●试题部分

第Ⅰ卷（选择题  共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.等于（    ）

A.                          B. 

C.                             D. 

2.已知x∈（－，0），cosx=，则tan2x等于（    ）

A.                 B.－            C.             D.－

3.设函数f（x）=若f（x0）>1，则x0的取值范围是（    ）

A.（－1，1）                               B.（－1，+∞）

C.（－∞，－2）∪（0，+∞）               D.（－∞，－1）∪（1，+∞）

4.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足，λ∈［0，+∞，则P的轨迹一定通过△ABC的（    ）

A.外心               B.内心               C.重心               D.垂心

5.函数y=ln，x∈（1，+∞）的反函数为（    ）

A.y=，x∈（0，+∞）               B.y=，x∈（0，+∞）

C.y=，x（－∞，0）               D.y=，x∈（－∞，0）

6.棱长为a的正方体中，连结相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为（    ）

A.                 B.                  C.                 D. 

7.设a>0，f（x）=ax2+bx+c，曲线y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，］，则P到曲线y=f（x）对称轴距离的取值范围为（    ）

A.［0，］           B.［0，］           C.［0，||］       D.［0，||］

8.已知方程（x2－2x+m）（x2－2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则

|m－n|等于（    ）

A.1                   B.                 C.                 D. 

9.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F（，0），直线y=x－1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为－，则此双曲线的方程是（    ）

A.                             B. 

C.                             D. 

10.已知长方形的四个顶点A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）和D（0，1），一质点从AB的中点P0沿与AB夹角为θ的方向射到BC上的点P1后，依次反射到CD、DA和AB上的点P2、P3和P4（入射角等于反射角）.设P4的坐标为（x4，0）.若1A.（，1）                               B.（）   

C.（）                               D.（）

11.等于（    ）

A.3                   B.                   C.                  D.6

12.一个四面体的所有棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（    ）

A.3π               B.4π           C.3π           D.6π

第Ⅱ卷（非选择题  共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

13.（x2－）9展开式中x9的系数是_____.

14.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取_____、_____、_____辆.

15.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有_____种.（以数字作答）

16.下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是_____.（写出所有符合要求的图形序号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分12分）已知函数f（x）=2sinx·（sinx+cosx）.

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值；

（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间［－］上的图象.

18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.

（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；

（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.

19.（本小题满分12分）设a>0，求函数f（x）=－ln（x+a）（x∈（0，+∞））的单调区间.

20.（本小题满分12分）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率如下：

现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分.设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η.

（Ⅰ）求ξ、η的概率分布；

（Ⅱ）求Eξ，Eη.

21.（本小题满分12分）已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a），以i－2λc为方向向量的直线相交于点P.其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.

22.（本小题满分14分）设a0为常数，且an=3n－1－2an－1（n∈N+）.

（Ⅰ）证明对任意n≥1，an=［3n+（－1）n－1·2n］+（－1）n·2na0；

（Ⅱ）假设对任意n≥1有an>an－1，求a0的取值范围.

●答案解析

1.答案：B

解析： 

.

 2.答案：D

解法一：∵x∈（－，0），cosx=，∴sinx=－，tanx=－，∴tan2x=.

解法二：在单位圆中，用余弦线作出cosx=，x∈（－，0），判断出2x∈Ⅳ且tan2x=AT<－1.

3.答案：D

解法一：因为f（x0）>1，当x≤0时，∴x0<－1，当x0>0时， >1，∴x0>1.综上，所以x0的取值范围为（－∞，－1）∪（1，+∞）.

解法二：首先画出函数y=f（x）与y=1的图象.由图中易得f（x）>1时，所对应的x的取值范围.

4.答案：B

解析:设为上的单位向量,为上的单位向量,则的方向为∠BAC的角平分线的方向.

又λ∈［0，+∞］，∴λ（）的方向与的方向相同.

而，∴点P在上移动，∴P的轨迹一定通过△ABC的内心.

5.答案：B

解法一：y=ln=ly，∴x=，又而x>1，

∴>1，∴ln>0，因此y=ln的反函数为y=（x>0）

解法二：因原函数的定义为（1，+∞），而y=.因此排除A、C，又原函数的值域为（0，+∞），排除D.

6.答案：C

解析：如图，此八面体可以分割为两个正四棱锥，

而AB2=（）2+（）2=a2，∴V八面体=.

7.答案：B

解析：f（x）的导数为f′（x）=2ax+b，由已知y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的倾斜角的取值范围为［0，］.因此有0≤2ax0+b≤1.而P到曲线y=f（x）的对称轴的距离为.

8.答案：C

解析：设a1=，a2=+d，a3=+2d，a4=+3d，而方程x2－2x+m=0中的两根之和为2，x2－2x+n=0中的两根之和也是2.∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4，∴d=，∴a1=，a4=是一个方程的两个根，a2=，a3=是一个方程的两个根，∴为m或n.∴|m－n|=.

9.答案：D

解法一：设所求双曲线方程为由

得，（7－a2）x2－a2（x－1）2=a2（7－a2）

整理得：（7－2a2）x2+2a2x－8a2+a4=0.又MN中点横坐标为－，

∴x0=即3a2=2（7－2a2），∴a2=2.

故所求双曲线方程为.

解法二：因所求双曲线与直线y=x－1的交点的中点横坐标为－<0，故双曲线的渐近线的斜率（k>0）时，为k>1，因此，排除B、C.经检验的交点的中点横坐标为－.

解法三：由已知MN中点横坐标x0=－，可得中点纵坐标y0=x0－1=－，设MN与双曲线交点分别为M（x1，y1）、N（x2，y2），则有=1  ①， =1  ②

则②－①得：，

∴，

∴.

10.答案：C

解析：设P1B=x，∠P1P0B=θ，则CP1=1－x，∠P1P2C、∠P3P2D、∠AP4P3均为θ，所以tanθ==x，又tanθ==x，

∴CP2=－1，而tanθ=，

∴DP3=x（3－）=3x－1，又tanθ==x，

∴AP4=－3，依题设1∴4<<5，∴.

11.答案：B

解析：∵

∴

， 

12.答案：A

解法一： 

.

∴R2=，∴R=.

∴球的表面积为3π.

解法二：构造棱长为1的正方体，则C1A1BD为棱长为的正四面体，正方体的外接球体也为正四面体的外接球.此时球的直径为，因此球的表面积为4π（）2=3π.

13.答案：－

解析：（x2－）9的展开式中，Tr+1=·（x2）9－r（－）r=（－）r，

由题意得18－3r=9，∴r=3，因此x9的系数为（－）3·

.

14.答案：6  30  10

解析：因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为，而三种型号的轿车有显著区别.根据分层抽样分为三层按比例抽样分别有6、30、10辆.

15.答案：120

解法一：先排1区，有4种方法，把其余四个区视为一个圆环（如图1），沿着圆环的一个边界剪开并把圆环拉直，得到如图2的五个空格，在五个空格中放3种不同元素，且①相同元素不能相邻.②两端元素不能相同.共有15种不同方法.然后再把图2粘成圆形即可.下面解决两端元素相同的情况.在这种情况下我们在六个空格如图3.要求①相同元素不能相邻.②两端元素必须相同，共有15种不同方法.然后再把图3粘成圆环形，把两端的两格粘在一起看成一个格即可.综上，共有4（15+15）=120种方法.

16.答案：①④⑤

解析：①、④易判断，⑤中△PMN是正三角形且AM=AP=AN，因此，三棱锥A—PMN是正三棱锥.所以图⑤中l⊥平面MNP，由此法，还可否定③.∵AM≠AP≠AN.也易否定②.

17.解：（Ⅰ）f（x）=2sin2x+2sinxcosx=1－cos2x+sin2x=1+（sin2xcos－cos2xsin）=1+sin（2x－），

所以函数f（x）的最小正周期为π，最大值为1+.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知

18.解法一：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.

设F为AB中点，连结EF、FC，

∵D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC⊥平面ABC，

∴CDEF为矩形.

连结DF，G是△ADB的重心，

∴G∈DF.在直角三角形EFD中，EF2=FG·FD=FD2，

∵EF=1，∴FD=.

于是ED=，EG=.

∵FC=ED=，∴AB=2，A1B=2，EB=.

∴sinEBG=.

∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin.

（Ⅱ）连结A1D，有.

∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，∴ED⊥平面A1AB，

设A1到平面AED的距离为h，则S△AED·h=·ED.

又.

∴.

即A1到平面AED的距离为.

解法二：（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角.

如图所示建立坐标系，坐标原点为O.设CA=2a，

则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1），

A1（2a，0，2），E（a，a，1），G（）.

∴=（0，－2a，1）.

∴，

解得a=1.

∴.

∴cosA1BG=.

A1B与平面ABD所成角是arccos.

（Ⅱ）由（Ⅰ）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）.

=（－1，1，1）·（－1，－1，0）=0，

=（0，0，2）·（－1，－1，0）=0，

∴ED⊥平面AA1E，又ED平面AED，

∴平面AED⊥平面AA1E，

又面AED∩面AA1E=AE.∴点A1在平面AED的射影K在AE上.

设=λ，则=（－λ，λ，λ－2）.

由·=0，即λ+λ+λ－2=0，解得λ=.

∴.    ∴.

故A1到平面AED的距离为.

19.解：f′（x）=（x>0）.

当a>0，x>0时，f′（x）>0x2+（2a－4）x+a2>0，

f′（x）<0x2+（2a－4）x+a2<0.

（i）当a>1时，对所有x>0，有x2+（2a－4）x+a2>0，

即f′（x）>0，此时f（x）在（0，+∞）内单调递增.

（ii）当a=1时，对x≠1，有x2+（2a－4）x+a2>0，

即f′（x）>0，此时f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递增.

又知函数f（x）在x=1处连续，因此，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增.

（iii）当00，即x2+（2a－4）x+a2>0，

解得x<2－a－2，或x>2－a+2.

因此，函数f（x）在区间（0，2－a－2）内单调递增，在区间（2－a+2，+∞）内也单调递增.

令f′（x）<0，即x2+（2a－4）x+a2<0，

解得2－a－2因此，函数f（x）在区间（2－a－2，2－a+2）内单调递减.

20.解：（Ⅰ）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.

P（ξ=3）=，

P（ξ=2）=，

P（ξ=1）=，

P（ξ=0）=；

根据题意知ξ+η=3，所以

P（η=0）=P（ξ=3）=，P（η=1）=P（ξ=2）=，

P（η=2）=P（ξ=1）=，P（η=3）=P（ξ=0）=.

（Ⅱ）Eξ=；

因为ξ+η=3，所以Eη=3－Eξ=.

21.解：根据题设条件，首先求出点P坐标满足的方程.据此再判断是否存在两定点，使得点P到两定点距离的和为定值.

∵i=（1，0），c=（0，a），∴c+λi=（λ，a），i－2λc=（1，－2λa）.

因此，直线OP和AP的方程分别为λy=ax和y－a=－2λax.

消去参数λ，得点P（x，y）的坐标满足方程y（y－a）=－2a2x2，

整理得        ①

因为a＞0，所以得：

（i）当a=时，方程①是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F；

（ii）当0＜a＜时，方程①表示椭圆，焦点E（）和F（－

）为合乎题意的两个定点；

（iii）当a＞时，方程①也表示椭圆，焦点E和F（0，（a－））为合乎题意的两个定点.

22.（Ⅰ）证法一：（i）当n=1时，由已知a1=1－2a0.等式成立；

（ii）假设当n=k（k≥1）等式成立，即ak=［3k+（－1）k－12k］+（－1）k2ka0，

那么ak+1=3k－2ak=3k－［3k+（－1）k－1·2k］－（－1）k2k+1a0=［3k+1+（－1）k2k+1］+（－1）k+12k+1a0，

也就是说，当n=k+1时，等式也成立.

根据（i）和（ii），可知等式对任何n∈N+成立.

证法二：如果设an－a3n=－2（an－1－a3n－1），

用an=3n－1－2an－1代入，可解出a=.

所以{an－}是公比为－2，首项为a1－的等比数列，

∴an－=（1－2a0－）（－2）n－1（n∈N+），

即an=+（－1）n2na0.

（Ⅱ）解法一：由an通项公式

an－an－1=+（－1）n3×2n－1a0，

∴an>an－1（n∈N+）等价于（－1）n－1（5a0－1）<（）n－2（n∈N+）.    ①

（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，①式即为（－1）2k－2（5a0－1）<（）2k－3，

即为a0<（）2k－3+.            ②

②式对k=1，2，…都成立，有a0<×（）－1+=.

（ii）当n=2k，k=1，2，…时，①式即为（－1）2k－1（5a0－1）<（）2k－2，

即为a0>－×（）2k－2+.        ③

③式对k=1，2，…都成立，有

a0>－×（）2×1－2+=0.

综上，①式对任意n∈N+成立，有0故a0的取值范围为（0，）.

解法二：如果an>an－1（n∈N+）成立，特别取n=1，2有a1－a0=1－3a0>0，

a2－a1=6a0>0，因此0下面证明当00.

由an通项公式5（an－an－1）=2×3n－1+（－1）n－13×2n－1+（－1）n5×3×2n－1a0.

（i）当n=2k－1，k=1，2，…时，

5（an－an－1）=2×3n－1+3×2n－1－5×3×2n－1a0>2×2n－1+3×2n－1－5×2n－1=0.

（ii）当n=2k，k=1，2，…时，

5（an－an－1）=2×3n－1－3×2n－1+5×3×2n－1a0>2×3n－1－3×2n－1≥0.下载本文