数学（文科）

2014.01

学校          班级           姓名          成绩               

一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

（1）抛物线的准线方程是                                           （    ）

（A）         （B）      （C）        （D） 

（2）若直线与直线平行，则实数             (     )

（A）           （B）           （C）             （D）

（3）直线与圆相交所得的弦的长为                  （    ）

（A）         （B）          （C）            （D）

（4）已知双曲线的两条渐近线方程为，那么此双曲线的虚轴长为（    ）

（A）          （B）             （C）            （D）

（5）已知函数的导函数为，那么“”是“是函数的一个极值点”的                                                                 （     ）

（A）充分而不必要条件                 （B）必要而不充分条件         

（C）充要条件                         （D）既不充分也不必要条件 

（6）已知命题函数是增函数，命题，的导数大于0，那么 （     ）

（A）是真命题 （B）是假命题  （C）是真命题   （D）是真命题

（7）函数的部分图象为                                         （     ）

（A）                               （B）    

（C）                                （D）

（8）在平面直角坐标系中，已知集合所表示的图形的面积为，若集合，则所表示的图形面积为 

                                                                  （     ）

（A）            （B）            （C）               （D） 

二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，把答案填在题中横线上.

（9）已知，则              . 

（10）过点且与圆相切的直线的方程是             . 

（11）曲线在处的切线方程为，则______， ______.

（12）已知抛物线：，为坐标原点，为的焦点，是上一点. 若是等腰三角形，则                  .

（13）已知点是双曲线的两个焦点，过点的直线交双曲线的一支于两点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为             . 

（14）如图所示，在正方体中，点是棱上的一个动点，平面交棱于点．给出下列四个结论：

①存在点，使得//平面；

②存在点，使得平面；

③对于任意的点，平面平面；

④对于任意的点，四棱锥的体积均不变.

其中，所有正确结论的序号是___________． 

三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（15）（本小题共11分）

已知函数，且是函数的一个极小值点.

（Ⅰ）求实数的值； 

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.

 (16)（本小题共11分）

已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于点，.

（Ⅰ）若（点在第一象限），求直线的方程； 

（Ⅱ）求证：为定值（点为坐标原点）.

 (17)（本小题共11分）

已知椭圆：经过点，.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设椭圆的左、右焦点分别为，过点的直线交椭圆于两点，求面积的最大值.

(18)（本小题共11分）

已知函数.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）记函数的最小值为，求证：.

海淀区高二年级第一学期期末练习

数学（文科）

参及评分标准          2014．01

一.选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.

（9）       （10）           （11）， 

（12）或              （13）                 （14）①③④

注：（11）题每空2分；（12）题少一个答案扣2分.

三.解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

（15）（本小题满分11分）

解：（Ⅰ）.                                 ………………………2分

是函数的一个极小值点，

. 

即，解得.                                  ………………………4分

经检验，当时，是函数的一个极小值点.

实数的值为.                                        ………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，.

.

令，得或.                             ………………………6分

当在上变化时，的变化情况如下：

当或时，有最小值；           

当或时，有最大值.                       ………………………11分

（16）（本小题满分11分）

解：（Ⅰ）设，由题意，且.

点在抛物线上，且，

点到准线的距离为.                         

，.                                      ………………………2分

又，，

.

.

，                                               ………………………4分

直线的方程为，即.         ………………………5分

（Ⅱ）由题意可设直线的方程为：.

由得，即.           ………………………7分

显然恒成立.

设，，则                   ………………………9分

.

即为定值.                                 ………………………11分

（17）（本小题满分11分）

解：（Ⅰ）由题意，椭圆的方程为.    ………………………1分

将点代入椭圆方程，得，解得. 

所以 椭圆的方程为.                          ………………………3分

（Ⅱ）

由题意可设直线的方程为：.

由得.

显然.

设，，则               ………………………7分

因为的面积，其中.

所以.

又， 

.                                         ………………………9分

.

当时，上式中等号成立.

即当时，的面积取到最大值.                 ………………………11分

（18）（本小题满分11分）

解：（Ⅰ）

的定义域为.

.             ………………………2分

令，解得或（舍）.

当在内变化时，的变化情况如下：

………………………5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，的最小值.          ………………………6分

令，则.

令，解得.                                   ………………………8分

当在内变化时，的变化情况如下：

因为，所以.                     ………………………11分

注：对于其它正确解法，相应给分.下载本文