解析卷

一、單一選擇題（計十題，共四十分）：

1.（　）如圖，有一個三角形　ABC，裡面有一點　M，作三條直線　AM、BM、CM　後，發現這三條直線把△ABC　分成六個面積相等的小三角形，則　M　點是△ABC　的　(Ａ)外心(Ｂ)內心(Ｃ)重心(Ｄ)不能確定。

答案：(Ｃ)

2.（　）△ABC　中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，G　為△ABC　的重心，則△GAB　面積：△GBC　面積：△GAC　面積＝　(Ａ)　1：2：(Ｂ)　1：：2　(Ｃ)　2：1：(Ｄ)　1：1：1。

答案：(Ｄ)

解析：∵G　為△ABC　之重心

∴△GAB　面積：△GBC　面積：△GAC　面積＝1：1：1

3.（　）如圖，△ABC　中，＝，兩腰上的中線相交於　G，若∠BGC＝90°，且＝2，則之長為何？　(Ａ)　2　(Ｂ)　2(Ｃ)　3　(Ｄ)　4。

答案：(Ｃ)

解析：∵＝，且　G　為△ABC　重心

∴＝　∴＝

又∵∠BGC＝90°，＝2

∴＝＝＝2

∴＝＝×2＝3

4.（　）如圖，等腰△ABC　中，＝＝13，＝＝5，O　為△ABC　的外心，則　＝？　(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)。

答案：(Ｂ)

解析：∵△ABC　為等腰三角形，∴⊥

＝＝12，連接　，令　＝x

則　＝＝－＝12－x，

（12－x）2＝x2＋52　⇒　x＝

故選(Ｂ)

5.（　）如圖，D、E　分別為　、　中點，、　交於　F，若斜線部分的面積為　7　平方公分，則△ACD　的面積為多少平方公分？　(Ａ)　21(Ｂ)　24(Ｃ)　28(Ｄ)　35。

答案：(Ａ)

解析：連接　，則△BDF＝△ABC　而△ACD＝△ABC

△ACD＝3×7＝21　平方公分　故選(Ａ)

6.（　）直角三角形　ABC　中，∠A＝90°，O　為外心，G　為重心，若＝6，＝8，則　＝？　(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)。

答案：(Ｃ)

解析：＝＝10

＝＝＝5　＝＝　故選(Ｃ)

7.（　）如圖，△ABC　中，＝8，＝6，＝10，M　為　　中點，則　＝？　(Ａ)(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)　5。

答案：(Ｄ)

解析：△ABC　為直角三角形

∴M　為外心，＝＝＝＝5　故選(Ｄ)

8.（　）由尺規作圖得知正三角形的外心、內心、重心均在同一點，請問正三角形外接圓的面積是內接圓面積的幾倍？　(Ａ)　2(Ｂ)(Ｃ)(Ｄ)　4。

答案：(Ｄ)

解析：外心、內心、重心皆在　O　點

⇒　＝＝4　故選(Ｄ)

9.（　）如圖，△ABC　中，G　為重心，在上取一點　G'，使得＝＝4，若　＝6，＝10，則△ABC　的面積為何？　(Ａ)　24(Ｂ)　36(Ｃ)　48(Ｄ)　72。

答案：(Ｄ)

解析：△GG'B＝＝24

△ABC＝24×3＝72　故選(Ｄ)

10.（　）如圖，G　為△ABC　的重心，現分別從　A　及　G　作垂線交　　於　A'及　G'，則　'：'＝？　(Ａ)　2：1(Ｂ)　3：1(Ｃ)　4：1(Ｄ)：1。

答案：(Ｂ)

解析：△BGC＝△ABC

∴'：'＝3：1　故選(Ｂ)

二、填充題（計八題，共四十分）：

1.如圖，G　為直角△ABC　的重心，∠ABC＝90°，且＝12，＝8，則△ABG　的面積為【　　　　】。

答案：16

：△ABC　面積＝×8×12＝48

∵G　為△ABC　之重心

∴△ABG　面積＝△ABC　面積＝×48＝16

2.設　G　為正△ABC　的重心，為之中線，＝16，則：

(１)＝【　　　　】。

(２)△CDG　面積＝【　　　　】。

答案：(１)16；(２)32

解析：(１)∵G　為正△ABC　之重心，＝16

∴＝×16＝24＝×

∴＝24××＝16

(２)△CDG　面積＝△ABC　面積＝×〔×（16）2〕＝××768＝32

3.有一正三角形其內切圓的面積為　5π，則其外接圓的面積＝【　　　　】。

答案：20π

解析：∵正△的三心同點可推得外接圓面積＝內切圓面積＝4：1

⇒　外接圓面積＝5×4＝20π

4.如圖，G　為重心，在上取一點　G'，使得　＝＝2，且　＝3，＝5，則△GG'B　是直角三角形嗎？答：【　　　　】。

答案：是

解析：∵＝'，＝

∴四邊形　BGCG'為平行四邊形

故　'＝＝3

又　＝5，'＝2×2＝4

△GG'B　邊長為　3、4、5，故為直角三角形

5.正△ABC　的邊長為　10，在△ABC　內找一點　P　至三頂點等距離，則　＝【　　　　】。

答案：

：∵正△的外心與重心同一點　∴　＝×高，又　＝10

∴高＝10×＝5　故　＝×5＝

6.如圖，△PQR　中，∠Q＝90°，又∠QPR＝45°，已知　G　為△PQR　的重心，若　＝a，則△PQR　的周長＝【　　　　】。（以　a　表示）

答案：

解析：＝a，則　＝＝＝3a，　⇒　＝6a

＝＝＝

則△PQR　周長＝＝

7.如圖，＝，＝，若△ABF　的面積為　18　平方公分，則△BCE　的面積為【　　　　】平方公分。

答案：54

解析：連接　∵＝，＝

∴F　為△AEC　之重心

∴△BCE　面積＝3△ABF　面積＝3×18＝54（平方公分）

8.如圖，△ABC　中，D、E、F　為各邊中點，∠A＝30°，＝8，＝6，則斜線部分面積為【　　　　】。

答案：4

：＝＝×8＝4

∴△ABC　面積＝×6×4＝12

∴斜線部分面積＝△ABC　面積＝×12＝4

三、計算題（計四題，共二十分）：

1.如圖，△ABC　為正三角形，G　為重心，若＝20，請問：

(１)＝？

(２)△ABC　面積為多少？

【解】

答案：(１)∵＝　∴＝×20＝30

∵△ABC　為正△　∴＝

∴30＝×，＝×30＝×＝20

(２)正△ABC　面積＝×2＝×（20）2

＝×1200＝300

答：(１)20；(２)300

2.如圖，△ABC　中，＝5，＝12，＝13，且　G　為重心，O　為外心，試求　。

【解】

答案：∵2＋2＝52＋122＝132＝2

∴△ABC　為直角三角形，且　　為斜邊

又　O　為外心

∴外接圓半徑　＝＝．13＝

又　G　為重心

∴＝＝．＝

3.如圖，△ABC　中，G　為重心，若　＝5，＝12，＝13，試求△ABC　的面積。

【解】

答案：延長至　G'，使得　＝，

故＝＝5

△GDC　與△G'DB　中，

＝，＝，∠GDC＝∠G'DB

∴△GDC≅△G'DB（SAS），

故　＝＝13

∵2＋2＝52＋122＝132＝2

∴△BGG'為直角三角形

△BGG'＝．12．5＝30

△BGD＝．△BGG'＝．30＝15

△ABC＝6．△BGD＝6．15＝90

4.如圖，G　為△PQR　的重心，且　＝＝17，＝16。今以　G　點為圓心，將△PQR　旋轉一周，則△PQR　掃過的區域面積為何？

【解】

答案：掃過區域為以　G　為圓心，　為半徑的圓（　為較長的中線）

又△PQR　為等腰△，則　⊥

＝＝15，＝＝10

掃過的區域面積＝10×10×π＝100π

答：100π下载本文