找全等三角形的方法：
（1）可以从结论出发，看要证明相等的两条线段（或角）分别在哪两个可能全等的三角形中；
（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形相等；
（3）从条件和结论综合考虑，看它们能一同确定哪两个三角形全等；
（4）若上述方法均不行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。
三角形中常见辅助线的作法：
①延长中线构造全等三角形；
②利用翻折，构造全等三角形；
③引平行线构造全等三角形；
④作连线构造等腰三角形。
常见辅助线的作法有以下几种：
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”．
2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”．
3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．
4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．
常见辅助线写法：
⑴过点A作BC的平行线AF交DE于F
⑵过点A作BC的垂线，垂足为D
⑶延长AB至C，使BC＝AC
⑷在AB上截取AC，使AC＝DE
⑸作∠ABC的平分线，交AC于D
⑹取AB中点C，连接CD交EF于G点
例1
如图，AB＝CD＝1，∠AOC＝60°，证明：AC＋BD≥1。
例2
(2007年北京中考）如图，已知△ABC
⑴请你在BC边上分别取两点D、E（BC的中点除外），连接AD、AE，写出使此图中只存在两对面积相
等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形；
⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明AB＋AC＞AD＋AE。
例3
已知线段OA、OB、OC、OD、OE、OF。
∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOE＝∠EOF＝60°。且AD＝BE＝CF＝2。
求证：S△OAB＋S△OCD ＋S△OEF ＜。
例4
如图1，在四边形ABCD中，连接对角线AC、BD，如果∠1＝∠2，那么∠3＝∠4。
仔细阅读以上材料，完成下面的问题。
如图2，设P为□ABCD内一点，∠PAB＝∠PCB，求证：∠PBA＝∠PDA。
图1 图2
⑴集散思想：有些几何题，条件与结论比较分散，通过添加适当的辅助线，
将图形中分散，远离了的元素聚集到有关的图形上，使它们相对集中，便于比较，建立关系，从而找出问题的解决途径。
⑵平移只能用来作为作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将
△ABC平移至△DEF。
1．在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA边上的点，且EG⊥FH，求
证：EG＝FH。
2．如图所示，P为平行四边形ABCD内一点，求证：以AP、BP、CP、DP为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB和BC。
3．如图，已知△ABC的面积为16，BC＝8，现将△ABC沿直线BC向右平移a个单位到△DEF的位置。
⑴当a＝4时，求△ABC所扫过的面积；
⑵连接AE、AD，设AB＝5，当△ADE是以DE为一腰的等腰三角形时，求a的值。
4．如图，AA′=BB′=CC′=1，∠AOB′=∠BOC′=∠COA′=60°，求证：。
例1
如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AH⊥EF，H为垂足，求证：AH＝AB。
例2
△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P是△ABC内的一点，且AP＝3，CP＝2，BP＝1，求∠BPC的度数。
例3
已知在△ABC中，AB＝AC，P为三角形内一点，且∠APB＞∠APC，求证：PB＜PC。
有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候可以用旋转
⑴边相等时常见图形为正方形，等腰三角形和等边三角形等等
⑵角度能拼成的特殊角指的是180°，90°等等
例4
已知△ABC，∠1＝∠2，AB＝2AC，AD＝BD。求证：DC⊥AC。
例5
△ABC为等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝AE，∠BAE＝30°，求证：BE＝CE。
例6
在△ABC中，E、F为BC边上的点，已知∠CAE＝∠BAF，CE＝BF，求证：AC＝AB。
出现轴对称的时候可以考虑翻折，尤其注意有角平分线，有角相等或者出现特殊角的一半的时候，翻折是常用添加辅助线的思想。
强调：
旋转和翻折只能是一种作辅助线的思路，具体做辅助线的时候不能直接说将△ABC旋转或翻折至△DEF。
1．如图，O是边长为a的正方形ABCD的中心，将一块半径足够长、圆心角为直角的扇形
纸板的圆心方在O点处，并将纸板绕O点旋转，其半径分别交AB、AD于点M、N，求
证：正方形ABCD的边被纸板覆盖部分的总长度为定值a。
2．（2008山东）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A＝90°，AB＝2，BC＝3，CD＝1，E是
AD中点，试判断EC与EB的位置关系，并写出推理过程。
3．如图，P是等边△ABC内一点，若AP＝3，PB＝4，PC＝5，求∠APB的度数。
4．已知：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E分别为线段BC上两动点，
∠DAE=45°。
⑴猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证明；
⑵当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，其它条件不变，⑴中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明。
5．如图，已知等腰直角三角线ABC，BD平分∠ABC，CE⊥BD，垂足为E，求证：BD＝2CE。
6．如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，如果AB＝8，BC＝10，求EC的长。
中点的妙用
一、倍长中线法
例1
(北京文汇中学2009-2010期中测试题)，AD是△ABC中BC边上的中线，若AB2，AC4，则AD的取值范围是___________。
例2
已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，延长BE交AC于F，AFEF，求证：ACBE。
例3
⑴如图1，△ABC与△BDE均为等腰直角三角形，BA⊥AC，ED⊥BD，点D在AB边上。连接EC，取EC中点F，连接AF，DF，猜测AF，DF的数量关系和位置关系，并加以证明。
图1
⑵如图2，将△BDE旋转至如图位置，使E在AB延长线上，D在CB延长线上，其他条件不变，则⑴中AF，DF的数量关系和位置关系是否发生变化，并加以证明。
图2
例4
已知四边形ABCD中，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA的中点，求证EFGH为平行四边形。
例5
如图，已知四边形ABCD中，ABCD，M、N分别为BC、AD中点，延长MN与AB、CD延长线交于E、F，求证∠BEM∠CFM
例6
已知△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD∠ACE=90°，连接DE，设M为DE的中点。
⑴求证：MBMC；
⑵设∠BAD∠CAE，固定Rt△ABD，让Rt△ACE移至图示位置，此时MBMC是否成立？请证明你的结论。
出现中点的时候一般有以下作辅助线的方法
⑴倍长中线法
⑵构造中位线
⑶如果是直角三角形，经常还会构造斜边上的中线
例7
如图，已知△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，点M为EC中点，求证△BMD为等腰直角三角形。
1．在△ABC中，AB12，AC30，求BC边上的中线AD的范围。
2．在△ABC中，D为BC边上的点，已知∠BAD∠CAD，BDCD，求证：ABAC。
3．如图，在△ABC中，AD⊥BC，M是BC中点，∠B2∠C，如图，求证：DMAB
4．已知△ABC中，AC=7，BC4，D为AB中点，E为边AC上一点，且，求CE的长。
5．在任意五边形ABCDE中，M,N,P,Q分别为AB、CD、BC、DE的中点，K、L、分别为MN、PQ的中点，求证：平行且等于。
6．如图，已知△ABC中，ABAC，CE是AB边上的中线，延长AB到D，使BDAB，
那么CE是CD的几分之几？
7．四边形ABCD四边中点分别为E、F、G、H，当四边形ABCD满足 时，EFGH为菱形；当四边形ABCD满足 时，EFGH为矩形；当四边形ABCD满足 时，EFGH为正方形。
截长补短法
例1
在△ABC中，∠B=2∠C，∠BAC的平分线AD交BC与D。求证：ABBDAC。
例2
ABCD是正方形，P为BC上任意一点，∠PAD的平分线交CD于Q，求证：DQAPBP。
例3
已知△ABC，∠ABC=90°，以AB、AC为边向外做正方形ABDE和ACFG，延长BA交EG于H，则BC2AH。
补形法
例4
AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于E，EF//AC交AB于F。求证：AFFB。
例5
如图，六边形ABCDEF的六个内角都相等，已知BCCD11，DEAB3，求DCEF的值。
例6
如图所示：BC>AB，ADAC，BD平分∠ABC，求证：∠A∠C180°。
1．如图，在△ABC中，ABBDAC，∠BAC的平分线AD交BC与D，求证：∠B2∠C
已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABGF、ACDE，M是BC中点，连接AM
求证：EF＝2AM且AM⊥EF。
3．在△ABC中，ABAC，∠A100°，BE评分∠B交AC与E，如图，求证：AEBEBC
4．在△ABC中，D、E为AB、AC中点，DE与∠B的平分线交与F，如图所示。
求证：AF⊥BF
5．在△ABC中，MB、NC分别是三角形的外角∠ABE、∠ACF的角平分线，AM⊥BM，
AN⊥CN，垂足分别是M，N。求证：MN∥BC，MN (ABACBC)
6．在△ABC中，MB、NC分别是三角形的内角∠ABC、∠ACB的角平分线，AM⊥BM，
AN⊥CN，垂足分别是M，N。求证：MN∥BC，MN (ABACBC)
巧构等边
例1
在四边形ABCD中，已知ABBCCD，∠ABC70°，∠BCD170°，求∠BAD的度数。
例2
如图，△ABC中，ABAC，ADBC，∠A20°，求∠DCA的度数。
例3
任意△ABC，试在△ABC内找一点P，使得PAPBPC的值最小
例4
(2000 北京初二数学竞赛），在等腰△ABC中，延长边AB到点D，延长边CA到点E，连接DE，
恰有ADBCCEDE。求证：∠BAC100°。
例5
如图所示，在△ABC中，∠B60°∠A100°，E为AC的中点，∠DEC80°，D是BC边上的点，BC1，求△ABC的面积与△CDE的面积的两倍的和。
例6
如图所示，在△ABC中，∠ACB2∠ABC，P为三角形内一点，APAC，PBPC，
求证：∠BAC3∠BAP。
1．如图所示，在四边形中，，，求证：。
2．在中，，，为内部一点，，
，求的度数。
3．在等边△ABC内有一点P，它到三个顶点A、B、C的距离分别为1、，求∠APB的度数。
4．在凸四边形ABCD中，∠DAC30°，∠CAB20°，∠ADB50°，∠BDC30°，四边形的对角线交于点P，求证：PB=PC
5．在等腰△ABC中，∠B∠C40°，延长AB至点D，使ADBC，求∠BCD的度数。
6．如图，D是△ABC外一点，ABACBDCD，∠ABD60°。求∠ACD的度数。 下载本文
