导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳．

一、分离参数，转化为最值策略

在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若恒成立，只须求出，则；若恒成立，只须求出，则，转化为函数求最值．

例1、已知函数.（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若对所有都有求实数的取值范围.

二、导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略

求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点，从而引起讨论．

例2.已知是实数，函数.

（Ⅰ）若,求的值及曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求在区间[0，2]上的最大值．

三、导函数为0是否存在，分类讨论策略

求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关，令△=0，求分点，从而引起讨论．

例3、已知函数，，讨论在定义域上的单调性．

四、导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略

求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间．所以必须分类，通过令几个根相等求分点，从而引起讨论．

例4、已知，讨论函数的单调性．

练习

求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。

一、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。

二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）, 导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。

三、

1．08广东（理） 设，函数，

试讨论函数的单调性。

2． (08浙江理)已知是实数，函数

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）设为在区间上的最小值。

（）写出的表达式；（）求的取值范围，使得。

3（07天津理）已知函数，其中。

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间与极值。    

4（07高考山东理改编）设函数，其中，求函数的极值点。

含参数导数的解题策略

例1、解：（Ⅰ）略．                     

（Ⅱ）∵ 对所有都有，

∴ 对所有都有，即                 

记只需                    

令解得

∴ 当时，取最小值                           

∴ 即的取值范围是                                     

例2. 解：（I）略．

（II）令，解得．

当，即时，在[0，2]上单调递增，从而．

当时，即时，在[0，2]上单调递减，从而．

当，即，在上单调递减，在上单调递增，从而    

综上所述，

例3、 解：由已知得，

     （1）当，时，恒成立，在上为增函数．

     （2）当，时，

        1)时，，在

         上为减函数，在上为增函数，

         2）当时，故在上为减函数，

             在[，＋∞）上为增函数．      

     综上，当时，在上为增函数．

           当时，在上为减函数，

                         在上为增函数，

           当时，在（0， ]上为减函数，在[，                       ＋∞）上为增函数．

例4、解：，设，令，得，．

1)当时，，在区间，上，即，所以在区间，上是减函数；

在区间，，即，所以在区间上是增函数；

2）当时，,在区间，上，即，又在处连续，所以在区间上是减函数；

3）当时，,在区间，上，即，所以在区间，上是减函数；

在区间上，，即，所以在区间上是增函数．

练习

1． 

解：。

考虑导函数是否有实根，从而需要对参数的取值进行讨论。

（一）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，

因此，对参数分和两种情况讨论。

（1）当时，在上恒成立，所以函数在上为增函数；

（2）当时，。

由，得，因为，所以。

由，得；由，得。

因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。

（二）若，则。由于当时，无实根，而当时，有实根，因此，对参数分和两种情况讨论。

（1） 当时，在上恒成立，所以函数在上为减函数；

（2） 当时，。

由，得；由，得。

因此，当时，函数在上为减函数，在上为增函数。

综上所述：

（1）当时，函数在上为减函数，在上为增函数，在上为减函数。

（2）当时，函数在上为增函数，在上为减函数。

（3）当时，函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数。

2． 解：（Ⅰ）函数的定义域为，，由得。

考虑是否落在导函数的定义域内，需对参数的取值分及两种情况进行讨论。

（1）当时，则在上恒成立，所以的单调递增区间为。

（2）当时，由，得；由，得。

因此，当时，的单调递减区间为，的单调递增区间为。

（Ⅱ）（）由第（Ⅰ）问的结论可知：

（1）当时，在上单调递增，从而在上单调递增，所以。

（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，所以：

1当，即时，在上单调递减，在上单调递增，

所以。

2当，即时，在上单调递减，所以。

综上所述，

（）令。

①若，无解；

②若，由解得；

3若，由解得。

综上所述，的取值范围为。

3、解：（Ⅰ）当时，曲线在点处的切线方程为。

（Ⅱ）由于，所以。

由，得。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数的取值分和两种情况进行讨论。

（1）当时，则。易得在区间，内为减函数，在区间为增函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。

（2）当时，则。易得在区间，内为增函数，在区间为减函数。故函数在处取得极小值；函数在处取得极大值。

4、解：由题意可得的定义域为，，的分母在定义域

上恒为正，方程是否有实根，需要对参数的取值进行讨论。

（1）当，即时，方程无实根或只有唯一根，所以

在上恒成立，则在上恒成立，所以函数在上单调递增，从而函数在上无极值点。

（2）当，即时，方程，即有两个不相等的实根：。

这两个根是否都在定义域内呢？又需要对参数的取值分情况作如下讨论：

（ⅰ）当时，，所以。

此时，与随的变化情况如下表：

（ⅱ）当时，，所以。

此时，与随的变化情况如下表：

综上所述：

（1）当时，有唯一极小值点；

（2）当时，有一个极大值点和一个极小值点；

（3）当时，无极值点。下载本文