阳光老师：祝你学业有成

一、选择题（本大题共20小题，共100.0分）

1.设函数若关于x的方程恰好有六个不同的实数解，则实数a的取值范围为     

A.  B. 

C.  D. 

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查根的存在性与根的个数判断，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，属于较难题．

作出函数的图象，令，结合图象可得，要使关于x的方程恰好有六个不同的实数解，则方程在内有两不同实数根，再由一元二次方程根的分布列不等式组求解．

【解答】

解：作出函数的图象如图，

令，则方程，

化为，

要使关于x的方程恰好有六个不同的实数解，

则方程在内有两不同实数根，

所以

解得，

所以实数a的取值范围为．

故选A．

2.设方程，的根分别为，，则

A.  B.  C.  D. 

【答案】A

【解析】

【分析】

本题主查对数函数、指数函数的图和性，体现了数形结合和转化的数思想，画出图象即可判断出结果，属于中等题．

【解答】

解：题意得是函数的图象和图象的交点的横坐标， 

是的图象和函数图象的交点的横坐标，

且，正实数，如图所示：

故有，故，

，即 ，

所以．

故选A．

3.已知函数则函数的零点个数是

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

【答案】C

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，零点个数的求法，属于基础题．

由二次函数和对数函数，分段求出函数的零点即可．

【解答】

解：函数的零点即方程的根，

由，得或

解得或．

故函数的零点个数是2．

故选C．

4.已知函数的零点为a，函数的零点为b，则下列不等式中成立的是

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查函数与方程的应用，根据函数与方程之间的关系转化为函数与，与交点的横坐标的大小问题，利用数形结合进行比较即可．

【解答】

解：由得，

由得，

作出，，的图象如图：

函数的零点为a，

函数的零点为b，

与的交点的横坐标为a，

与交点的横坐标为b，

由图象知，

又因为，

故可得，，，

故选C．

5.方程的根所在区间为  

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查函数零点存在性定理，函数的零点与方程根的关系，属于基础题．

构造函数，可知函数在上为单调递增函数，计算可得，，即可求得结果．

【解答】

解：构造函数，易知函数在上为单调递增函数，

因为，，

所以函数在上有一个零点，

即方程的根所在的区间为，

故选B．

6.方程的根所在的区间为    

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查函数零点存在性定理的运用，函数的零点与方程根的关系，属于基础题．

根据函数零点存在性定理，求解即可．

【解答】

解：构造函数，可得函数在R上单调递增，

因为，，，

所以函数在区间有零点，

所以方程的根所在的区间为．

故选C．

7.已知，若函数有三个零点，则实数a的取值范围是     

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】

【分析】

本题考查函数零点问题，属于一般题首先画出函数的图像，对十字相乘法因式分解，可得等价于或，再结合图像可求出答案．

【解答】

解：由

，

得或，

画出的图像：

由图象知，方程有一个实根，

所以方程有两个不等实根，

则，所以．

故选A．

8.若方程的实根在区间上，则k等于

A.     B. 1    C. 或1    D. 0

【答案】C

【解析】

【试题解析】

【分析】

本题考查函数的零点与方程根的关系，以及对数和反比例函数的图像，难度一般．

依据方程的根与零点的对应关系转化为函数的交点，原方程等价于，转化为函数与交点，结合图象求解，由零点的存在性定理验证．

【解答】由题意知，，则原方程等价于，

在同一平面直角坐标系中作出函数与的图象，如图所示，

由图象可知，原方程有两个根，一个在区间上，一个在区间上，所以或．

故选C．

9.设函数若，则   

A. 1    B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点函数值的求法，考查分段函数的应用．

直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．

【解答】

解：当，即时，，

解，得；

当，即时，，

解得，舍去，

故．

10.方程的解是，若，则     

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点与方程的根的关系，零点的存在性定理，考查推理能力和计算能力，属于中档题．

将问题转化为函数的零点问题即可．

【解答】

 解：因为方程的解，就是函数的零点，

显然单调递增．

由，

由零点的存在性定理，得在内有零点，

故方程在内有实数根，

故，

故选C．

11.若函数有唯一零点，则    

A.     B. 2或    C.     D. 2

【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查了函数的奇偶性，函数零点存在性定理，函数的零点与方程根的关系，数形结合思想，分类讨论思想，二次函数和正弦、余弦函数的图象与性质，属于中档题．

利用偶函数图象的性质，结合零点定义得函数唯一的零点为0，从而得或2，再结合对a的讨论，利用函数的零点与方程根的关系，把函数的零点数转化为函数的图象与函数图象的交点数和函数的图象与函数图象的交点数，再利用二次函数和余弦函数的图象作出这两组函数的图象，再利用数形结合得结论．

【解答】

解：因为函数为偶函数，且在处有定义，

所以要函数有唯一零点，则唯一的零点为0，

因此，即，

解得或2．

当时，函数，

因此函数的零点数就是函数的图象与函数图象的交点数，

作函数与函数的图象如下：

此时函数与函数的图象有三个交点，

即函数有三个零点，所以不为所求．

当时，函数，

因此函数的零点数就是函数的图象与函数图象的交点数，

作函数与函数的图象如下：

此时函数与函数的图象只有一个交点，

即函数有一个零点，所以为所求．

故选D．

12.若方程在内恰有一解，则a的取值范围是    

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查了函数零点存在定理的应用，属于中档题．

构造函数，满足即可．

【解答】

解：令，若方程在内恰有一解，

则满足，即，解得．

故选B．

13.若方程的一个根在内，另一个根在内，则实数a的取值范围是

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

【分析】

本题主要考查方程根的问题，属于中档题．

先令方程为，根据一元二次方程根的分布，建立不等式关系求解，

【解答】

解：设方程，

方程的一个根在区间内，另一个根在区间，

所以，则

解得，

故选D．

14.方程的解所在的区间为   

A.     B.     C.     D. 

【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查方程根的范围的判断，属中档题方程的根即函数的零点，函数的零点是函数图像与x轴交点的横坐标，若函数在区间连续且满足，则函数至少存在一个零点．

【解答】

解：方程可整理为：，

则设函数 x x，函数的零点即为方程的解，

函数的定义域为，且在其定义域上为增函数， 

又，，

方程的解所在的区间为．

故选C．

15.若函数恰有一个零点，则实数a的值为      

A.     B. 2    C.     D. e

【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查函数与方程的应用，利用数形结合以及导数的几何意义求出切线方程是解决本题的关键，综合性较强，难度较大．

根据函数恰有一个零点，转化为方程恰有一个根，转化为两个函数只有一个交点，利用数形结合以及切线的性质进行求解即可．

【解答】

解：函数的定义域为，

若函数恰有一个零点，

等价为恰有一个根，

即只有一个根，

即函数和的图象只有一个交点，

，是函数的切线，

设，切点为，

则，

函数的导数，即切线斜率，

则切线方程为，

即

，

切线过原点，

，

即 

，

设函数，

则，

在上单调递增，

又，要使得，

即，此时，

故选A．

16.设函数，，其中，若存在唯一的整数使得，则a的取值范围是

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点问题，解决这类问题的关键在于画出函数的图象，找出一些关键点进行分析，考查计算能力与分析能力，属于难题．

将不等式变形得，根据题意得知，函数在直线下方图象中有且只有一个横坐标为整数的点，可知符合条件的只有横坐标为0的点可以，然后利用图象得出函数与函数在和处函数值的大小关系得到a的不等式组，解出即可．

【解答】

解：由题意可知，存在唯一的整数x，使得，

构造函数，则．

当时，；当时，．

所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．

函数在处取得极小值，

如下图所示，

由于，，所以，，

结合图象可知，，解得．

故选：B．

17.已知函数，曲线上存在两个不同点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，则实数a的取值范围是

A.     B.     C.     D. 

【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程及函数零点，由曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，故有两个不同的解，即得有两个不同的解，即可解出a的取值范围．

【解答】

解：曲线上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线都与y轴垂直，

有两个不同的解，即得有两个不同的解，

设，则，

，，，，

时，函数取得极小值，

当时，，当时，，

．

故选D．

18.直线与函数的图象有三个相异的交点，则实数a的取值范围为

A.     B.     C.     D. 

【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，利用导数研究函数的单调性和极值，以及数形结合的思想，属于基础题．

先求出函数的导数，然后利用导数求出函数的极值，结合函数的图象与的图象，观察即可求出满足条件的a．

【解答】

解：的导数，

令可解得或，

故在，上单调递增，在上单调递减，

函数的极大值为f ，极小值为f ，

大致图象如图所示，而为一条水平直线，

通过图象可得，介于极大值与极小值之间，则有三个相异交点，可得．

故选：A．

19.函数的零点所在的区间为     

A.     B.     C.     D. 

【答案】B

【解析】

【分析】

本题主要考查函数零点存在性定理，是基础题．

函数在单调递增，由零点存在性定理求解即可．

【解答】

解： 函数在单调递增，

又，，

函数的零点所在的区间为．

故选B．

20.设函数是定义在R上的偶函数，且，当时，，则在区间内关于x的方程解的个数为

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

【答案】C

【解析】

【分析】

本题综合考查了函数的奇偶性、周期性、函数图象的交点与方程的根的关系，考查数形结合思想，属于较难题．

由题意求得函数的周期，根据偶函数的性质及当时函数解析式，画出函数的图象，根据图象可得与在区间上有3个不同的交点．

【解答】

解：函数是定义在R上的偶函数，对于任意的，都有，

，

函数是一个周期函数，且．

又当时，，

且函数是定义在R上的偶函数，

则函数与的图象如下图所示：

根据图象可得与在区间上有3个不同的交点．

故选C．

二、不定项选择题（本大题共4小题，共16.0分）

21.已知定义在R上的函数的图象连续不断，若存在常数，使得对任意的实数x成立，则称是回旋函数给出下列四个命题中，正确的命题是    

A. 常值函数为回旋函数的充要条件是；

B. 若为回旋函数，则；

C. 函数不是回旋函数；

D. 若是的回旋函数，则在上至少有2015个零点．

【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查新定义的理解和运用，考查函数的周期、函数的零点，注意转化为函数的图象的交点个数，考查数形结合思想以及运算能力，属于中档题．

A利用回旋函数的定义即可，B若指数函数为回旋函数，根据定义求解，得矛盾结论，C利用回旋函数的定义，令，则必须有；令，则有，故可判断；D由定义得到，由零点存在定理得，在区间上必有一个零点令，2，，，，，即可得到．

【解答】

解：对于A，函数为回旋函数，则由，得，，故A正确；

对于B，若指数函为回旋函数，则，，，故B错误；

对于C，若对任意实数都成立，令，则必须有，令，则有，显然不是这个方程的解，故假设不成立，该函数不是回旋函数，故C正确；

对于D，若若是的回旋函数，则对任意的实数x都成立，即有，则与异号，由零点存在定理得，在区间上必有一个零点，可令，2，4，6，，，则函数在上至少存在2015个零点，故D正确．

故选ACD．

22.已知，若有唯一的零点，则m的值可能为    

A. 2    B. 3    C.     D. 

【答案】ACD

【解析】

【分析】

本题考查函数的导数的应用，函数的零点以及数形结合，构造法的应用，考查转化思想以及计算能力，是难题．

通过只有一个零点，化为只有一个实数根．

令，利用函数的导数，判断函数的单调性，结合函数的图象，通过当时，当时，当时，当时，验证函数的零点个数，推出结果即可．

【解答】

解：，．

只有一个零点，

只有一个实数根，

即只有一个实数根．

令，则，

函数在R上单调递减，且时，，

函数的大致图象如图所示，

所以只需关于t的方程有且只有一个正实根．

当时，方程为，解得，符合题意；

当时，方程为，解得或，不符合题意；

当时，方程为，得，只有，符合题意．

当时，方程为，得，只有，符合题意．

故选：ACD．

23.关于函数，下列选项正确的是   

A.  是偶函数    B.  在区间单调递增

C.  在有4个零点    D.  的最大值为2

【答案】AD

【解析】

【分析】

本题考查三角函数的性质，根据条件结合三角函数的图象和性质逐项判断即可，属于基础题利用奇偶性的定义即可判断A；时，，问题转化为正弦函数的性质；在当时，，利用零点定义借助奇偶性即可得到答案；利用最值定义即可判断．

【解答】

解：，

故是偶函数  ，A对；

时，，

故在区间单调递减，B错；

当时，，

令得到或，

又在是偶函数，

故在有3个零点，分别为 ，C错；

，故，

又，

故的最大值为2，D对．

故选AD．

24.对于定义域为D的函数，若存在区间，同时满足下列条件：在上是单调的；当定义域是时，的值域也是，则称为该函数的“和谐区间”下列函数存在“和谐区间”的是 

A.     B.     C.     D. 

【答案】ABD

【解析】

【分析】

本题以新定义问题为载体，考查了函数的单调性，定义域与值域，考查了判断函数零点个数的方法，一是可以直接求方程的实数根，即是函数的零点，二是转化成两个函数的交点，通过数形结合判断零点个数，或是根据零点个数判断参数的取值范围，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，属于较难题．

逐一分析选项，判断每个函数是否满足两个条件，依据方程实数根或是函数零点个数判断是否正确．

【解答】

解：A．是单调递增函数，

若存在区间， ，

使 ，解得，，

所以存在区间满足条件，所以A正确；

B.在和都是单调递增函数，

所以设或，

满足 ，解得 ，

所以存在区间满足条件，所以B正确；

C.是单调递增函数，若存在区间，，

使 ，即有两个不等实数根，

但与相切于点，没有两个不等实数根，所以C不正确；

D.是单调递增函数，定义域是 ，

若存在区间，，使 ，

即有两个不等实数根，

同一坐标系中画出与的图象，

即与有两个不同的交点，满足条件，所以D正确．

故选ABD．

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

25.设若函数在区间内有零点，则实数a的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】

本题考查了函数的零点与方程根的关系，属于基础题，难度一般．

根据题意可知最小值为，所以且或者且，即可求解．

【解答】

解：因为函数在区间内有零点，

又函数在区间内最小值为，

所以且，或者且，

代入得或

所以有．

故答案为．

26.函数的零点个数是________．

【答案】2

【解析】

【分析】

本题考查函数的零点与方程的关系及零点存在性定理，属于一般难度题．

【解答】

解：令，解得舍或；

令，即，

在的范围内两函数的图象有一个交点，即原方程有一个根．

综上函数共有两个零点．

故答案为2．

27.若函数的两个零点是2和3，则函数的零点是________．

【答案】和

【解析】

【分析】

本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，是基础题．

由题意得，，所以，从而有，所以其零点可求．

【解答】

解：由题意得，，

所以，

令，即，

解得或，

所以其零点为和．

故答案为和．

28.设函数若函数在区间内有零点，则实数a的取值范围为________．

【答案】

【解析】

【分析】本题考查函数的零点与方程根的关系，属于基础题．将函数有零点的问题转化为方程后，再分离出参数a，从而转化为求函数的值域来加以解决，这体现了函数与方程之间的相互转化关系的应用．

【解答】

 解：由得．

因为，所以，所以．

四、解答题（本大题共2小题，共24.0分）

29.已知函数．

若是定义在R上的偶函数，求实数a的值；

在的条件下，若，求函数的零点．

【答案】解：是定义在R上的偶函数．

，即，

故．

函数，

．

所以满足题意．

依题意，令，

则有，得，

令，则，

解得．

即．

函数有两个零点，分别为和．

【解析】【试题解析】

本题考查函数的零点的求法，函数的奇偶性的性质的应用，考查计算能力，属于中档题．

利用偶函数的定义，求解即可．

化简方程，利用二次方程转化求解即可．

30.已知函数满足：．

若，求x的值；

对于任意实数，，试比较与的大小；

若方程在区间上有解，求实数a的取值范围．

【答案】解：，可得，

方程，

当时，，

，

，，解得；

当时，，即，无解．

综上，；

，

时，；

函数，在R上单调递增，

方程在区间上有解，

在区间上有解，

即在有解，

由，

可得的值域为，

即有，

实数a的取值范围为．

【解析】本题考查了指数函数的性质，转化思想，考查分类讨论思想方法，以及参数分离，属于中档题．

求得的解析式，讨论，，去绝对值，解不等式即可得到所求解；

由作差法和配方法，结合指数的圆性质即可得到大小关系；

方程在区间上有解在区间上有解，由参数分离和配方法、结合二次函数的值域有解，可得实数a的取值范围．下载本文