斜拉桥索力优化及其工程应用
肖汝诚 项海帆
(同济大学桥梁系,上海,200092)
摘 要 本文首先介绍斜拉桥索力优化的概念。然后通过广义影响矩阵[6],介绍一种实用的斜拉桥索力优化的影响矩阵法,这种方法既可用于确定成桥合理状态的索力,也可用于施工阶段的索力优化和成桥后的索力调整,实现程序化计算十分方便。最后给出其工程应用。
关键词 斜拉桥;索力优化;影响矩阵
分类号 U448.27
1 引 言
斜拉桥成桥恒载内力分布好坏是衡量设计优劣的重要标准之一。合理的成桥状态当属塔、梁在恒、活载作用下弯曲应力小且均匀的受力状态。但是在一般情况下,由于受到设计施工及结构自身各种条件的,要求每座斜拉桥都满足这种状态是不现实的。值得庆幸的是无论怎样的斜拉桥结构体系,总能找出一组斜拉索力,它能使结构在确定性荷载作用下,某种反映受力性能的目标达到最优。求解这组最优索力,就是斜拉桥的索力优化。
在施工过程中,由于各种误差的影响,导致斜拉桥已建结构偏离理想状态。当已建结构线形或构件内力的偏离量超过允许范围后就要设法对这些量进行纠偏。通过调整索力来纠偏是工程中常用的方法之一。由于被调索数往往比期望纠偏的参数量为少,就出现了施工过程中的索力优化问题。
国内外有许多学者对斜拉桥的索力优化问题进行了研究,可归结为三类方法:指定受力状态的索力优化;无约束的索力优化和有约束的索力优化。
指定受力状态优化法的代表是刚性支承连续梁法。这种方法将斜拉桥主梁在恒载作用下弯矩呈刚性支承连续梁状态作为优化目标。将主梁、索梁交点处设以刚性支承进行分析,计算出各支点反力。利用斜拉索力的竖向分力与刚性支点反力相等的条件确定最优索力。这种方法的优点是力学概念明确,计算简单,且成桥索力接近“稳定张拉力”,有利于减小徐变对成桥内力的影响。但是,通过施工来实施这种内力状态是困难的。因为跨中段的弯矩与一次张拉力无关(不计徐变时)。成桥后必须设法消除由中间合拢段及二期恒载引起的正弯矩效应。这就要通过反复调索来实现,对密索体系较难控制。此外,刚性支承连续梁法只顾及了梁的受力状况,而忽略了塔的受力状况,布置不当,就会在塔内引起较大的恒载弯矩。
索力无约束优化法的典型例子是弯曲能量最小法[4]。弯曲能量最小法是用结构的弯曲应
收稿日期:1996-04-12;修改稿收到日期:1997-06-08
肖汝诚:男,1962年生,博士,副教授
变能作为目标函数。文献[4]中给出的方法只适用于恒载索力优化,无法计入预应力索影响,且计算中要改变结构的计算模式,比较麻烦。
典型的索力有约束优化法为用索量最小法[3]。这种方法用斜拉桥索的用量(张拉力乘索长)作为目标函数,用关心截面内力、位移期望值范围作为约束条件。运用这种方法,必须确定合理的约束方程,否则容易引出错误结果。
实际上,斜拉桥受力性能的好坏要根据实际结构来评价,一般并不能用单一的目标函数来统一表示。因此,前述各种索力优化法都有其局限性。在斜拉桥索力优化过程中,既能计入各种因素(如徐变、收缩、预应力索等)的影响,又能同时得到几种目标函数的优化结果供设计者进行比选,是工程界所期望的。本文介绍索力优化的影响矩阵法及其工程应用。
2 索力优化的影响矩阵法
2.1 基本定义
受调向量:结构物中关心截面上m 个元素所组成的列向量。这些元素一般是截面内力、应力或位移。它们在调值过程中接受调整,以期达到某种期望状态。受调向量记为:
{D }=(d 1,d 2,…,d m )
T
(1)
施调向量:结构物中指定可实施调整以改变受调向量的l 个元素(l ≤m )所组成的列向量,记为:
{X }=(x 1,x 2,…,x l )T
(2)
施调元多为杆件内力或支座变位。
影响向量:施调向量中第j 个元素x j 发生单位变化,引起受调向量{D }的变化向量,记为:
{C j }=(c 1j ,c 2j ,…,c mj )T
(3) 影响矩阵:l 个施调向量分别发生单位变化,引起的l 个影响向量依次排列形成的矩阵,记
为:
[C ]=[C 1 C 2 … C l ]=
c 11c 12…c 1l c 21
c 22
…c 2l
……
c m 1
c m 2…
c ml (4) 在影响矩阵中,元素可能对应于内力、应力、位移等力学量中的一个,影响矩阵是这些力学
量混合组成的矩阵。
从理论上讲,只要将单位施调变量逐一加到结构上,分别求出相应的影响向量,便能形成结构的影响矩阵。但由于内力无法直接加在结构上,工程中内力影响向量一般是通过先将相应构件从结构中“断开”,并在断开处施以一对大小相等方向相反的单位力来进行计算的。显然,这样做破坏了原有的结构形式,用有限元方法计算,则每计算一个影响向量,就要形成和分解一次结构刚度阵,很不经济。为了减少形成影响矩阵的计算量,可先将内力元素的影响向量用相应位置和方向上杆件的单位强迫变形影响向量来代替,这样就不必将构件断开,而可在同一力学模型上进行影响向量的计算。如果结构满足线性叠加原理,则:
[C ]{X }={D }
(5)
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1期 肖汝诚等:斜拉桥索力优化及其工程应用
2.2 斜拉桥索力优化的影响矩阵法
为了方便,以弯曲能量为目标函数,来说明索力优化的影响矩阵法。结构的弯曲应变能可写成:
U =
∫
s M 2(s )
2EI
d s
(6)
对于离散的杆系结构可写成:
U =
∑m
i -1
L i
4E i I i
(M L
2i
+M R 2
i )(7)
式中:m 是结构单元总数,L i ,E i ,I i 分别表示i 号单元的杆件长度,材料弹性模量和截面惯矩,M L i ,M R i 分别表示单元左、右端弯矩。
将式(7)改写成:
U ={M L }T
[B ]{M L }+[M R ]T
[B ]{M R }(8)
式中{M L },{M R }分别是左、右端弯矩向量,[B ]为对角系数矩阵,其对角元素为
b ii =L i
4E i I i (i =1,2,…,m )
(9)
令调索前左、右端弯矩向量分别为{M L 0},{M R 0},施调索力向量为{T },则调索后弯矩向
量为:
{M L }={M L 0}+[CL ]{T }{M R }={M R 0}+[CR ]{T }
(10)
式中[CL ],[CR ]分别为索力对左、右端弯矩的影响矩阵。将式(10)代入式(8)得:
U =C 0+{M L 0}T [B ][CL ]{T }+{T }T [CL ]T [B ][M L 0]+{T }T [CL ]T [B ][CL ]{T }
+{M R 0}T [B ][CR ]{T }+{T }T [CR ]T [B ][M R 0]+{T }T [CR ]T [B ][CR ]{T }(11)
式中C 0是一与{T }无关的常数。
要使索力调整后结构应变能最小,令:
U / T i =0 (i =1,2,…,l )
(12)
式中l 为调整索数。
式(11)代入(12)并写成矩阵形式:
([CL ]T
[B ][CL ]+[CR ]T
[B ][CR ]){T }=-[CR ]T
[B ]{M R 0}-[CL ]T
[B ][M L 0]
(13)
至此,索力优化问题就转化为求解式(13)的l 阶线性代数方程的问题。式(13)给出了使整个结构弯曲能量最小时最优索力与弯矩影响矩阵的关系。用同样的方法进行讨论,容易得到如下结论:
1)如果取弯曲应变能与拉压应变能之和为目标函数,则只要在式(13)左、右端增加构件拉压力与索力影响矩阵的关系项,就可方便地得出相应的最优索力方程。
2)如果索力优化时只将结构中一部分关心截面上的内力应变能作为目标函数,则式(13)左、右端的影响矩阵用索力相应于这些关心截面内力的影响矩阵取代就可得出相应的最优索力方程。用相似的方法还可定义许多有实际工程意义的目标函数,并通过变换得到与式(13)相似的索力优化方程。
3)式(13)中的[B ]矩阵可以看成单元柔度对单元弯矩的加权矩阵,对于变截面的斜拉
120 计算力学学报 15卷
桥,优化结果意味着刚度大的截面可适当多分担些弯矩。如果[B ]矩阵可由用户任意调整,则可根据构件的重要性和自身特点,人为给出各构件的优化的加权量。当[B ]为单位阵时,优化目标函数就变成了弯矩平方和。显然,弯矩平方和作为目标函数,没有考虑到构件柔度对弯曲能量吸收的权,一般来说,优化结果不如用弯曲能量为目标函数的结果合理。
4)用恒、活载共同作用下的弯曲能量作为目标函数进行索力优化,只需将内力组合后的结果替代式(13)中的{M L 0}和{M R 0}便可。
5)在形成影响矩阵时,如果结构中已张拉了预应力索,则计算影响矩阵时,就包含了预应力影响项,因此,用这种方法进行索力优化能自动将预应力索影响计入优化结果。
6)在优化整体内力的同时,如果还需指定某些关心截面上的内力值,则索力优化问题变成了求条件极值问题。
令k 个断面(k (14) 式中:[C k ]为索力对应于内力指定值向量{P }的影响矩阵。令: { }={P }-{P 0}-[C k }{T } (15) 用拉格朗日乘数法,得: U T i + k j =1 2 j j T i =0{ }=0 (16) 将式(11),(15)代入(16),令{ }={ 1, 2,…, k }T 易得: ([CL ]T [B ][CL ]+[CR ]T [B ][CR ]){T }-[C k ]T { } =-[CR ]T [B ]{M R 0}-[CL ]T [B ][M L 0]{P }={P 0}+[C k ]{T } (17) 求解k +m 阶方程,便可得到相应的最优化索力向量{T }。 7)对于要求一些控制变量在某一范围内的不等式约束问题,可先将这些控制变量用施调索力向量与影响矩阵表示,再引入松驰变量,参照6)的方法,也能得到最优化索力方程。 8)对斜拉桥进行恒载索力优化时,索的垂度效应破坏了线性叠加原理,似使式(9)失效,但根据整体调索的特殊性,可先忽略索的垂度效应,在式(9)成立的前提下调索,然后对计入垂度的索张以算得的索力,就能得到最优的内力状态。更一般的非线性调索问题已在文献[5]中解决。 9)将式(14)中{M L }和{M R }看成控制截面或节点的内力(或应力)、位移组成的向量,它在某一范围内变化时,尽量使斜拉索用量少,则问题转化为如下优化问题。 取目标函数: U = ∑n i -1 T i L i (18) 式中T i 为索张拉力,L i 为索长。 约束方程: {L min }≤{M L 0}+[CL {R min }≤{M R 0}+[(19) 式中:{L min },{L max }为左截面关心参数期望范围; 121 1期 肖汝诚等:斜拉桥索力优化及其工程应用 {R min }、{R max }为右截面关心参数期望范围; 用线性规划法可以得到相应的最优化索力和结构受力状态。 前面1～5的结论对约束优化问题同样成立。 必须指出,由于影响矩阵的广义性,相邻索力的影响向量具有一定的相关性,处理不好会因影响矩阵的奇异导致求解失败。在编程中,只要用双精度高斯全主元消元法求解式(13),就能得到满意的结果。 2.3 施工阶段的索力优化 根据施工逆过程,可以确定满足成桥优化内力状态下,各施工阶段的内力状态和位形,即施工阶段的合理设计状态。 实际施工时,由于构件自重、刚度、施工精度、索力误差、温差等诸方面因素影响,可使施工阶段结构实际状态严重偏离理想状态。对索力的优化调整是施工阶段纠偏的重要手段。应该指出的是,斜拉索力在结构状态变量中是一个中间变量,其初始变量是索的无应力索长。满足成桥理想状态的索长在某一施工阶段要达到相应的理想索力,则结构位形必须也是理想的。调索纠偏只可调整由于无应力索长度引起的那部分索力误差。而由于构件自重,刚度等因素引起的位形改变和索力偏差,原则上无法通过索力调整来纠正。要真正消除这些偏差,要么对引起误差的诸因素逐个调整消除(一般是做不到的)要么承认已测到的确定性误差,并在新的参量下重新优化成桥状态和施工状态。 工程中常用的方法是适当调整索力,使关心截面上控制变量的偏差最大限度地减小。施工过程中控制变量以位移为主,成桥状态下控制变量以内力和索力为主。 设关心截面上n 个控制变量的误差向量为{ 0},通过l 根索的索力施调向量{T }作用,使误差向量变为{ },则: { }={ 0}+[C ]{T } (20) 式中:[C ]为索力对控制变量{ }的影响矩阵。 控制变量可能是由关心截面上的内力、位移、支反力等混合控制变量组成的向量。这些变量的量纲各异,如果直接选用误差向量模的平方作为目标函数,可能导致优化失败,为此,引入相应的权矩阵来体现各控制变量的量纲和其自身的重要性。设权矩阵为[B ]=Diag (b 11,b 22,…,b nn ),取目标函数为 U ={ }T [B ]{ } (21) 则问题变成了式(13)的一个特例,索力优化方程为 ([C ]T [B ][C ]){T }=-[C ]T [B ]{ 0} (22) 在实际工程中,可能要将一些控制变量的误差控制为指定值或落入某一范围,则无约束问题又变成了有约束优化问题,实现优化的方法与成桥态有约束索力优化相仿,本文不再赘述。 3 工程应用 3.1 四种优化目标的计算结果比较 图1为塔墩固结、主梁漂浮的斜拉桥计算模型。全桥共7对索,单元编号从43号开始自左向右递增。各构件的材料、几何特性见表1。梁、塔受有竖向均布荷载q =50kN /m 作用。按如下目标调索: 1.使塔根弯矩为零,并在索、梁交点处达到零位移。 122 计算力学学报 15卷 3.以弯曲能量作为目标函数进行索力优化。 4.考虑到塔在恒载作用下受弯的不利因素,对塔的弯曲能量权数增大5 倍进行优化。 图1 斜拉桥计算模型 表1 结构材料、几何特性表 弹模 (k N /m 2) 惯矩(m 4) 面积(m 2) 梁 3.3×107410塔 2.2×1072014索 2.0×108 0.005 图2 斜拉桥优化索力相应弯矩图 表2 索力优化结果表 (单位:kN ) 索单元 情况1情况2情况3情况4430.1996E +040.1850E +040.1848E +040.1804E +04440.5312E +030.5425E +030.5497E +030.5534E +03450.3732E +030.5381E +030.4494E +030.6141E +03460.5774E +030.5378E +030.5550E +030.5110E +03470.1013E +040.9428E +030.9875E +030.9251E +03480.7580E +030.4815E +030.6507E +030.4769E +03490.1073E +040.1377E +040.1188E +040.13E +04500.1073E +040.1377E +040.1188E +040.13E +04510.7578E +030.4815E +030.6507E +030.4769E +03520.1013E +040.9428E +030.9875E +030.9251E +03530.5773E +030.5378E +030.5550E +030.5110E +03540.3720E +030.5381E +030.4494E +030.6141E +03550.5341E +030.5425E +030.5497E +030.5534E +0356 0.1994E + 04 0.1850E + 04 0.1848E + 04 0.1804E + 04 计算结果表明: 123 1期 肖汝诚等:斜拉桥索力优化及其工程应用 1)指定受力状态的调索只能极端地强制个别截面上受力较好,而无法顾及整体结构的受力。本例情况1要求塔根弯矩调零,出发点是希望塔内弯曲内力小些,而事实上得到的结果却相反:塔的最大弯矩上移,更不利于设计,最大弯矩达3040kN m,是四种情况中最差的。 2)以弯矩向量模的平方为目标函数,与弯曲能量为目标函数优化的结果相比较,后者可以反映刚度对弯矩的权效应。本例塔的刚度较梁大,塔应比梁分担的弯矩为大,计算结果也说明了这一点。但本例并不说明后者结果优于前者,因为塔、梁是不同的受力构件。只有对同种受力状态的变截面构件,才能体现出后者的优越性。 3)根据构件受力特点调整权量,可以充分发挥各种受力构件的特性。同样以弯曲能量为目标函数,本例情况4通过增大塔的权量,使最大弯矩从2040kN m 降低为1210kN m 。 4)一个反映结构内力状况的目标函数的极值是由结构自身特性和荷载分布情况决定的。以弯曲应变能为例,一当结构形式与荷载确定,其极值也随之而定,这部分能量贮于不同构件中的比例可通过调索来改变,但却不能降低其极值。因此结构中一部分构件受力的优化,必然给另一部分构件带来受力的恶化。通过情况2,4的比较可以发现后者梁内弯矩明显加大。 3.2 实桥优化 湖南洞庭湖大桥为三塔四跨斜拉桥方案,其结构尺寸如图3所示,梁、索塔的结构参数见表 3。设计时要从刚性支承连续梁状态和弯曲能量最小状态中选一较优的受力状态。计算结果如下。图4a 为结构恒载一次落架时的弯矩图,图4b 为结构刚性支承连续梁状态下的恒载弯矩图,图4c 为结构弯曲能量最小状态下的恒载弯矩图。两种状态梁、塔弯矩最值列于表4。显然,弯曲能量最小的结构受力状态优于刚性支承连续梁状态,因此,该方案成桥设计状态采用弯曲能量 最小的恒载状态。 图3 湖南洞庭湖大桥比选方案 表3 结构参数(单位kN m)参 数构件 弹性模量(kN /m 2)惯 矩(m 4)面 积(m 2)加筋梁 3.3×107 4.57713.559斜拉索 2.0×1080.00.04主 塔 3.5×10791.0672 4.91 表4 两种状态恒载弯矩最值(单位kN m ) 状 态 刚性支承状态弯曲能量最小弯 矩 最 大最 小最 大最 小梁 10470.0-13940.011110.0-13290.0塔223160.0-22316.038050.0-18210.0 124 计算力学学报 15卷 (a) 恒载一次落架结构弯矩图 (b ) 刚性支承连续梁状态恒载弯矩图 (c) 弯曲能量最小状态恒载弯矩图 图4 洞庭湖大桥比选方案各态弯矩图 4 小 结 1)本文介绍的索力优化方法,将斜拉桥弯曲能量最小、弯矩最小、部分构件受力优化、不同受力构件加权优化等问题统一为同一问题,力学概念明确、实现程序化计算方便。 2)利用式(18)的目标函数进行优化,可将结构关心截面力学量在安全范围,得到用索量最小的结构状态。 3)利用斜拉桥受力状态与索力有关而与索的刚度无关的特性,对全桥索力优化时,可避开斜拉索垂度引起的非线性效应。 4)本文方法可自动计入预应力索的力学效应,使优化结果更趋真实。 5)本文方法是专为斜拉桥索力调整推导的。事实上,对这种方法稍加推广,就可用于梁式桥的预应力索力优化和支座调整,也可用于中下承式拱桥的预应力与吊杆力优化等,在实际工程中有广泛的应用价值。 6)本文给出自选目标、权量和约束的索力优化方法,可以使设计者同时获得多种目标的最优索力及其结构内力状态,方便设计者对多种方案进行比选,具有较高的工程应用价值。125 1期 肖汝诚等:斜拉桥索力优化及其工程应用 参 考文献1 M ichel.Erection of Cable-Stay ed Br dg es the Control o f the Desir ed Geometr y.Br idg e into the 21st Century : 321～3492 范立础,杜国华等.斜拉桥索力优化及非线性理想倒退分析.重庆交通学院学报,11(1):1～133 陆 楸,徐有光.斜拉桥最优化索力的探讨.中国公路学报,1990,(1):1～6 4 杜国华,姜 林.斜拉桥的合理索力及其施工张拉力.桥梁建设,19(3):18～22 5 肖汝诚.确定大跨径桥梁结构合理设计状态的理论与方法研究:[博士学位论文].上海:同济大学,1996,106 肖汝诚等.结构关心截面内力、位移混合调整计算的影响矩阵法.计算结构力学及其应用,1992,9(1):91～98 Optimization method of cable prestresses of cable -stayed bridges and its engineering applications Xiao Rucheng ,Xiang Haifan (T ongji University,Shan gh ai,200092,P.R.China) Abstract In this paper ,a concept of optimization of cable prestresses of cable -stayed bridges is firstly introduced .Secondly ,by means of g eneral influence matrix ,a practical optimization method of cable prestresses of cable-stayed bridg es is developed.The method can not only be applied to de-termine the optimum cable prestresses of the bridges,but can also be used to construction con-trol .The method used in programming is proved to be efficient and easy to realize .Finally ,eng i-neering applications of the method is presented. Key words :cable-stayed bridg e;cable prestress optimization;influence matrix 126 计算力学学报 15卷下载本文
