4.1 留数定理
在有奇点点域上，总可为（以奇点为中心）挖去奇点后的环域上的级数：
一、留数的概念： = …….. (1)
对此函数沿闭合回路的积分为：
………(2)
这就涉及前面所讨论过的那个重要的积分：
=
由此可见，洛朗级数（1）中的k= -1项即的小数具有很重要的地位。
称：为在奇点的留数（或残数），记作，
即： ………..(4)
若围有几个奇点, 根据柯西定理，可作几个闭合回路，，…，将这些奇点绕住，有：
= ……….(5)
二、 留数定理：
设函数在回路所围区域B上除有限个孤立奇点 外解析且连续，则：
……….(6)
这样，将复函数在区域上的回路积分，转为对区域上各奇点点留数求和。
三、 留数的求法：
有以上分析，显然关于奇点处留数的求解是至关重要的。
1.级数法：
将为的幂级数，其中是奇点，取其即可。
但这样的求法往往较麻烦。
2.极限解法（分几种情况）：
（1）. 若是的单极点，则：可 为：
显然： ………..(7)
可避开就级数。
若（可写为分式）。有0， =0，
则：
……..(8) (洛必达法则)
（2）. 若是的m阶极点，即：（常）。
但这并不是留数，这一结果仅判定级数极点是m阶的。
分析：若将在为中心点展开，应有：
则
………(9)
以上（7）、（8）、（9）式是三种情况下留数得极限求法，利用这些方法，就不必将 展为洛朗级数来求。
例 1. 求 的留数。
解： 的奇点有：z = 1 ,
(1)在 = 1的留数：
（2）在 z = -1处的留数：
例 2. 求 在 =1的留数。
解：
=1是的一阶极点：
法二：可用洛必达法则（可避开乘法公式）
例 3. 确定函数的极点，求出对应的留数。
解：（1）判断极点：
有两个极点： =1, = 2i
(2) 求留数： 在 = 2i 处：
= - = i
显然： z = 0是的三阶极点：
=
=
==
注：比较：…所有奇点。
例 4.计算沿单位圆的回路积分，。
分析：
解： 求的极点求的零点：
令= 0 有
，都是的单极点。
这两个极点可作判断是否在内
，在外。
只需求在处的留数。又由于是单极点，可用洛必达法则：
不可直接
（也是可以的，或一般的）此取奇点时。）
事实上：
习题： 1. （1）（2）（4）（7）
2.（1）提示：判断z=1,z=i是否在域内。
显然：
（z=-i的奇点不在内）
4.2应用留数定理计算复变函数的定积分
利用留数定理可计算复变函数沿闭合路径的积分
而实变函数是复函数的一种特例，故留数的另一个重要应用是计算实变函数的积分。
一、思路：
1.实函数的积分（定积分）是认为是即沿实轴的积分。
2.留数对应复平面内闭合曲线积分。
3.将实函的积分域（实轴）展至复平面，补一曲线（在复平面）使之形成闭合曲线，这样就可以应用留数定理。
即： ……. (1)
如图：
利用留数定理：
……. (2)
在（2）式中，最好设计，使最为方面。
其次，是较容易计算的积分或已知积分。
二、类型一：
被积函数是三角有理分式，在一个周期内的积分。
为了利用复变，可作变换：
令：，
这样：当和时，
而：时，沿着单位圆逆时针一周。
且： ，
即可用留数定理。
例1. 计算 .
解：属于这一类型：令.
=
三、类型二：
这是一个反常积分.（积分限）
这样的积分以常规做法是
上述积分情况下.若f(x)在实轴上（f(x)）无奇点. 在上半平面除有限个奇点外是解析的。当在上半平面时，.
则有： ……………….. （4）
关于（4）的说明（证明）：
(这里可不用再提！)
，意味着， 是此高两次（幂）
以上的函数
为应用留数定理，可由点为为心，为半径补一曲线
则：
当时，（5）中第三项：
………………. (6)
（注意：条件，在实轴无奇点，不是任何都可以用此方法。）
例2.计算 .
解：分析： ，当然比高两次幂，在实轴上（为）无奇点，在复空间有两个奇点： ，即是它的奇点，上半空间只有一个。
对应留数：
四、类型三： ， ，其中和分别为偶、奇函数，使整个被积函数为偶函数。
以上积分若满足一下条件：
1、、在实轴上无奇点，且在上半平面除有限个奇点外解析。
2、当在上半平面（包括实轴）时，，一致，
则有：
…(6)
其中： ，
利用：
…..(7)
其中： ，
解读：1、将积分限由展到
2、此类积分满足上述条件时，即可化为类型三大广义的积分。
3、 若写为，则至少是高一次幂函数。
证明略。
例 3. 计算 .
解：属于类型三，判断是否满足条件：
（1）：是偶函数，且当时，.
（2）：在上半平面内有一个奇点（另一个奇点）.
其他区域内解析，显然满足条件：
小结：
1、利用留数定理求实轴上定积分的一般方法是：
利用:
或
其中，是任选的路积分，此路与构成闭合回路，一般是容易求解的或已知积分，最好是= 0 .
2、类型一、通过变换，可直接将积分换为复平面的回路积分，从而直接用留数定理。
3、类型二、反常（广义）积分
当满足两个条件（在上半平面除奇点处解析，实轴无奇点；当时），则可使，从而：
4、类型三、或
若满足一定条件（、分别为偶奇，、在实轴无奇点，上半平面除奇点外解析，当时，和）.
则此类型可化为类型二：
在以上三类型之外，需根据具体情况灵活处理（按开始讲的原理）或化为已知类型。
例 4. 求
解：分析： ，是偶函数 .
事实上： （令）
=
=
成为标准的类型一：令： ， ，
（4个奇点）
= …………..(略)
例 5. 求
解：也是偶函数：
注意到：满足类型二的两个条件（1、上半平面除奇点外解析，实轴上无奇点。2、当时。）
利用类型二：
…………………….
略…………….
例 6. 求
解：被积函数是偶函数：
显然： 满足类型三的两个条件：
故上面积分化为类型三：
即有：
，上半平面只有
49页附页：
事实上：
即： 此时该取正还是负应取决于原题意 .
当取正：
当取负： 显然与相符
正确的符号舍取应为：
利用这样的处理，此题就容易多了，
有（2）式：
学生研讨会说教材之一：
点评：许多学生善于思考：
提出留数为什么非要取上半平面，只取下半平面不行？
问题非常好？
此问的关键在于积分闭合曲线的“不曲线”是如何补的，我们所解读第三节（人为补充）曲线是按照逆时针为正当约定，由（），这样不但曲线只能在上半平面，当时，曲线与实轴一道“围”住了整个上半平面，故一般取上平面的留数。
若按顺时针方向由作构成的闭合曲线当则“围”住了整个下半平面，此积分与逆时针积分相差一负号，只要让当时，，的确可只取下半平面的留数和……………..
鼓励积极思考！
说材二：除了已介绍的三种典型定积分可利用留数定理求解外，其他一般的定积分是否可用留数定理求解。
作用情况：
1、收敛域问题：级数展开后，一定要讨论或指出收敛域。
（1）、不给出收敛域————部分同学
（2）、
但：
2、其中考试问题
3、习题： 关键 ：在上半平面的留数
…………….(1)
显然：上半平面的奇点为：
……..（2）
点评：（分析）：有同学认为在上半平面，理由：
而反而属于下半面了，问题出在：歧义
（1）、
（2）、 两者相差一负号，问题在那？
实际上：
习题解：
2 .
解：考察：
有4 个奇点，其中： ，在上半平面。
，
3（1）、求 （m>0）
解：
分母同上题知有4个奇点，其中： ，在上半面，
…………..(1)
…………..(2)
在（1）、（2）中
其中：
但用此值判断法： （如何理解？）
事实上：判断法定本源：
即：
即：
计算
解：令：
奇点： （单奇点）
但只有k = 0 时， 在内，
其中： ，有是对但奇点，可用求导法。
