=4，

∵，∠OAF=∠FBD=90°，

∴△AOF∽△BFD，

∴∠AOF=∠BFD，

∴∠AFO+∠BFD=∠AFO+∠AOF=90°，

∴∠OFD=180°-（∠AFO+∠BFD）=90°，

∴OF⊥DF；

(3)

（3）延长DF交y轴于点G，连接CG交OF于点P，则点P为所求作点，

∵四边形OABC为正方形，∠AFG=∠BFD，AF=BF，

∴△AFG≌△BFD（AAS），

∴AG=BD=2，GF=DF，

由（2）得OF⊥DF，

∴OF为线段DG的垂直平分线，

∴PD＋PC的最小值=PG＋PC=CG，

∵OC=OA=8，

∴C（8，0），G（0，10），

设直线CG解析式为y=mx+n，代入C（8，0），G（0，10），

得，解得，

∴

设直线OF为y=ax，代入F（4，8），

∴a=2，

∴y=2x，

联立直线OF、CG得，解得，

∴点P的坐标为(，)．

【点睛】

本题是反比例函数的综合题，熟练掌握反比例函数的图象及性质，三角形相似的判定与性质，线段垂直平分线的性质是解题的关键．

25．(1)4；

(2)可能，面积为；

(3)8

【解析】

【分析】

（1）根据矩形的性质和等角的余角相等证得，∠DAP＝∠BAE，根据相似三角形的判定和性质证得△ADP∽△ABE即可求解；

（2）根据相似三角形的性质和直角三角形的两锐角互余证得∠PBE=90°，根据矩形的判定当∠APB=90°时可得四边形AEBP为矩形；利用勾股定理求得BD，再根据三角形的面积公式求得AP，进而求得AE即可求解；

（3）根据题意画出图形证明点Q在直线Q1Q2上运动，由（2）中结论可知四边形AQ1BQ2是矩形，根据矩形对角线相等求得Q1Q2即可．

(1)

解：如图，∵四边形ABCD是矩形，AB＝8，AD＝4，

∴∠DAB＝90°，，

∴，

∵AP⊥AE，

∴∠PAE＝90°，

∴∠DAP+∠PAB＝∠PAB+∠BAE，

∴∠DAP＝∠BAE，

∴△ADP∽△ABE，

∴，

∴；

(2)

解：四边形AEBP可能为矩形．如图，

由（1）得△ADP∽△ABE，

∴∠ABE＝∠ADB，

∴∠PBE＝∠PBA+∠ABE=∠PBA+∠ADB=90°，

如图，当∠APB=90°时，

∵∠APB=∠PAB=∠PBE=90°，

∴四边形AEBP为矩形，

在Rt△ABD中，AB＝8，AD＝4，

由勾股定理得：，

，，

 ；

(3)

解：由（1）中，，∠DAB=∠PAE=90°，

∴△ADB∽△APE，

∴∠ADB＝∠APE，

如图，当点P在点D处时，Q在Q1处，即AQ1⊥BD，作 AQ2⊥PE，

∴∠AQ1D=∠AQ2P=90°，

∴△ADQ1∽△APQ2，

∴，∠DAQ1=∠PAQ2，

∵∠DAP=∠DAQ1+∠PAQ1=∠PAQ1+∠PAQ2=∠Q1AQ2，

∴△ADP∽△AQ1Q2，

∴∠AQ1Q2=∠ADP，

∴∠BQ1Q2=90°-∠AQ1Q2=90°-∠ADP=∠ABD，

因此点Q在直线Q1Q2上运动，

故当点P从点D运动到点B时，点Q由Q1运动到如图2中的Q2位置，则点Q运动的距离为Q1Q2的长度．

此时，∠DAP=∠DAB=∠DAQ1+∠PAQ1=∠PAQ1+∠PAQ2=∠Q1AQ2=90°，

又∵∠AQ1D=∠AQ2P=90°，

∴四边形AQ1BQ2是矩形，

∴Q1Q2=AB=8，即点Q运动的距离为8．

                  图2                                      图3

【点睛】

本题考查相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、直角三角形的性质、等角的余角相等、勾股定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键．下载本文