一．选择题（共12小题）.

1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≥0    B．x≤2    C．x≥﹣2    D．x≥2

2．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）

A．    B．    C．    D．

3．下面计算正确的是（　　）

A．4+＝4    B．÷＝3    C．•＝    D．＝±2

4．下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）

A．a＝1、b＝2、c＝    B．a＝1.5、b＝2、c＝3    

C．a＝6、b＝8、c＝10    D．a＝3、b＝4、c＝5

5．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（　　）

A．6    B．7    C．10    D．13

6．如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（　　）

A．110°    B．35°    C．70°    D．55°

7．下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（　　）

A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形    

B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形    

C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形    

D．对角线互相平分的四边形是平行四边形

8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）

A．AB＝AD    B．AC＝BD    C．AC⊥BD    D．∠ABO＝∠CBO

9．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形    B．锐角三角形    

C．钝角三角形    D．以上答案都不对

10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（　　）

A．    B．    C．3    D．5

11．正方形具有而矩形不一定有的性质是（　　）

A．四个角都是直角    B．对角线互相平分    

C．对角线互相垂直    D．对角线相等

12．如图，已知矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则DF的长为（　　）

A．    B．    C．    D．

二．填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13．化简二次根式的结果是　            　．

14．若一个直角三角形的其中两条边长分别为6和8，则第三边长为　               　．

15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是　                　（写出一种情况即可）．

16．如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞　   　米．

17．如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是　 　cm．

18．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　           　．

三．解答题（本大题共7小题，共66.0分）

19．计算

（1）

（2）

20．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．

21．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

22．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF．

（1）求证：△ABE≌△CDF．

（2）求证：四边形AECF是平行四边形．

23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形对角线的长．

24．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．

求证：四边形OCED是菱形．

25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．

（Ⅰ）试用含t的式子表示AE、AD、DF的长；

（Ⅱ）如图①，连接EF，求证四边形AEFD是平行四边形；

（Ⅲ）如图②，连接DE，当t为何值时，四边形EBFD是矩形？并说明理由．

参

一．选择题（本大题共12小题，共36.0分）

1．式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（　　）

A．x≥0    B．x≤2    C．x≥﹣2    D．x≥2

【分析】根据二次根式有意义的条件可得x﹣2≥0，再解即可．

解：由题意得：x﹣2≥0，

解得：x≥2，

故选：D．

2．下列二次根式是最简二次根式的是（　　）

A．    B．    C．    D．

【分析】检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．

解：A、，故A不符合题意；

B、，故B不符合题意；

C、，故C不符合题意；

D、是最简二次根式，故D符合题意．

故选：D．

3．下面计算正确的是（　　）

A．4+＝4    B．÷＝3    C．•＝    D．＝±2

【分析】利用二次根式的加减法对A进行判断；根据二次根式的除法法则对B进行判断；根据二次根式的乘法法则对C进行判断；根据二次根式的性质对D进行判断．

解：A、4与不能合并，所以A选项错误；

B、原式＝＝3，所以B选项的计算正确；

C、原式＝＝，所以C选项错误；

D、原式＝2，所以D选项错误．

故选：B．

4．下列各组数中，以a、b、c为边的三角形不是直角三角形的是（　　）

A．a＝1、b＝2、c＝    B．a＝1.5、b＝2、c＝3    

C．a＝6、b＝8、c＝10    D．a＝3、b＝4、c＝5

【分析】根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是直角三角形判定则可．如果有这种关系，这个就是直角三角形．

解：A、∵12+2＝22，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；

B、∵1.52+22≠32，∴该三角形不是直角三角形，故此选项符合题意；

C、∵62+82＝102，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意；

D、∵32+42＝52，∴该三角形是直角三角形，故此选项不符合题意．

故选：B．

5．在Rt△ABC中，两条直角边的长分别为5和12，则斜边的长为（　　）

A．6    B．7    C．10    D．13

【分析】根据勾股定理计算即可．

解：由勾股定理得，斜边长＝＝13，

故选：D．

6．如图，将▱ABCD的一边BC延长至点E，若∠A＝110°，则∠1等于（　　）

A．110°    B．35°    C．70°    D．55°

【分析】根据平行四边形的对角相等求出∠BCD的度数，再根据平角等于180°列式计算即可得解．

解：∵平行四边形ABCD的∠A＝110°，

∴∠BCD＝∠A＝110°，

∴∠1＝180°﹣∠BCD＝180°﹣110°＝70°．

故选：C．

7．下列不能判定一个四边形是平行四边形的是（　　）

A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形    

B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形    

C．一组对边平行另一组对边相等的四边形是平行四边形    

D．对角线互相平分的四边形是平行四边形

【分析】根据平行四边形的判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；⑤一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可选出答案．

解：根据平行四边形的判定定理，A、B、D均符合是平行四边形的条件，C则不能判定是平行四边形．

故选：C．

8．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）

A．AB＝AD    B．AC＝BD    C．AC⊥BD    D．∠ABO＝∠CBO

【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．

解：∵AO＝CO，BO＝DO，

∴四边形ABCD是平行四边形，

当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；

当∠ABO＝∠CBO时，

由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO，

∴∠ABO＝∠ADO，

∴AB＝AD，

∴四边形ABCD是菱形；

当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；

故选：B．

9．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（　　）

A．直角三角形    B．锐角三角形    

C．钝角三角形    D．以上答案都不对

【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．

解：∵正方形小方格边长为1，

∴BC＝＝5，

AC＝＝，

AB＝＝，

在△ABC中，

∵AB2+AC2＝5+20＝25，BC2＝25，

∴AB2+AC2＝BC2，

∴△ABC是直角三角形．

故选：A．

10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（　　）

A．    B．    C．3    D．5

【分析】先根据菱形的性质得到AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，再利用勾股定理计算出BC，然后根据直角三角形斜边上的中线性质得到OH的长．

解：∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，OB＝OD＝BD＝4，OC＝OA＝AC＝3，

在Rt△BOC中，BC＝＝＝5，

∵H为BC中点，

∴OH＝BC＝．

故选：B．

11．正方形具有而矩形不一定有的性质是（　　）

A．四个角都是直角    B．对角线互相平分    

C．对角线互相垂直    D．对角线相等

解：A、正方形和矩形的四个角都是直角，故本选项不符合题意；

B、正方形和矩形的对角线互相平分，故本选项不符合题意；

C、正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不互相垂直，故本选项符合题意．

D、正方形和矩形的对角线都相等，故本选项不符合题意；

故选：C．

12．如图，已知矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝3，点P在BC边上，将△CDP沿DP折叠，点C落在点E处，PE、DE分别交AB于点O、F，且OP＝OF，则DF的长为（　　）

A．    B．    C．    D．

解：根据折叠可知：△DCP≌△DEP，

∴DC＝DE＝4，CP＝EP．

在△OEF和△OBP中，

，

∴△OEF≌△OBP（AAS），

∴OE＝OB，EF＝BP，

∴BF＝EP＝CP，

设BF＝EP＝CP＝x，则AF＝4﹣x，BP＝3﹣x＝EF，DF＝DE﹣EF＝4﹣（3﹣x）＝x+1，

∵∠A＝90°，

∴Rt△ADF中，AF2+AD2＝DF2，

即（4﹣x）2+32＝（1+x）2，

∴x＝

∴DF＝+1＝

故选：C．

二．填空题（本大题共6小题，共18.0分）

13．化简二次根式的结果是　3　．

解：＝＝3．

故答案为：3．

14．若一个直角三角形的其中两条边长分别为6和8，则第三边长为　10或2　．

解：设第三边为x，

（1）若8是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得，62+82＝x2解得：x＝10，

（2）若8是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得，62+x2＝82，解得x＝2．

故第三边长为10或2．

故答案为：10或2．

15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，若再添加一个条件，就能推出四边形ABCD是矩形，你所添加的条件是　∠A＝90°或AD＝BC或AB∥CD　（写出一种情况即可）．

解：根据矩形的判定定理可知，已知了AD∥BC，∠D＝90°，还缺的条件是∠A＝90°或AB∥CD，或AD＝BC．

16．如图，在校园内有两棵树相距12米，一棵树高14米，另一棵树高9米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞　13　米．

解：如图所示，AB，CD为树，且AB＝14米，CD＝9米，BD为两树距离12米，

过C作CE⊥AB于E，

则CE＝BD＝12，AE＝AB﹣CD＝5，

在直角三角形AEC中，

AC＝＝＝13．

答：小鸟至少要飞13米．

故答案为：13．

17．如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是　8　cm．

【分析】利用三角形中位线定理求得FG＝DE，DE＝BC．

解：如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，

∴DE＝2FG＝4cm，

∵D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∴BC＝2DE＝8cm，

故答案为：8．

18．如图，正方形ABCD和正方形EFCG的边长分别为3和1，点F，G分别在边BC，CD上，P为AE的中点，连接PG，则PG的长为　　．

【分析】方法1、延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H，则PH是△OAE的中位线，求得PH的长和HG的长，在Rt△PGH中利用勾股定理求解．

方法2、先造成△AHP≌△EGP，进而求出DH，DG，最后用勾股定理即可得出结论．

解：方法1、延长GE交AB于点O，作PH⊥OE于点H．

则PH∥AB．

∵P是AE的中点，

∴PH是△AOE的中位线，

∴PH＝OA＝（3﹣1）＝1．

∵直角△AOE中，∠OAE＝45°，

∴△AOE是等腰直角三角形，即OA＝OE＝2，

同理△PHE中，HE＝PH＝1．

∴HG＝HE+EG＝1+1＝2．

∴在Rt△PHG中，PG＝＝＝．

故答案是：．

方法2、如图1，

延长DA，GP相交于H，

∵四边形ABCD和四边形EFCG是正方形，

∴EG∥BC∥AD，

∴∠H＝∠PGE，∠HAP＝∠GEP，

∵点P是AE的中点，

∴AP＝EP，

∴△AHP≌△EGP，

∴AH＝EG＝1，PG＝PH＝HG，

∴DH＝AD+AH＝4，DG＝CD﹣CG＝2，

根据勾股定理得，HG＝＝2，

∴PG＝，

故答案为．

三．解答题（本大题共7小题，共66.0分）

19．计算

（1）

（2）

【分析】（1）直接利用平方差公式计算得出答案；

（2）首先化简二次根式进而计算得出答案．

解：（1）原式＝

＝6﹣3

＝3；

（2）原式＝

＝

＝﹣1．

20．已知：如图，四边形ABCD中，AB⊥BC，AB＝1，BC＝2，CD＝2，AD＝3，求四边形ABCD的面积．

【分析】连接AC，先根据勾股定理求出AC的长度，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACD的形状，再利用三角形的面积公式求解即可．

解：连接AC．

∵∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，

∴AC＝＝，

在△ACD中，AC2+CD2＝5+4＝9＝AD2，

∴△ACD是直角三角形，

∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD，

＝×1×2+××2，

＝1+．

故四边形ABCD的面积为1+．

21．一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，

（1）这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？

【分析】（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度．

（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，已知梯子的底端距离墙的距离为7米，可以得出，梯子底端水平方向上滑行的距离．

解：（1）根据勾股定理：

梯子距离地面的高度为：＝24米；

（2）梯子下滑了4米，

即梯子距离地面的高度为A'B＝AB﹣AA′＝24﹣4＝20，

根据勾股定理得：25＝，

解得CC′＝8．

即梯子的底端在水平方向滑动了8米．

22．如图，在▱ABCD中，点E、F分别在边BC和AD上，且BE＝DF．

（1）求证：△ABE≌△CDF．

（2）求证：四边形AECF是平行四边形．

【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AB＝CD，∠B＝∠D，根据SAS证出△ABE≌△CDF；

（2）根据全等三角形的对应边相等即可证得．

【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB＝CD，∠B＝∠D，

在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）∵BE＝DF，

∴AF＝CE，

∵AF∥CE，

∴四边形AECF是平行四边形．

23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB＝5cm，∠BOC＝120°，求矩形对角线的长．

解：∵∠BOC＝120°，

∴∠AOB＝180°﹣120°＝60°，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，

∴OA＝OB，

∵∠AOB＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∵AB＝5cm，

∴OA＝OB＝AB＝5cm，

∴AC＝2AO＝10cm，BD＝AC＝10cm．

24．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．

求证：四边形OCED是菱形．

【解答】证明：∵DE∥AC，CE∥BD，

∴四边形OCED是平行四边形，

∵四边形ABCD是矩形，

∴OC＝OD，

∴四边形OCED是菱形．

25．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠C＝30°，AC＝12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC于点F．

（Ⅰ）试用含t的式子表示AE、AD、DF的长；

（Ⅱ）如图①，连接EF，求证四边形AEFD是平行四边形；

（Ⅲ）如图②，连接DE，当t为何值时，四边形EBFD是矩形？并说明理由．

解：（I）由题意得，AE＝t，CD＝2t，

则AD＝AC﹣CD＝12﹣2t，

∵DF⊥BC，∠C＝30°，

∴DF＝CD＝t；

（Ⅱ）∵∠ABC＝90°，DF⊥BC，

∴AB∥DF，

∵AE＝t，DF＝t，

∴AE＝DF，

∴四边形AEFD是平行四边形；

（Ⅲ）当t＝3时，四边形EBFD是矩形，

理由如下：∵∠ABC＝90°，∠C＝30°，

∴BC＝AC＝6cm，

∵BE∥DF，

∴BE＝DF时，四边形EBFD是平行四边形，即6﹣t＝t，

解得，t＝3，

∵∠ABC＝90°，

∴四边形EBFD是矩形，

∴t＝3时，四边形EBFD是矩形．下载本文