一、函数的最值

1、解析几何法：

例1：求函数的值域

令，，可得，即函数的值可以看成是直线的截距的2倍，而直线必须通过。

2、三角换元：

例：若且则的最大值与最小值之和是_________.

3、整体换元：

例：；设，

3、双换元：

例：设都是不为0的实数，且，则（比较大小），利用此性质，可求得函数的值域是________________；

4、对勾换元：

例：求函数的值域

利用进行换元，令，则原函数化为，根据均值不等式可得值域。

5、对偶换元：

例：已知为非复数，求的最值；

构造对偶式，其中；

6、常值的等价代换：

例：设a + b = 2, b>0, 则当a =     时, 取得最小值. 

二、函数的性质

单调+奇偶+周期+对称+零点+反函数

例1：设是定义在R上的奇函数，且的图像关于直线对称，则

_____________；

例2、已知，对任意，则的最小值为_______________；

例3：假定函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是____________；

例4：若对于任意，函数满足，则称在上可以替代。若，则下列函数中可以在上替代的是   （    ）

  B、     C、    D、

例5：若函数与有相同的定义域，且对定义域中的任何有=0，，且的解集是，则函数

是   （     ）

A、奇函数但不是偶函数                    B、偶函数但不是奇函数

C、既是奇函数又是偶函数                  D、既不是奇函数又不是偶函数

例6：设函数，其中是的小数点后的第位数字，则。

例7：函数f(x)=-对任意实数有成立，若当时恒成立，则的取值范围是_________.

例8：函数在上恒成立，则的取值范围是.

例9：已知的展开式中的常数项为，是以为周期的偶函数，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是                ．

例10：对于任意实数，表示不小于的最小整数，如．定义在上的函数，若集合，则集合中所有元素的和为          ．

练习：

1、已知函数

（1）当时，恒有，求的取值范围；

（2）当时，恒有，求的取值范围；

（3）当时，恰有，求。

2、已知函数是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数是奇函数，又知在上是一次函数，在上是二次函数，且在时函数取得最小值，最小值为。

（1）求的值；

（2）试求，的解析式；

（3）试求在上的解析式。

3、定义在R上的函数满足：如果对任意，都有

，则称函数是R上的凹函数。已知二次函数=

；

（1）求证：当时，函数是凹函数；

（2）如果时，，试求实数的取值范围。

4、设为实数，记函数的最大值为。

（1）设，求的取值范围，并把表示为的函数；

（2）求；

（3）试求满足的所有实数。

5、已知函数是定义在R上的偶函数，当时，。

（1）求当时，的解析式；

（2）试确定函数的单调区间，并证明你的结论；

（3）若，且，证明：。

反函数专题：

1、要使函数在上存在反函数，则的取值范围为（   ）

A、   B、    C、或   D、

2、设函数的反函数为，且的图像过点，则的图像必过点_____________；

3、设，则的反函数=_______；

4、函数存在反函数，把的图像绕原点顺时针方向旋转后得到另一个函数，则个函数是（     ）

A、   B、   C、  D、

5、设是函数的反函数，若，则的值为（　　　　）

Ａ、１　　　　　　　　Ｂ、２　　　　Ｃ、３　　　　　　　Ｄ、４

6、已知函数的反函数为，先将函数的图像向左平移１个单位，向上平移２个单位，再关于原点对称后得到的反函数为（　　　）

Ａ、　　　　　　　　　Ｂ、

Ｃ、　　　　　　　　Ｄ、

7、定义在Ｒ上的函数的最小正周期为Ｔ，若函数时有反函数，则函数的反函数是（   ）

A、          B、

C、      D、

8、设，在平面直角坐标系中，函数的图像与轴交于A点，它的反函数的图像与轴交于B点，并且这两个函数的图像交于P点，已知四边形OAPB的面积是3，则等于（   ）

A、3        B、         C、         D、

9、已知函数的图像为，曲线与关于直线对称。

（1）求曲线的函数解析式；

（2）设函数的定义域为M，若，求证：；

（3）设A、B为曲线上任意不同两点，证明：直线AB与相交。

10、已知

（1）求的反函数；

（2）如果对恒成立，求实数的取值范围；

（3）设，求函数的最小值及相应的的值。

11、设

（1）试判断函数的单调性，并用函数单调性的定义，给出证明；

（2）若的反函数为，证明：对任意的自然数都有；

（3）若的反函数为，证明：方程有唯一解。

12、、已知函数．

（1）求函数的定义域和值域；

（2）设（为实数），求在时的最大值；

（3）对（2）中，若对所有的实数及恒成立，求实数的取值范围．

三、函数的图像（数形结合）

1、（2014年一模普陀14） 已知函数，若方程有且仅

有两个解，则实数的取值范围是            .

2、（2014一模闸北9）

设，已知函数至少有5个零点，则的取值范围为          

3、（2014一模宝山14）

关于函数，给出下列四个命题：

①当时，单调递减且没有最值；    ②方程一定有解；

③如果方程有解，则解的个数一定是偶数； ④是偶函数且有最小值；

则其中真命题是          

4、（2014一模闵行13），若互不相同，

且，则的取值范围是          

5、（2014一模奉贤13）已知定义在上的函数对任意的都满足，当时，若函数只有4个零点，则的取值范围是      

6、（2014一模杨浦18）定义一种新运算：，已知函数，若函数恰有两个零点，则的取值范围为（    ）.

 ．       ．     ．    ．

7、（2014一模虹口14）

函数与函数的图像所有交点的橫坐标之和为         ．

8．在平面直角坐标系中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当

∠MPN取最大值时，点P的横坐标为                ；

9、若实数a、b、c成等差数列，点P(–1, 0)在动直线l：ax+by+c=0上的射影为M，点

N(0, 3)，则线段MN长度的最小值是      ．

10、已知不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是       ． 

11、在复平面内，设点A、P所对应的复数分别为、（为虚数单位），则当由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是          .

12、函数，其中，若动直线与函数的图像有三个不同的交点，它们的横坐标分别为，则是否存在最大值？若存在，在横线处填写其最大值；若不存在，直接填写“不存在”_______________.

联想为媒----- 催化数形之结合

1、联想图形的交点

例1、（04湖南高考）设函数，若则关于的方程的解的个数为（    ）

A.   1     B.   2      C.     3      D.     4

例2、（05上海高考题）设定义域为函数，则关于的方程

有7个不同实数解的充要条件是（   ）

2、联想绝对值的几何意义

例3、（03高考）已知，设：函数在上单调递减，：不等式的解集为，如果与有且仅有一个正确，试求的范围。

3、联想一次函数

例4、已知，求证： 

4、联想二次函数

例5、已知关于的方程有四个不相等的实根，则实数的取值范围为   

5、联想反函数的性质

例6、方程的实根分别为，则=     

6、联想函数的单调性

例7、已知实数（为自然对数的底），证明： 

7、联想函数奇偶性

例8、（05天津高考）设是定义在上的奇函数，且的图象关于直线对称，则             

8、联想斜率公式

例9、实系数方程的一根在0和1之间，另一根在1和2之间，求的取值范围。

例10、计算： 

分析：本题直接用三角公式计算较繁！如能由的结构形式联想斜率公式，数形结合，以形助数，即可巧妙探求。

本式可以看成二点连线的斜率，如图，借助单位圆，则，设倾斜角为

则

9、联想两点间的距离公式

例11、设，求证： 

10、联想点到直线的距离公式

例12、（02北京高考）已知是直线上的动点，是的两条切线，是切点，是圆心，求四边形面积的最小值。

例13、方程表示的曲线是                

11、联想直线的截距

例14、已知，求的取值范围。

例15、求函数的最值。

12、联想定比分点坐标公式

例16、已知是定义在上的单调函数，实数，，，若，则（   ）（05年辽宁高考）

A.   B.   C.     D. 

数形结合的思想方法的解题应用技巧

『例1』已知满足不等式;试求的取值范围。

错解：由得：

①;②

①+②得： ；∴③

（－1）×②+①得：④

由③、④得： 

错因：等号成立的条件不同，不等式变换是不等价变换，实质上扩大了解的范围。下面用线性规划思想解决此题：

错解：约束条件：     目标函数： z＝4a－2b

正解：约束条件：   目标函数： z＝4a－2b

∴，即

从上面二图可以看出：错解扩大了可行域，导致解的范围扩大。

『例2』解方程

提示：转化为椭圆的定义；

『例3』设复数满足=π ,求的最大值。

   解：要求的最大值，即求的最小值，由复数模的几何意义知即求复数对应的点到点和点的距离和的最小值。如图

   ∵满足=π

   ∴复数对应的复平面上的点的轨迹是以为端点，倾斜角为的射线。由图可知，最小值为==,故的最大值是=。 

『例4』求二元函数的最小值

分析：可将的表达式看作是两点、之间距离的平方。

『例5』的2次方程中，均为复数且，设这个方程的两个根为和，满足，求的最大值、最小值

分析：由韦达定理，得

结合已知得

，即复数在以为圆心，7为半径的圆上

『例6』例1、有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数、理、化 小组的人数分别为28，25，15，同时参加数、理 小组的8人，同时参加数、化 小组的6人，同时参加理、化 小组的7人，问：同时参加数、理、化 小组的有多少人？

提示：利用韦恩图法解决集合之间的关系问题．

分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图1），则三圆

的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n表示集合的元素，则有：

『例7』设函数f (x)的图像与直线及轴所围成图形的面积称为函数在上的面积，已知函数y＝在[0，]上的面积为（n∈N*），

（1）在[0,]上的面积为　　   　；

（2）＋1在[，]上的面积为　　   　.

『例8』已知+=，，

求证  

分析：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程， 进而由点A（,）与点B（,）坐标特点知其在单位圆上，在平面直角坐标系中，点A（,sinα）与点B（, sinβ）是直线l:与单位圆的两个交点。

『例9』设|z|＝5，|z|＝2, |z－|＝，求的值。

【解】 如图，设z＝、z＝后，则＝、＝如图所示

      y    A

           D

      O   B        x

           C

由图可知，||＝，∠AOD＝∠BOC，由余弦定理得：

cos∠AOD＝＝

∴＝(±ｉ)＝2±ｉ

      y    A

           D

      O            x

【另解】设z＝、＝如图所示。则||＝，且cos∠AOD＝＝，sin∠AOD＝±，

所以＝(±ｉ)＝2±ｉ，即＝2±ｉ。

『例10』当时，函数的最小值为______________；

『例11』已知，证明对任意恒有。

提示：从从等式联想到几何图形：椭圆。

『例12』设，求点与点之间的距离的最小值.

 【点拨】Ａ是个动点，这个动点在坐标平面上的轨迹图形是什么呢？

  令；

  则y2-z2=-4（z≥2）.

  这个表达式太熟悉了，它的图象是双曲线的一支.  

『例13』已知函数, 若, 则 （      ）

A．   B．   C．  D． 前三个判断都不正确

分析：由函数得知的图象为圆的上半圆，如图

总结：1．转换数与形的三条途径：

① 通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解。

② 转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑，如将转化为勾股定理或平面上两点间的距离等。

③ 构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等。

2．运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：

①“由形化数” ：就是借助所给的图形，仔细观察研究，提示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性。

②“由数化形” ：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，提示出数与式的本质特征。

③“数形转换” ：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特征，观察图形的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观并提示隐含的数量关系。

四、含绝对值的函数解答题

例1：已知函数

（1）当时，求不等式的解集；

（2）设，且当时，，求的取值范围。

例2：设函数为实数）.

（1）若为偶函数，求实数的值；  （2）设，求函数的最小值.

例3：已知函数（为实常数）．

（1）若，作函数的图像；

（2）设在区间上的最小值为，求的表达式；

（3）设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围．

例4：设，函数的图像与函数的图像关于点对称．

（1）求函数的解析式；

（2）若关于的方程有两个不同的正数解，求实数的取值范围

例5：已知函数。

（1）若，求在上最小值；

（2）若时，求的取值范围；

（3）求函数在上的最小值。

例6： 已知．

（1）当时，判断的奇偶性，并说明理由；

（2）当时，若，求的值；

（3）若，且对任何不等式恒成立，求实数的取值范围．

例7：设为实数，函数. 

(1)若，求的取值范围； 

(2)求的最小值； 

(3)设函数，直接写出(不需给出演算步骤)不等式的解集.

例8：已知.

(1)当时,判断的奇偶性,并说明理由;

(2)当时,若,求的值;

(3)若,且对任何不等式恒成立,求实数的取值范围.

五、含参数的函数解答题

例1：已知函数，实数且。

（1）设，判断函数在上的单调性，并说明理由；

（2）设且f(x)的定义域和值域都是，求的最大值；

（3） 若不等式对恒成立，求的范围；

例2：设是定义在R上的函数，如果存在点A，对函数的图像上的任意P点，P关于A的对称点Q也在函数的图像上，那么称函数的图像关于A点对称，A称为函数的图像的一个对称中心。

（1）求证：点是函数的对称中心；

（2）设是定义在R上的函数，求证：是函数图像的一个对称中心的充要条件是函数；

（3）试问函数的图像是否关于某点对称？为什么？

例3：对于定义域分别是的函数，规定：

函数；

（1）若函数，求；

（2）若函数，写出函数的解析式；

（3）若，其中是常数，请设计一个定义域为R的函数及一个的值，使得，并予以证明。

例4：设函数。

（1）判断函数的单调性并给出证明；

（2）设函数的反函数为，证明方程有唯一解；

（3）解不等式。

例5：若函数对任意，都有都成立，则称为D上的“收缩”函数。

（1）判断在上是否为“收缩”函数？并说明理由；

（2）是否存在，使在上为“收缩”函数？若存在，求出的范围，若不存在，说明理由。

例6：（1）判断函数的单调性，并加以证明；

（2）已知函数，函数，求的最小值和的最大值。

六、函数新定义题

例1：已知函数，如果存在给定的实数对（），使得恒成立，则称为“S-函数”.

(1）判断函数是否是“S-函数”；

(2）若是一个“S-函数”，求出所有满足条件的有序实数对；

(3）若定义域为的函数是“S-函数”，且存在满足条件的有序实数对和，当时，的值域为，求当时函数的值域. 

例2：定义域为的函数，如果对于区间内的任意两个数、都有成立，则称此函数在区间上是“凸函数”．

（1）判断函数在上是否是“凸函数”，并证明你的结论；

（2）如果函数在上是“凸函数”，求实数的取值范围；

（3）对于区间上的“凸函数”，在上任取，，，……，．

① 证明： 当（）时，成立；② 请再选一个与①不同的且大于1的整数，

证明：也成立．

例3：定义在上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有 

成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．

已知函数．

（1）当时，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

（2）若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数的取值范围． 

例4：对于定义域为D的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是．则称是该函数的“和谐区间”．

（1）求证：函数不存在“和谐区间”．

（2）已知：函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值．

（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例）

例5、（2014一模青浦13）已知直角坐标平面上任意两点，定义为两点的“非常距离”.当平面上动点到定点的距离满足时，则的取值范围是              ；

类题1（2013一模奉贤13）在平面直角坐标系中，对于任意两点与

的“非常距离”给出如下定义：

若，则点与点的“非常距离”为，

             若，则点与点的“非常距离”为．

已知是直线上的一个动点，点的坐标是（0，1），则点与点的“非常距离”的最小值是_________． 

类题2（2012一模奉贤22）

出租车几何学是由十九世纪的赫尔曼-闵可夫斯基所创立的。在出租车几何学中，点还是形如的有序实数对，直线还是满足的所有组成的图形，角度大小的定义也和原来一样。直角坐标系内任意两点定义它们之间的一种“距离”：，请解决以下问题：

1、（理）求线段上一点的距离到原点的“距离”；

（文）求点、的“距离”；

2、（理）定义:“圆”是所有到定点“距离”为定值的点组成的图形，

求“圆周”上的所有点到点的“距离”均为的“圆”方程；

（文）求线段上一点的距离到原点的“距离”；下载本文