第I卷(选择题共50分)

一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分．共50分． 

1.已知全集等于

A.        B.    C.    D. 

2.i是虚数单位，则= 

A.        B.        C.        D. 

3. 将函数的图象向左平移个单位, 再向上平移1个单位,所得图象的函数解析式是

（A）   （B）  （C）    （D）

4. 用反证法证明命题：“已知为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是

（A）方程没有实根（B）方程至多有一个实根

（C）方程至多有两个实根（D）方程恰好有两个实根

5.设是空间三条直线，是两个平面，则下列命题为真命题的是

A.若        B.若

C.若    D.若

6. 设函数f(x)＝｜x+1｜+｜x-a｜的图象关于直线x＝1对称，则a的值为

(A) 3          (B)2           (C)1               (D)-1

7.一个算法的程序框图如图所示，若该程序输出的结果是，则判断框中应填入的结果是

A. B. C. D. 

8. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.有图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96，106]，样本数据分组为[96，98），[98，100), [100，102)，[102，104),[104，106],已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是

(A）90   (B）75   (C）  60     (D）45

9. 设双曲线

的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为

(A）          (B） 5      (C）          (D）

10. 设二元一次不等式组所表示的平面区域为M，使函数y＝ax(a＞0，a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是

（A）[1,3]             (B)[2,]                (C)[2,9]               (D)[,9]

第II卷（共100分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.

11. 设二项式的展开式中的系数为A，常数项为B，若B=4A，则  ▲  .

12. 设函数f(x)=ax2+c(a≠0)，若，0≤x0≤1，则x0的值为       .

13. 在中，已知，当时，的面积为      .

14. 如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是_________.

15.已知函数，现有四个命题：

①；

②；

③对于恒成立；

④不存在三个点，使得为等边三角形.

其中真命题的序号为_________.（请将所有真命题的序号都填上）

三、解答题：本大题共6小题，满分75分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分12分）

在中，内角A,B,C的对边为a,b,c.已知.

（I）求角C的值；

（II）若，且的面积为，求.

17.（本小题满分12分）

2008年中国北京奥运会吉祥物由5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮．现有8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表：

（Ⅰ）求选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率；

（Ⅱ）若完整地选取奥运会吉祥物记10分；若选出的5只中仅差一种记8分；差两种记6分；以此类推．设ξ表示所得的分数，求ξ的分布列及数学期望．

18.（本小题满分12分）

如图，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，,E，F分别是BC, PC的中点.

（Ⅰ）证明：AE⊥PD; 

（Ⅱ）若H为PD上的动点，EH与平面PAD所成最大角的正切值为，求二面角E—AF—C的余弦值.

19.（本小题满分12分）

已知数列是公差不为零的等差数列，其前n项和为.满足，且恰为等比数列的前三项.

(I)求数列，的通项公式

(II)设是数列的前n项和.是否存在，使得等式成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.

20.（本小题满分13分）

已知函数.

（I）求函数的单调区间；

（II）若函数在区间上不是单调函数，求实数t的取值范围；

（III）如果当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.

21.（本小题满分14分）

设椭圆E:（a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，

（I）求椭圆E的方程；

（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。

理科数学答案（2016.5）

11.-3    12.      13.   14.   15.   1.2.3    1-10  DBBAC  ADADC

16. 解：（Ⅰ）,

    ,...........................2分

，即，

,

又是三角形的内角，   ............................6分

（Ⅱ）,.................9分

又，......12分

17、解：（Ⅰ）选取的5只恰好组成完整“奥运吉祥物”的概率…4分

（Ⅱ）    

                                   ………8分

ξ的分布列为：

                    ………12分

18. （Ⅰ）证明：由四边形ABCD为菱形，∠ABC=60°，得△ABC为正三角形.

因为E为BC的中点，所以AE⊥BC.   又BC∥AD，因此AE⊥AD.因为PA⊥平面ABCD，AE平面ABCD，       所以PA⊥AE.而 PA平面PAD，AD平面PAD 且PA∩AD=A，所以  AE⊥平面PAD，又PD平面PAD.         所以 AE⊥PD.（Ⅱ）解：设AB=2，H为PD上任意一点，连接AH，EH.

由（Ⅰ）知   AE⊥平面PAD，则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.在Rt△EAH中，AE=，

所以  当AH最短时，∠EHA最大，即     当AH⊥PD时，∠EHA最大.

此时    tan∠EHA=因此   AH=.又AD=2，所以∠ADH=45°，所以    PA=2.

解法一：因为   PA⊥平面ABCD，PA平面PAC，        所以   平面PAC⊥平面ABCD.

过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，  过O作OS⊥AF于S，连ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，

在Rt△AOE中，EO=AE·sin30°=，AO=AE·cos30°=,又F是PC的中点，

在Rt△ASO中，SO=AO·sin45°=,又

在Rt△ESO中，cos∠ESO=  即所求二面角的余弦值为

解法二：由（Ⅰ）知AE，AD，AP两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又E、F分别为BC、PC的中点，所以E、F分别为BC、PC的中点，所以A（0，0，0），B（，-1，0），C（，1，0），

D（0，2，0），P（0，0，2），E（，0，0），F（），

所以 设平面AEF的一法向量为

则因此取

因为  BD⊥AC，BD⊥PA，PA∩AC=A，所以   BD⊥平面AFC，

故     为平面AFC的一法向量.又     =（-），

所以  cos＜m,＞=

因为   二面角E-AF-C为锐角，所以所求二面角的余弦值为

（19）解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，所以，                                         

解得， 所以 .        .  ......5分                    

（Ⅱ）,

所以，...9分

 所以,单调递减，得，而，

所以不存在，使得等式成立. ..........................12分

20.（1），解，得；解，得；

所以在上单调递增，在上单调递减．

（2）因为函数在区间上不是单调函数，所以，解得．

（3）不等式恒成立，即恒成立，

令，则

令，则， ，在上单调递增，,从而，所以在上单调递增,且，所以.

21. 解:（1）因为椭圆E: （a,b>0）过M（2，） ，N(,1)两点,

所以解得所以椭圆E的方程为

（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则△=,即,

要使,需使,即,所以,

所以又,所以,所以,即或,

因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为，，，

所求的圆为，此时圆的切线都满足或，而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足，综上，存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.下载本文