1、电子受到磁力后，在半径为R 的圆形轨道上，以速率v 从O 点开始作顺时针方向的匀速
率圆周运动，当它经过R 330cos R 2OP 0==圆周时，求：
（1）电子的位移； （2）电子经过的路程等于多少； （3）在这段时间内的平均速度； （4）在该点的瞬时速度 解：（1
）R 330cos R 2OP 0=== 方向与x 轴成60°
（2） R 3
4R 23
2S π=π⨯=
（3）v
3R
4v R 232t π=π⨯
=∆ π=
π=
∆=∴4v
33v
3R 4R 3t
OP v 方向与x 轴成60° （4）速度v ，方向与x 轴成-600.。
2、一人自原点出发，25 s 内向东走30 m ，又10 s 内向南走10 m ，再15 s 内向正西北走18 m ．求在这50 s 内， (1) 平均速度的大小和方向;
(2) 平均速率的大小．
答：解：(1) BC AB OA OC ++= )45sin )45cos (18)10(30j i j i ︒+︒-+-+=
j i 73.227.17+= ||OC =17.48 m ，方向φ =8.98°(东偏北)
=∆=∆∆=t t r //
0.35 m/s 方向东偏北8.98°
(2) (路程)()181030++=∆S m=58m, 16.1/=∆∆=t S v m/s
x 东
西x
3、已知质点的位矢随时间的函数形式为()
j t sin i t cos R r
ω+ω=，式中R ，ω为常量求：
（1）质点的轨迹；
（2）速度和加速度，并证明其加速度总指向一点。 解:（1）t cos R x ω= t s i n R y ω= 运动轨迹：222R y x =+
（2）j t cos R i t sin R dt r
d v ωω+ωω-== r j t s i n R i t c o s R dt
v d a 222 ω-=ωω-ωω-== 由上式可知加速度总是指向圆心。
4、路灯距地面高度为 H ，行人身高为h ，若人以匀速度v 0背离路灯行走，问人头影的移动速度为
多大？
解：设人的位移为x ，人影的位移为L 由几何关系 H
L
h x L =-得 x h
H H
L -= 0v h
H H dt dx h H H dt dL v -=-==∴
5、一质点以初速度v 0作直线运动，所受阻力与其速度的三次方成正比，即3
kv a -=，试求质点速度和位置随时间的变化规律以及速度随位置的变化规律。 解：3
dv a kv dt
=-=
3dv
kdt v =-21
2
00211)t
kv (v v +=⇒ 2
1
2
00211)t
kv (v dt dx +=)t kv (kv x 1211200-+=⇒ 3kv v dx
dv
dt dx dx dv dt dv -===x kv v v 001+=
⇒
6、某质点的运动方程为j bt i bt 2r 2
+= （b 为常数），求：
（1）轨道方程；
（2）质点的速度和加速度的矢量表示式； （3）质点的切向加速度和法向加速度的大小。
解：（1）由2
bt y bt 2x == 得轨迹方程 b
4x y 2
=
（2）[]
j bt 2i b 2j bt i bt 2dt d dt r d v 2 +=+==
[]
j b 2j bt 2i b 2dt
d dt v d a =+==
（3）()2
22
y 2x )bt 2(b 2v v v +=
+=
222t t
1bt
2)bt 2()b 2(dt d a +=
⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=
2
22
2
2t 2n t
1b 2)t
1bt 2(
)b 2(a a a +=
++=-=
7、质点沿半径为0.1m 的圆周运动，其角位移用下式表示θ=2+4t 3
式中θ为弧度(rad), t 的单位为s, 求：
（1）t=2s 时，质点所在位置的切向加速度和法向加速度的大小；
（2）当θ为何值时，其加速度和半径成450
角。 解：（1）t 24dt
d t 12dt d t 4223=ω
=α=θ=
ω+=θ 22
t 222n s m 4.230)t 12(R R a ==ω=∴=
22
t t s m 8.4Rt
24R a ==α==
（2）当a 与半径成0
45角时，a 与n a 也成450。所以t n a a =
即 Rt 24Rt 1444= rad 3
2
26142t 423
6
1t 3
=⨯
+=+=θ=
8、手球运动员以初速度v 0 与水平方向成α的角度抛出一球，当球运动到M 点处，它的速度与水平方向成θ角，若忽略空气阻力，求： （1）球在M 点处速度的大小；
（2）球在M 点处的切向加速度和法向加速度的大小 ； （3）抛物线在该点处的曲率半径。 解：（1）θ=αcos v cos v 00v cos cos v θ
α
=
⇒ （2）τ
θ-=ˆsin g a t
n
ˆcos g a n θ=
（3）ρ=2n v a θ
α
=
=ρ⇒32
20n 2cos g cos v a v
9、火车静止时，车窗上雨痕向前倾斜θ0角，火车以某一速度匀速前进时，火车车窗上雨痕向后倾斜θ 1 角。火车加快以另一速度匀速前进时，车窗上雨痕向后倾斜θ 2 角，求火车加快前后的速度之比。
解：）（雨车雨地雨地车雨车地V V V V V
-+=+=
由矢量合成图得：
1100c o s V c o s
V 0θ-θ=雨车 1000011001tg cos V sin V sin V sin V V θθ+θ=θ+θ=雨车 同理 200002tg cos V sin V V θθ+θ= 所以
2
00001
000021tg cos V sin V tg cos V sin V V V θθ+θθθ+θ=
10、一升降机以加速度1.22m/s 2
上升，当上升速度为2.44m/s 时，有一螺帽自升降机的顶板上落下，升降机顶板与升降机的底面相距2.74m ，问： （1）螺帽相对于升降机作什么运动？其加速度为多少？螺帽相对于地面作什么运动?其加速度为多少？
（2）螺帽从升降机顶板落到升降机底面需多少时间？ （3）螺帽相对于升降机外固定柱子下降多少距离？ 解：（1）螺帽相对升降机作向下的匀加速直线运动 升地地地升地升a a a a a m m m
-=+= 2m s m 02.11a g a -=--=升 螺帽对地作竖直上抛运动 g a m
=地
（2）取升降机参照系，向下正
2t )a g (21h +=
s 71.022
.18.974.22a g h 2t =+⨯=+= （3）m 74.0)71.0(8.92
1
71.044.2gt 21t v s 220-=⨯⨯-⨯=-=螺地
图
1-8
11、一男孩乘坐一铁路平板车，在平直铁路上匀加速行驶，其加速度为a ，他向车前进的斜上方抛出一球，设抛球过程对车的加速度a 的影响可忽略，如果他不必移动在车中的位置就能接住球，则抛出的方向与竖直方向的夹角θ 应为多大？
解：设抛出时刻车的速度为0v ，球相对于车的速度为/
0v
，与竖直方向成θ 角．抛射过
程中，在地面参照系中，车的位移
2
0121at t x +
=∆v ① 球的位移 ()
t x θsin /
002v v +=∆ ②
()
2
/
022
1cos gt t y -
=∆θv ③ 小孩接住球的条件 0221=∆∆=∆y x x ,
即 ()
t at /θsin 2102v = ， ()
t gt θcos 2
1/
02v =
两式相比得 tg /θ=g a ，∴ ()g a /tg
1
-=θ
拓展题：
1、如图所示，一直径为d ，高为h 的薄壁圆筒形投料池，在其左方距离为L 处喷以发射角α喷射出粉状材料，不计空气阻力，试求恰好能投入池中的喷射范围。
解：粉状材料作抛物线运动，其方程为： t cos v x α= 22
1gt t sin v y -
=α 轨迹方程 2
21⎪⎭
⎫
⎝⎛-=ααcos v x g tan x y
依题意：h y =，d L x L +≤≤
速度下限 L x ,h y == )
h tan L (g
cos L v min -=
αα2
速度上限 d L x ,h y +== max v =
大学物理练习册解答
7 2、敌机以匀速v 在空中向正北方向飞去，此时在敌机的正西方有一导弹以不变的速度2v 正对敌机追去。求导弹的运动轨迹及击中敌机所需的时间。设二者开始相距为L. 解：如图所示建立坐标，t=0时，敌机位于（L ，0）点，
导弹位于坐标原点，t 时刻，导弹位于A 点，且正对敌机
追去，AB 应为导弹轨迹的切线
()dy
y s x L dx -=- （1）
其中vt s =
根据题意 2
222()(2)4()dx dy
ds
v dt dt dt 骣
琪+==琪桫 （2）
将（1）对x 求导得 )L x (dx y
d dx ds
--=22
将（2）代人得 22
22241)L x ()dx y d ()dx dy
(-=+ 令dx dy =η，则上式可变形为 )x L (dx
d -=+212ηη
将初始条件：t=0时，x=0，0=η，积分上式 x L x
L -=21η
再利用初始条件：t=0时，x=0，0=y ，积分上式 L x L L x
L y 32
32+-+-=
当导弹追上敌机时，x=L ，L y 32
=
又 vt L y ==32 v L
t 32=⇒
