第11章数的开方
§11.1平方根与立方根
一、平方根
1、平方根的定义：如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根。（也叫做二次方根）
即：若x2=a，则x叫做a的平方根。
2、平方根的性质：（1）一个正数有两个平方根。它们互为相反数；（2）零的平方根是零；（3）负数没有平方根。
二、算术平方根
1、算术平方根的定义：正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根。
2、算术平方根的性质：（1）一个正数的算术平方根只有一个且为正；（2）零的算术平方根是零；（3）负数没有算术平方根；（4）算术平方根的非负性：a ≥0。
三、平方根和算术平方根是记号：平方根±a（读作：正负根号a）；算术平方根a（读作根号a）
即：“±a”表示a的平方根，或者表示求a的平方根；“a”表示a的算术平方根，或者表示求a的算术平方根。
其中a叫做被开方数。∵负数没有平方根，∴被开方数a必须为非负数，即：a≥0。
四、开平方：求一个非负数的平方根的运算，叫做开平方。其实质就是：已知指数和二次幂求底数的运算。
五、立方根
1、立方根的定义：如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根。（也叫做三次方根）
即：若x3=a，则x叫做a的立方根。
2、立方根的性质：（1）一个正数的立方根为正；（2）一个负数的立方根为负；（3）零的立方根是零。
3、立方根的记号：3a（读作：三次根号a），a称为被开方数，“3”称为根指数。
3a中的被开方数a的取值范围是：a为全体实数。
六、开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方。其实质就是：已知指数和三次幂求底数的运算。
七、注意事项：
1、“±a”、“a”、“3a”的实质意义：“±a”→问：哪个数的平方是a；“a”→问：哪个非负数的平方是a；“3a”→问：哪个数的立方是a。
2、注意a和3a中的a的取值范围的应用。
如：若3
x有意义，则x取值范围是。（∵x-3≥0，∴x≥3）
（填：x ≥3）
若32009x -有意义，则x 取值范围是 。（填：全体实数） 3、33a a -=-。如：∵3273-=-，3273-=-，∴332727-=-
4、对于几个算数平方根比较大小，被开方数越大，其算数平方根的值也越大。 如：256710>>>>等。23和32怎么比较大小？（你知道吗？不知道就问！！！！！！！）
5、算数平方根取值范围的确定方法：关键：找邻近的“完全平方数的算数平方根”作参照。 如：确定7的取值范围。∵4＜7＜9，∴2＜7＜3。
6、几个常见的算数平方根的值：414.12≈，732.13≈，236.25≈，449.26≈，6.27≈。
八、补充的二次根式的部分内容
1、二次根式的定义：形如a （a ≥0）的式子，叫做二次根式。
2、二次根式的性质：(1)b a ab ∙=（a ≥0，b ≥0）；(2) b a b a =（a ≥0，b ＞0）； (3) a a =2)(（a ≥0）； (4) ||2a a =
3、二次根式的乘除法：（1）乘法：ab b a =∙（a ≥0，b ≥0）；（2）除法：
b
a b a
=（a ≥0，b ＞0）
§11.2实数与数轴
一、无理数
1、无理数定义：无限不循环小数叫做无理数。
2、常见的无理数：
（1）开方开不尽的数。如：256710，，，2532617102-++-，，等。
（2）“π”类的数。如：π，π-，3π，π
1，π2等。
（3）无限不循环小数。如：2.1010010001……，-0.234242242224……，等
二、实数
1、实数定义：有理数与无理数统称为实数。
2、与实数有关的概念：
（1）相反数：实数a 的相反数为-a 。若实数a 、b 互为相反数，则a+b =0。
（2）倒 数：非零实数a 的倒数为a 1
（a ≠0）。若实数a 、b 互为倒数，则ab =1。
（3）绝对值：实数a 的绝对值为：⎪⎩
⎪⎨⎧<-=>=)0()0(0)0(||a a a a a a
4、实数的分类：
（1）按照正负性分为：正实数、零、负实数三类。
（2）按照定义分为：
5、几个“非负数”：（1）a2≥0；（2）|a|≥0；（3）a≥0。
6、实数与数轴上的点是一一对应关系。
第12章整式的乘除
§12.1幂的运算
一、同底数幂的乘法
1、法则：a m·a n·a p·……=a m+n+p+……（m、n、p……均为正整数）
文字：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
2、注意事项：
（1）a可以是实数，也可以是代数式等。
如：π2·π3·π4=π2+3+4=π9；(-2)2·(-2)3=(-2)2+3=(-2)5=-25；
(2)3·(2)4=(2)3+4=(2)7；(a+b)3·(a+b)4·(a+b)= (a+b)3+4+1=(a+b)8
（2）一定要“同底数幂”“相乘”时，才能把指数相加。
（3）如果是二次根式或者整式作为底数时，要添加括号。
二、幂的乘方
1、法则：(a m)n=a mn（m、n均为正整数）。推广：｛[(a m)n]p｝s=a mn p s
文字：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
2、注意事项：
（1）a可以是实数，也可以是代数式等。
如：(π2)3=π2×3=π6；[(2)3]4=(2)3×4=(2)12；[(a-b)2]4= (a-b)2×4=(a-b)8 （2）运用时注意符号的变化。
（3）注意该法则的逆应用，即：a mn= (a m)n，如：a15= (a3)5= (a5)3
三、积的乘方
1、法则：(ab)n=a n b n（n为正整数）。推广：(acde)n=a n c n d n e n
文字：积的乘方等于把积的每一个因式都分别乘方，再把所得的幂相乘。
2、注意事项：
（1）a、b可以是实数，也可以是代数式等。
如：(2π)3=22π2=4π2；(2×3)2=(2)2×(3)2=2×3=6；
(-2abc)3=(-2)3a3b3c3=-8a3b3c3；[(a+b)(a-b)]2=(a+b)2(a-b)2
（2）运用时注意符号的变化。
（3）注意该法则的逆应用，即：a n b n =(ab)n；如：23×33= (2×3)3=63，
(x+y)2(x-y)2=[(x+y)(x-y)]2
四、同底数幂的除法
1、法则：a m÷a n=a m-n（m、n均为正整数，m＞n，a≠0）
文字：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
2、注意事项：
（1）a 可以是实数，也可以是代数式等。
如：π4÷π3=π4-3=π；(-2)5÷(-2)3=(-2)5-3=(-2)2=4； (2)6÷(2)4=(2)6-4=(2)2=2；(a+b )16÷(a+b )14= (a+b )16-14=(a+b )2=a 2+2ab +b 2
（2）注意a ≠0这个条件。
（3）注意该法则的逆应用，即：a m-n = a m ÷a n ；如：a x-y = a x ÷a y ，(x +y )2a-3=(x +y )2a ÷(x +y )3
§12.2 整式的乘法
一、单项式与单项式相乘
法则：单项式与单项式相乘，只要将它们的系数与系数相乘，相同字母的幂相乘，多余的字母照搬到最后结果中。
如：(-5a 2b 2)·(-4 b 2c )·(-23ab )=[(-5)×(-4)×(-2
3)]·(a 2·a )·(b 2·b 2)·c =-30a 3b 4c
二、单项式与多项式相乘
法则：（乘法分配律）只要将单项式分别去乘以多项式的每一项，再将所得的积相加。
如：22(3)(21)x x x --+-=(-3x 2)·(-x 2)+(-3x 2)·2 x 一(-3x 2)·1=432363x x x -+
三、多项式与多项式相乘
法则：（1）将一个多项式中的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再将所得的积相加。
如：(m+n )(a +b )= ma+mb+na +nb
(2)把其中一个多项式看成一个整体（单项式），去乘以另一个多项式的
每一项，再按照单项式与多项式相乘的法则继续相乘，最后将所得的积相加。
如：(m+n )(a +b )= (m+ n )a+( m +n )b = ma+ na+mb +nb
§12.3 乘法公式
一、两数和乘以这两数的差
1、公式：(a+b )(a-b )=a 2-b 2；名称：平方差公式。
2、注意事项：（1）a 、b 可以是实数，也可以是代数式等。
如：(10+9)(10-9)=102-92=100-81=19；(2xy+a )(2xy-a )=(2xy )2-a 2=4 x 2y 2-a 2； (a+b+π)( a+b -π)=(2xy )2-a 2=4 x 2y 2-a 2；
（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。
（3）注意公式的来源还是“多项式×多项式”。
二、完全平方公式
1、公式：(a ±b )2=a 2±2a b+b 2；名称：完全平方公式。
2、注意事项：（1）a 、b 可以是实数，也可以是代数式等。
( a+b -π)2=( a+b)2-2( a+b)π+π2= a2+2a b+b2-2πa-πb +π2；
（2）注意公式运用时的对位“套用”；
（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。
3、补充公式：(a+ b+ c)2=a2+c2+b2+2a b+2bc+2ca
特别提醒：利用乘法公式进行整式的运算时注意“思维顺序”是：“一看二套三计算”。
§12.4 整式的除法
一、单项式除以单项式
法则：单项式相除，只要将它们的系数与系数相除，相同字母的幂相除，只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。
如：-21a2b3c÷3ab=(-21÷3)·a2-1·b3-1·c =-7ab2c
（2x2y）3·（-7xy2）÷14x4y3=8x6y3·（-7xy2）÷14x4y3=[8×（-7）]·x6+1y3+2÷14x4y3 =（-56÷14）·x7-4·y5-3=-4x3y2
5（2a+b）4÷（2a+b）2=（5÷1）（2a+b）4-2=5（2a+bz2=5（4a2+4ab+b2）=20a2+20ab+5b2
二、多项式除以单项式
法则：（乘法分配律）只要将多项式的每一项分别去除以单项式，再将所得的商相加。
如：(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)=21x4y3÷(-7x2y)-35x3y2÷(-7x2y)+ 7x2y2÷(-7x2y)=-3x2y2+5xy-y
[4y(2x-y)-2x(2x-y)]÷(2x-y)= 4y(2x-y)÷(2x-y)-2x(2x-y)]÷
(2x-y)=4y-2x
◇整式的运算顺序：先乘方（开方），再乘除，最后加减，括号优先。
§12.5 因式分解
一、因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做因式分解。（分解因式）
因式分解与整式乘法互为逆运算
二、提取公因式法：把一个多项式的公因式提取出来，使多项式化为两个因式的积，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
△公因式定义：多项式中每一项都含有的相同的因式称为公因式。
△具体步骤：（1）“看”。观察各项是否有公因式；（2）“隔”。把每项的公因式“隔离”出来；（3）“提”。按照乘法分配律的逆运用把公因式提出来，使多项式化为两个因式的积。
△(a-b) 2n=(b-a) 2n(n为正整数)；(a-b) 2n+1=-(b-a) 2n+1(n为正整数)；
如：8a2b-4ab+2a=2a·4ab-2a·2b+2a·1=2a(4ab-2b+1)；-5 a2+25 a=-5
a ·a+5a ·5=-5 a (a+5)
(注意：凡给出的多项式的“首项为负”时，要连同“-”号与公因式一并提出来。)
三、公式法：利用乘法公式进行因式分解的方法，叫做公式法。
1、平方差公式： a 2-b 2=(a+b )(a-b )；名称：平方差公式。
△注意事项：（1）a 、b 可以是实数，也可以是代数式等。
如：102-92 =(10+9)(10-9)=19×1=19；4 x 2y 2-a 2=(2xy )2-a 2=(2xy+a )(2xy-a )； ()()n n n n n n n 8)1212)(1212(121222=+-+-++=--+
（2）注意公式中的第一项、第二项各自相同，中间是“异号”的情况，才能用平方差公式。
（3）注意公式的结构好形式，运用时一定要判断准确。
2、完全平方公式：(a ±b )2=a 2±2a b+b 2；名称：完全平方公式。
△注意事项：（1）a 、b 可以是实数，也可以是代数式等。
如：m 2n 2-2mna+ a 2=(mn )2-2mn ·a+ a 2=(mn-a )2；x 2+4xy+y 2=x 2+2·x ·2y+(2y )2=( x+2 y )2
（2）注意公式运用时的对位“套用”；
（3）注意公式中“中间的乘积项的符号”。
四、补充分解法：
1、公式：x 2+(a+b )x+ab =(x+a )( x+b )。
如：x 2+5x+6= x 2+(2+3)x+2×3=(x+2)( x+3)；x 2+5x-6=x 2+[6+(-1))]x+6×
(-1)=(x+6)( x -1)
2、“十字相乘法”
如：2914x x ++=(x+2)( x+7) 228x x --=(x+2)( x -4) 1 2 1 2 1 7 1 -4
2 + 7=9 2 + (-4)=-2
五、综合
1、注意利用乘法公式进行因式分解时注意“思维顺序”是：“一看二套三分解”。
2、遇到因式分解的题目时，其整体的思维顺序是：（1）看首项是否为“一”，若为“一”，就要注意提负号；（2）看各项是否有公因式，若有公因式，应该首先把公因式提取出来再说；（3）没有公因式时，就要考虑用乘法公式进行因式分解或者“十字相乘法”。
3、注意事项：（1）注意（a-b ）与（b-a ）的关系是互为相反数；（2）因式分解要彻底，不要只提出公因式就完，还要看剩下的因式是否可以继续分解；（3）现阶段的因式分解的题目，一般都要求在有理数范围内分解，所以不能出现带根号的数；（4）注意“十字相乘法”只适用于“二次三项式型”因式分解，不要乱用此法。
第13章全等三角形
命题 定义：可以判断真假的陈述句叫命题，正确的命题叫真命题，
错误的命题叫假命题；一个命题分题设和结论两部分。
公理：有些命题的正确性是人们在长期实践过程中总结出来的，
并把他作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题
叫公理。
定理：从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正
确的，并可以作为判断其他命题真假的依据，这样的命题叫定理。
互逆命题：两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的
结论，而第一个命题结论是第二个命题的题设，那么
这两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命
题，那么另一个命题就叫做逆命题。
互逆定理：如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫
做互逆定理，其中一个定理叫做另一个定理的逆定
理。
五种基本尺规作图⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧画角平分线
过已知点画垂线画垂直平分线
画角画线段 1.等腰三角形的判定: ①如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形
所对的边也相等； ②如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方
和，那么这个三角形是直角三角形。
①性质：角平分线上的点到角两边的距离相等
2.角平分线：②判定：到一个角两边距离相等的点在角平分线上
3.垂直平分线： ①性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距
离相等
②判定：到线段两个端点的距离相等的点，在这条线段
的垂直平分线上。
1.全等形： 能够完全重合的两个图形叫做全等形。
2.全等三角形：
定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
表示方法：
ABC ≌ 全等三角形的性质： 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应
角相等
3.三角形全等的判定：
No.1 边边边 (SAS) :三边对应相等的两个三角形全等。
No.2 边脚边（SAS ）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。
No.3 角边角（ASA ）：两边和他们的夹角对应相等的两个三角形全等。
No.4 角角边（AAS ）：两个角和其中的一个叫的对边对应相等的两个三
角形全等。
No.5 斜边，直角边 (HL)：斜边和直角边对应相等的两个三角形全等。
第14章 勾股定理
§14.1勾股定理
一、直角三角形三边的关系
1、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 几何语言：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90o ， ∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c
则有：a 2+b 2=c 2。
2、勾股定理的证明反映了一种常用数学思想：“面积拼图法”。
3、注意事项：（1）勾股定理必须在Rt △使用，若遇到非Rt △，则可引垂线
段“造”Rt △。（2）注意Rt △中告诉的“直角”是哪个，以便准确确定“斜边”。
（3）在运用勾股定理求边长时，要用到“开平方”运算，一定要指明“边长为
正”的条件，求的是边长的算数平方根。
二、Rt △的判定
1、直角三角形的定义：有一个角为直角的三角形叫做直角三角形。
2、有两个锐角互余的三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理：若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则∠C=90o 。
☆“勾股数”：指三个满足a 2+b 2=c 2的正整数，我们称为勾股数。
☆注意勾股定理的逆定理的应用，只要涉及三角形三边长的问题，都要判定
一下是否为Rt △。
三、反证法的步骤：先假设 是正确的，然后通过 ，
推出与基本事实，
， ，或 相矛盾，说
明 ，从而得到 。
A C
B c a b§14.2勾股定理的应用
常见问题：
1、求最短路径问题。如“蚂蚁爬树”、“到两个点的路程之和最短”等问题。
2、“通过问题”。如“过门洞”、“路线穿过公园”等问题。
3、“干扰问题”。如“台风影响”、“噪音影响”等问题。
4、阴影面积问题。
5、作图中的作2，3，5，13等问题。
§15 数据的收集与表示
生活中的数据无处不在，当大量的数据呈现在我们面前时，我们要收集、整理、分析这些数据，从而为我们的决策提供依据
频数、总次数、频率之间的关系（用公式表示）
频数== 总数×频率总次数== 频数÷频率频率== 频数
÷总数
调查和借助统计图表是收集数据的基本方法.做统计图表是处理数据、表示数据
的基本手段
1.常见的统计图有:(1) 扇形统计图 (2) 折线统计图 (3) 条形统计图
扇形统计图能清楚地表示各部分的总体中所占的百分比，条形图能准确地表示出
每个项目的具体数目，折线图能清楚地反映事物的变化趋势
2.扇形统计图及其特点:
(1)扇形统计图是利用圆和扇形来表示总数和部分的比例关系,
即用圆表示总数 .
用扇形表示部分对象所占的比例 ,扇形的大小反映
频率的大小
(2)扇形统计图能清楚的表示各部分在总体中所占频率
3扇形中心角计算方法:
(1)扇形的中心角=3600 ×频率 .
(2)若已知扇形统计图,用量角器量出每个扇形圆心角的读数.
.
(3)部分占总体的百分比=100%
总体
4.画扇形统计图的步骤
(1) ;
(2) ;
(3) ;下载本文
