班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________
一、知识清单
1． 开普勒行星运动定律
①开普勒行星运动定律不仅适用于行星绕太阳运转，对于卫星绕行星运转，也遵循类似的运动规律。 ②比例系数k 与中心天体质量有关，与行星或卫星质量无关，是个常量，但不是恒量，在不同的星系中，k 值不相同。
③行星运动近似圆处理。
2． 万有引力定律
(1)公式：F ＝G m 1m 2
r
2，其中G ＝6.67×10－11N·m 2/kg 2，叫做引力常量。
(2)适用条件：此公式适用于质点间的相互作用。当两物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点。均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离。一个均匀球体与球外一个质点间的万有引力也适用，其中r 为球心到质点间的距离。 3． 万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向，如图1所示．
(1)在赤道上：G Mm
R 2＝mg 1＋mω2R .
(2)在两极上：G Mm
R
2＝mg 2.
(3)在一般位置：万有引力G Mm
R
2等于重力mg 与向心力F 向的矢量和．
越靠近南北两极g 值越大，由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近
似等于重力，即GMm
R
2＝mg .
4． 重力加速度
5． 黄金代换与抛体、圆周运动的综合
①黄金代换2
GM
g R =
（g 为星球表面重力加速度） ②自由落体运动gt v =;2
gt h 2
1=
③竖直上抛上升时间g v t 0=；上升高度2g
v
h 02
=
④平抛运动水平射程g
h
v x 20
= ⑤竖直面单层轨道通过最高点的临界速度gR v m in =
6． 星球瓦解问题
重力是万有引力的一个分力，地球赤道上物体的重力mg ＝2
GMm
R
－mRω自2，假设地球自转加快，即ω自变大，物体的重力将变小。当
2
GMm
R
=mRω自2时，mg =0，此时地球赤道上的物体无重力，要开始“飘”起来了，若自转继续加快，星球即将瓦解。可求得：
①瓦解临界角速度ω瓦； ②瓦解临界周期T 瓦=g R
π2；
③瓦解临界密度ρ瓦= 2
3GT π
。
7． 计算中心天体的质量和密度
8． 掌握两条估算思路，做到思维有方向
（1）利用中心天体的半径和表面的重力加速度g ：由G Mm R 2＝mg 求出M ，进而求得ρ＝M V ＝M 43
πR 3＝3g
4πGR
。 （2）利用环绕天体的轨道半径r 、周期T ：由G Mm r 2＝m 4π2T 2r 可得出M ＝4π2r 3
GT 2，若环绕天体绕中心天体
表面做匀速圆周运动时，轨道半径r ＝R ，则ρ＝M 43
πR 3＝3π
GT 2。
9． 卫星的各物理量随轨道半径变化的规律
GMm
r 2
＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫
ma → a ＝GM r 2→ a ∝1r
2
m v 2
r → v ＝ GM r → v ∝
1
r mω2
r → ω＝ GM r 3
→ ω∝
1r
3
m 4π2T 2
r → T ＝ 4π2r 3
GM
→ T ∝r 3
越高越慢→结合黄金代换
2
GM g R
=
→
()()()2
3
3
2222
2gR h R T h R gR h R gR v h R gR a n +=+=
+=
+=
π
ω
10．环绕天体（卫星）运动参量的六点说明
①四个参量都是r 的函数，与环绕天体质量m 无关。r 一定，四个参量大小不变。
②“三度”（线速度v 、角速度ω、加速度a ）随着r 的增加而减小，只有T 随着r 的增加而增加。即越高越慢。 ③上述公式适合环绕天体围绕中心天体做匀速圆周运动的情形。开普勒行星运动三定律适用于椭圆运动。 ④如果不是围绕同一个中心天体的环绕天体，因M 不同，所以四个参量还与M 有关。 ⑤万有引力和动能、势能还与环绕天体的质量m 有关。
⑥同一中心天体M 、同质量的环绕天体m ，越高动能越小，势能越大，机械能越大。 11．卫星共线、行星冲日问题
（1）从相距最近到再次最近
内侧的天体转过的角度比外侧的多2π，即θ1- θ2=2π 1t - ω2t =2π
πt /T 1-2π t /T 2 =2π
/T 1- t/T 2 =1(转
得快的比慢的多转1圈)
1
22
1-T T T T t =
（2）从相距最近到首次最远
内侧的天体转过的角度比外侧的多π，即θ1- θ2=π 1t - ω2t =π
πt /T 1-2π t /T 2 =π
/T 1- t/T 2 =1/2(转得
快的比慢的多转1/2圈)
）
-（2122
1T T T T t =
12．宇宙速度的理解与计算
（1）第一宇宙速度v 1＝7.9 km/s ；
（2）三层含义：①人造地球卫星的最小发射速度；②最大环绕速度；③近地卫星的环绕速度；
（3）第一宇宙速度的求法：①GMm R 2＝m v 21R ，所以v 1＝ GM R 。②mg ＝mv 2
1R ，所以v 1＝gR ；
（4）第二、第三宇宙速度也都是指发射速度。 13．同步卫星的五个“一定”及其计算
14．“同步卫星”、“赤道上的物体”和“近地卫星”的比较问题
（1）“同步卫星”与“赤道上的物体”的比较
①角速度ω相等——ωA :ωC =1:1 ②周期T 相等——T A :T C =1:1
③向心加速度比较时，运用公式a ＝ω2r ，而不能运用公式a ＝GM
r 2。——a A :a C =(R+h ):R
④线速度比例关系时，运用公式v ＝ωr ，而不能运用公式v ＝GM /r 。——v A :v C =(R+h ):R （2）“同步卫星”与“近地卫星”的比较
因都是由万有引力提供的向心力，故要运用公式①a ＝G M
r 2，②v ＝
GM
r ，③ω＝ GM
r 3
，④T ＝ 4π2r 3
GM
，而不能运用公式a ＝ω2r ，v ＝ωr 或v ＝gr 。
15．卫星的能量
①圆轨道上卫星的动能:由G Mm r 2＝m v
2
r
，得
r GMm
E K 2=
——r 越大，动能越小
②卫星的引力势能: r GMm E P -
=(取无穷远处为零势能)；——r 越大，引力势能越大
③圆轨道上卫星的机械能：
r GMm
E E E P K 2-
=+= 16．卫星变轨问题 （1）渐变
①变轨原因——卫星受大气微弱阻力
卫星在高空运动中通常不计微小的空气阻力而在圆周轨道圆周运动，万有引力刚好
等于需要的向心力mv 2/r 。 若考虑到微弱空气阻力影响，则在同一圆周轨道上运动的卫星速度减小而使需要的万有引力mv 2/r 小于此时的万有引力，不能保持圆周运动的条件，卫星从大圆周轨道渐变为小圆轨道。卫星的运动轨道实际上是半径逐渐微弱减小的螺旋线。
②不同轨道上的加速度、速度比较
速度变小是变轨的原因，但变轨的结果反而是导致速度变大。因为万有引力做正功大于微小空气阻力所做的负功而使其有动能变大，即速度变大。即“坏心反而办了好事”。 ③变轨前后机械能比较
卫星从高轨逐渐变小的过程中，空气阻力做负功，使机械能变小。动能变大，势能变小。 （2）突变
①变轨原因——卫星瞬间加、减速
卫星在圆周轨道正常圆周运动，万有引力刚好等于需要的向心力mv 2/r 。 若在此
时卫星上的发动机突然加速一下下，需要的万有引力mv 2/r 大于此时的万有引力，不能保持圆周运动的条件，卫星从圆周轨道1运动变为椭圆轨道2运动，且椭圆与圆外切于加速点P ，如右图所示。
若卫星在1轨道上P 点突然减速，则其轨道将变为与圆周轨道内切的椭圆轨道。 ②变轨前后瞬间速度比较
从轨道1瞬间加速离心变到轨道2，所以有v p1 ④变轨前后机械能比较 比较卫星不论是在1轨道还是在2轨道运动，在运动中只受万有引力作用，其在两个轨道上的机械能都各自守恒。不同轨道机械能一般不相等，2轨道机械能大于1轨道机械能。以P 点为例，卫星在两轨道上与地球间的距离相同，万有引力势能相同，但v p2>v p1，2轨道上的动能大于1轨道上的动能，即2轨道机械能大于1轨道机械能。 【点拨】在同一轨道上卫星机械能守恒；同质量卫星在不同轨道机械能不相等，大轨道机械能大。 17．卫星变轨问题“四个”物理量的规律分析 ①速度：如图所示，设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v 1、v 3，在轨道Ⅱ上过A 点和B 点时速率分别为v A 、v B .在A 点加速，则v A >v 1，在B 点加速，则v 3>v B ，又因v 1>v 3，故有v A >v 1>v 3>v B . ②加速度：因为在A 点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A 点，卫星的加速度都相同，同理，经过B 点加速度也相同． ③周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T 1、T 2、T 3，轨道半径分别为r 1、r 2(半长轴)、r 3，由开 普勒第三定律r 3 T 2＝k 可知T 1 (2)特点： ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即Gm 1m 2L 2＝m 1ω 21r 1，Gm 1m 2L 2＝m 2ω 2 2 r 2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T 1＝T 2，ω1＝ω2 ③两颗星的半径与它们之间的距离关系为：r 1＋r 2＝L (3)两颗星到圆心的距离r 1、r 2与星体质量成反比，即m 1m 2＝r 2 r 1，与星体运动的线速度成反比． [思维深化] ①若在双星模型中，图8中L 、m 1、m 2、G 为已知量，双星运动的周期如何表示？ 答案 ②若双星运动的周期为T ，双星之间的距离为L ，G 已知，双星的总质量如何表示？ 答案 19．多星模型 (1)定义：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除星体外，各星体的角速度或周期相同． (2)三星模型： ①三颗星位于同一直线上，两颗环绕星围绕星在同一半径为R 的圆形轨道上运行(如图9甲所示)． ②三颗质量均为m 的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示)． (3)四星模型： ①其中一种是四颗质量相等的恒星位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆形轨道做匀速圆周运动(如图丙所示)． ②另一种是三颗恒星始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中点O ，外围三颗星绕O 做匀速圆周运动(如图丁所示)． 二、经典习题 20．(2013·江苏高考)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知( ) A ．太阳位于木星运行轨道的中心 B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D ．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 21．(2015·全国大联考二)已知一质量为m 的物体静止在北极与赤道对地面的压力差为ΔF N ，假设地球是质量分布均匀的球体，半径为R .则地球的自转周期为( ) A ．T ＝2π mR ΔF N B ．T ＝2π ΔF N mR C ．T ＝2π m ΔF N R D ．T ＝2π R m ΔF N 22．（2017海南物理）已知地球质量为月球质量的81倍，地球半径约为月球半径的4倍。若在月球和地球表面同样高度处，以相同的初速度水平抛出物体，抛出点与落地点间的水平距离分别为s 月和s 地，则s 月:s 地约为（ ） A ．9:4 B ．6:1 C ．3:2 D ．1:1 23．（2015秋•龙岩校级月考）宇航员在月球表面完成下面实验：在一固定的竖直光滑圆弧轨道内部的最低点，静止一质量为m 的小球（可视为质点），如图所示，当给小球水平初速度v 0时，刚好能使小球在竖直平面内做完整的圆周运动．已知圆弧轨道半径为r ，月球的半径为R ，万有引力常量为G ．若在月球表面上发射一颗环月卫星，所需最小发射速度为（ ） A.5Rr 5r v B.Rr 5r v 2 C.Rr 5r v 0 D.5Rr 5r v 2 24．（2010北京卷）一物体静置在平均密度为ρ的球形天体表面的赤道上。已知万有引力常量Ｇ，若由于天体自转使物体对天体表面压力恰好为零，则天体自转周期为（ ） Ａ．124()3G πρ Ｂ．123()4G πρ Ｃ．12()G πρ Ｄ．1 2 3()G π ρ 25．[2017·北京卷] 利用引力常量G 和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是（ ） A ．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转) B ．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期 C ．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离 D ．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离 26．（2010安徽）为了对火星及其周围的空间环境进行探测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星探测器“萤火一号”。假设探测器在离火星表面高度分别为h 1和h 2的圆轨道上运动时，周期分别为T 1和T 2。火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，万有引力常量为G 。仅利用以上数据，可以计算出（ ） A ．火星的密度和火星表面的重力加速度 B ．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力 C ．火星的半径和“萤火一号”的质量 D ．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力 27．（2015•南充模拟）从长期来看，火星是一个可供人类移居的星球．假设有一天宇航员乘宇宙飞船登陆了火星，在火星上做自由落体实验，得到物体自由下落h 所用的时间为t ，设火星半径为R ，据上述信息推断，火星的质量为（ ） A ．22 2Gt hR B ．2 2Gt hR C ．222Gt hR D ．222hR Gt 28．（高考题）两颗人造卫星A 、B 绕地球作圆周运动，周期之比为T A :T B =1:8，则轨道半径之比和运动速率之比分别为( ) A ．R A :R B =4:1，v A : v B =1:2 B ．R A :R B =4:1，v A : v B =2:1 C ．R A :R B =1:4，v A : v B =1:2 D ．R A :R B =1:4，v A : v B =2:1 29．如图所示，有三颗绕地球作匀速圆周运动的人造卫星a 、b 、c ，它们的轨道半径之间的关系是r a =r b 30．（2016徐汇区二模）两颗互不影响的行星 P 1 、 P 2，各有一颗卫星S 1、S 2 绕其做匀速圆周运动。将每 颗卫星到行星中心距离r 改变后，卫星做匀速圆周运动的加速度 a 也随之改变， a 与 1 r 2 关系如图所示，图 线1、2分别表示S 1绕P 1运动、S 2绕P 2运动的情况，则（ ） （A ）S 1的质量比 S 2的大 （B ）S 1的质量比 S 2的小 （C ）P 1的质量比 P 2的大 32．（多选）(2016·江苏南通如东一检)某行星和地球绕太阳公转的轨道均可视为圆。每过N 年，行星会运行到日地连线的延长线上(相距最近)，如图所示。设该行星与地球的公转周期之比为k 1，公转半径之比为k 2，则( ) A ．k 1＝N ＋1N B ．k 1＝N N －1 C ．k 2＝ 32 ）1（N N + D ．k 2＝ 32 ）1 -（N N 33．（多选）如图所示是牛顿研究抛体运动时绘制的一幅草图，以不同速度抛出的物体分别沿a 、b 、c 、d 轨迹运动，其中a 是一段曲线，b 是贴近地球表面的圆，c 是椭圆，d 是双曲线的一部分．已知引力常量为G 、地球质量为M 、半径为R 、地球附近的重力加速度为g .以下说法中正确的是( ) A ．沿a 运动的物体初速度一定小于gR B ．沿b 运动的物体速度等于 GM R C ．沿c 运动的物体初速度一定大于第二宇宙速度 D ．沿d 运动的物体初速度一定大于第三宇宙速度 34．（多选）(2016·山东菏泽高三月考)火星探测已成为世界各国航天领域的研究热点。现有人想设计发射一颗火星的同步卫星。若已知火星的质量M ，半径R 0，火星表面的重力加速度g 0，自转的角速度ω0，引力常量G ，则同步卫星离火星表面的高度为( ) A.3g 0R 20ω20－R 0 B.3g 0R 20ω20 C.3GM ω2 0－R 0 D. 3 GM ω20 35．(2016·河北石家庄二中一模)有a 、b 、c 、d 四颗地球卫星，a 还未发射，在赤道表面上随地球一起转动，b 是近地轨道卫星，c 是地球同步卫星，d 是高空探测卫星，它们均做匀速圆周运动，各卫星排列位置如图所示，则( ) A ．a 的向心加速度等于重力加速度g B ．在相同时间内b 转过的弧长最长 2 a C ．c 在4小时内转过的圆心角是π 6 D ．d 的运动周期有可能是20小时 36．如图4－4－2所示，同步卫星与地心的距离为r ，运行速率为v 1，向心加速度 为a 1；地球赤道上的物体随地球自转的向心加速度为a 2，第一宇宙速度为v 2，地球半径为R ，则下列比值正确的是( ) A.a 1a 2＝ r R B.a 1a 2＝⎝⎛⎭⎫R r 2 C.v 1v 2＝r R D.v 1 v 2 ＝ R r 37．（2016·全国卷Ⅰ） 利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯，目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍．假设地球的自转周期变小，若仍仅用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为( ) A ．1 h B ．4 h C ．8 h D ．16 h 38．如图A 、B 为地球赤道圆上的一条直径的两端，利用同步卫星将一电磁波信号由A 点传到B 点，至少需要用2颗同步卫星，已知地球半径为R ，地球表面处的重力加速度为g ，地球自转的周期为T ，不考虑大气对电磁波的折射，设电磁波在空气中的传播速度为c ．则下列说法中正确的是（ ） A.同步卫星到地的高度是 B.这2颗卫星在同步轨道上距离最近是2R C.这2颗同步卫星的周期一定相同，质量一定相等 D.把电磁波信号由A 点传到B 点需要经历时间是 39．(2017·山西四校二联)(多选)如图为嫦娥三号登月轨迹示意图．图中M 点为环地球运行的近地点，N 点为环月球运行的近月点．a 为环月球运行的圆轨道，b 为环月球运行的椭圆轨道，下列说法中正确的是（ ） A ．嫦娥三号在环地球轨道上的运行速度大于11.2 km/s B ．嫦娥三号在M 点进入地月转移轨道时应点火加速 C ．设嫦娥三号在圆轨道a 上经过N 点时的加速度为a 1，在椭圆轨道b 上经过N 点时的加速度为a 2，则a 1>a 2 D ．嫦娥三号在圆轨道a 上的机械能小于在椭圆轨道b 上的机械能 40．(2014·宁德质检)2013年2月15日中午12时30分左右，俄罗斯车里雅宾斯克州发生天体坠落事件。一块陨石从外太空飞向地球，到A 点刚好进入大气层，由于受地球引力和大气层空气阻力的作用，轨道半径渐渐变小，则下列说法中正确的是( ) A ．陨石正减速飞向A 处 B ．陨石绕地球运转时角速度渐渐变小 C ．陨石绕地球运转时速度渐渐变大 D ．进入大气层陨石的机械能渐渐变大 41．美国宇航局利用开普勒太空望远镜发现了一个新的双星系统，命名为“开普勒－47”，该系统位于天鹅座内，距离地球大约5 000光年。这一新的系统有一对互相围绕运行的恒星，运行周期为T ，其中一颗大恒星 A.两颗恒星的转动半径之比为1∶1 B.两颗恒星的转动半径之比为1∶2 C.两颗恒星相距3GMT2 3π2 43．如图13所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P点沿水平方向以初速度v0抛出一个小球，测得小球经时间t落到斜坡上另一点Q，斜面的倾角为α，已知该星球半径为R，万有引力常量为G，求： 图13 (1)该星球表面的重力加速度g； (2)该星球的密度ρ； (3)该星球的第一宇宙速度v； (4)人造卫星绕该星球做匀速圆周运动的最小周期T. 44．在“勇气号”火星探测器着陆的最后阶段，着陆器降落到火星表面上，再经过多次弹跳才停下来．假设着陆器第一次落到火星表面弹起后，到达最高点时高度为h，速度方向是水平的，速度大小为v0，求它第二次落到火星表面时速度的大小，计算时不计火星大气阻力．已知火星的一个卫星的圆轨道的半径为r，周期为T，火星可视为半径为r0的均匀球体．下载本文
