一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

2．（3分）2020年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：+4，0，+5，﹣3，+2，则这5天他共背诵汉语成语（）

A．38个B．36个C．34个D．30个

3．（3分）下列运算正确的是（）

A．•＝＝±

B．（ab2）3＝ab5

C．（x﹣y+）（x+y+）＝（x+y）2

D．÷＝﹣

4．（3分）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、B之间，电流能够正常通过的概率是（）

A．0.75B．0.525C．05D．025

5．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（）

A．102里B．126里C．192里D．198里

6．（3分）已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）a+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（）

A．0B．﹣1C．﹣D．﹣

7．（3分）关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（）

A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5 B．当x＝12时，y有最小值a﹣9

C．x＝2对应的函数值比最小值大7

D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点

8．（3分）命题①设△ABC的三个内角为A、B、C且α＝A+B，β＝C+A，γ＝C+B，则α、β、γ中，最多有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委

分别给出某选手的不同原始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个

9．（3分）在同一坐标系中，若正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，则k1与k2的关系，下面四种表述①k1+k2≤0；②|k1+k2|＜|k1|或|k1+k2|＜|k2|；③|k1+k2|＜|k1﹣k2|；④k1k2＜0．正确的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

10．（3分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H在AD边上，点F，G在BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点

＝8，S△D′PH＝2，则矩形ABCD的长为（）为D'，若∠FPG＝90°，S

△A′EP

A．6+10B．6+5C．3+10D．3+5

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）

11．（3分）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC 于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为．

12．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．

13．（3分）分式与的最简公分母是，方程﹣＝1的解是．

14．（3分）公司以3元/kg的成本价购进10000kg柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为（精确到0.1）；从而可大约每千克柑橘的实际售价为元时（精确到0.1），可获得12000元利润法利润．

柑橘总质量n/kg损坏柑橘质量m/kg柑橘损坏的频率（精确到

0.001）

………

25024.750.099

30030.930.103

35035.120.100

45044.540.09950050.620.101

15．（3分）“书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为，并可推断出5月30日应该是星期几．16．（3分）已知AB为⊙O的直径且长为2r，C为⊙O上异于A，B的点，若AD与过点C 的⊙O的切线互相垂直，垂足为D．①若等腰三角形AOC的顶角为120度，则CD＝r，

②若△AOC为正三角形，则CD＝r，③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，则

CD＝r，④无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上，其中正确结论的序号为．

三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）（1）计算：|1﹣|﹣×+﹣（）﹣2；

（2）已知m是小于0的常数，解关于x的不等式组：．

18．（8分）如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．

（1）求证：AF﹣BF＝EF；

（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由．

19．（7分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．

（1）直接写出∠C的度数；

（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）

20．（6分）已知自变量x与因变量y1的对应关系如表呈现的规律．

x…﹣2﹣1012…

y1…12111098…

（1）直接写出函数解析式及其图象与x轴和y轴的交点M，N的坐标；

（2）设反比列函数y1＝（k＞0）的图象与（1）求得的函数的图象交于A，B两点，O

＝30，求反比例函数解析式；已知a≠0，点（a，y2）与（a，y1）分为坐标原点且S

△AOB

别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出y2与y1的大小关系．21．（12分）为了发展学生的健康情感，学校开展多项体育活动比赛，促进学生加强体育锻炼，注重增强体质，从全校2100名学生60秒跳绳比赛成绩中，随机抽取60名同学的成绩，通过分组整理数据得到下面的样本频数分布表．

跳绳的次数频数

60≤x＜4

≤x＜6

≤x＜11

≤x＜22

≤x＜10

≤x＜4

≤x＜

（1）已知样本中最小的数是60，最大的数是198，组距是20，请你将该表左侧的每组数据补充完整；

（2）估计全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数；（3）若以各组组中值代表各组的实际数据，求出样本平均数（结果保留整数）及众数；

分别写出用样本平均数和众数估计全校学生60秒跳绳成绩得到的推断性结论．22．（7分）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本

思维方式，例如：解方程x﹣＝0，就可以利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．

已知实数x，y满足，求x2+y2的值．

23．（10分）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）

（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；

（2）求证：，且其比值k＝；

（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．

24．（12分）已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.1＜t≤1），且每小时可获得利润60（﹣3t++1）元．

（1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现t＝1时，y＝180，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；

（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）

可生产该产品多少千克；

（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．2020年内蒙古呼和浩特市中考数学试卷

参与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（3分）下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（）

A．B．

C．D．

【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；

B、是轴对称图形，故此选项不合题意；

C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

2．（3分）2020年3月抗击“新冠肺炎”居家学习期间，小华计划每天背诵6个汉语成语．将超过的个数记为正数，不足的个数记为负数，某一周连续5天的背诵记录如下：+4，0，+5，﹣3，+2，则这5天他共背诵汉语成语（）

A．38个B．36个C．34个D．30个

【解答】解：（+4+0+5﹣3+2）+5×6＝38个，

∴这5天他共背诵汉语成语38个，

故选：A．

3．（3分）下列运算正确的是（）

A．•＝＝±

B．（ab2）3＝ab5

C．（x﹣y+）（x+y+）＝（x+y）2

D．÷＝﹣

【解答】解：A、，故选项错误；

B、（ab3）＝a3b6，故选项错误；

C、

＝

＝（x+y）2，故选项正确；

D、，故选项错误；

故选：C．

4．（3分）已知电流在一定时间段内正常通过电子元件“”的概率是0.5；则在一定时间段内，由该元件组成的图示电路A、B之间，电流能够正常通过的概率是（）

A．0.75B．0.525C．05D．025

【解答】解：根据题意，电流在一定时间段内正常通过电子元件的概率是0.5，

即某一个电子元件不正常工作的概率为0.5，

则两个元件同时不正常工作的概率为0.25；

故在一定时间段内AB之间电流能够正常通过的概率为＝0.75，

故选：A．

5．（3分）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一段记载，“三百七十八里关；初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关．”其大意是；有人要去某关口，路程为378里，第一天健步行走，从第二天起，由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天才到关口，则此人第一和第六这两天共走了（）

A．102里B．126里C．192里D．198里

【解答】解：设第六天走的路程为x里，则第五天走的路程为2x里，依此往前推，第一天走的路程为32x里，依题意，得：x+2x+4x+8x+16x+32x＝378，

解得：x＝6．

32x＝192，

6+192＝198，

答：此人第一和第六这两天共走了198里，

故选：D．

6．（3分）已知二次函数y＝（a﹣2）x2﹣（a+2）a+1，当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，则关于x的一元二次方程（a﹣2）2﹣（a+2）x+1＝0的两根之积为（）

A．0B．﹣1C．﹣D．﹣

【解答】解：∵二次函数，

当x取互为相反数的任意两个实数值时，对应的函数值y总相等，

可知二次函数图象的对称轴为直线x＝0，即y轴，

则，

解得：a＝﹣2，

则关于x的一元二次方程为，

则两根之积为，

故选：D．

7．（3分）关于二次函数y＝x2﹣6x+a+27，下列说法错误的是（）

A．若将图象向上平移10个单位，再向左平移2个单位后过点（4，5），则a＝﹣5 B．当x＝12时，y有最小值a﹣9

C．x＝2对应的函数值比最小值大7

D．当a＜0时，图象与x轴有两个不同的交点

【解答】解：A、将二次函数向上平移10个单位，再向左平移2个单位后，

表达式为：，

若过点（4，5），则，解得：a＝﹣5，故选项正确；

B、∵，开口向上，

∴当x＝12时，y有最小值a﹣9，故选项正确；

当x＝2时，y＝a+16，最小值为a﹣9，a+16﹣（a﹣9）＝25，即x＝2对应的函数值比最小值大25，故选项错误；

D、△＝，当a＜0时，9﹣a＞0，

即方程有两个不同的实数根，即二次函数图象与x轴有两个不同的交点，故选项正确，

故选：C．

8．（3分）命题①设△ABC的三个内角为A、B、C且α＝A+B，β＝C+A，γ＝C+B，则α、β、γ中，最多有一个锐角；②顺次连接菱形各边中点所得的四边形是矩形；③从11个评委

分别给出某选手的不同原始评分中，去掉1个最高分、1个最低分，剩下的9个评分与11个原始评分相比，中位数和方差都不发生变化．其中错误命题的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个

【解答】解：①设α、β、γ中，有两个或三个锐角，

若有两个锐角，假设α、β为锐角，则A+B＜90°，A+C＜90°，

∴A+A+B+C＝A+180°＜180°，

∴A＜0°，不成立，

若有三个锐角，同理，不成立，

假设A＜45°，B＜45°，则α＜90°，

∴最多只有一个锐角，故命题①正确；

②如图，菱形ABCD中，点E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，

∴HG∥EF，HE∥GF，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∵AC⊥BD，

∴HE⊥HG，

∴四边形EFGH是矩形，故命题②正确；

③去掉一个最高分和一个最低分，不影响中间数字的位置，故不影响中位数，

但是当最高分过高或最低分过低，平均数有可能随之变化，同样，方差也会有所变化，故命题③错误；

综上：错误的命题个数为1，

故选：B．

9．（3分）在同一坐标系中，若正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，则k1与k2的关系，下面四种表述①k1+k2≤0；②|k1+k2|＜|k1|或|k1+k2|＜|k2|；③|k1+k2|＜|k1﹣k2|；④k1k2＜0．正确的有（）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【解答】解：∵同一坐标系中，正比例函数y＝k1x与反比例函数y＝的图象没有交点，若k1＞0，则正比例函数经过一、三象限，从而反比例函数经过二、四象限，

则k2＜0，

若k1＜0，则正比例函数经过二、四象限，从而反比例函数经过一、三象限，

则k2＞0，

综上：k1和k2异号，

①∵k1和k2的绝对值的大小未知，故k1+k2≤0不一定成立，故①错误；

②|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜|k1|或|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜|k2|，故②正确；

③|k1+k2|＝||k1|﹣|k2||＜||k1|+|k2||＝|k1﹣k2|，故③正确；

④∵k1和k2异号，则k1k2＜0，故④正确；

故正确的有3个，

故选：B．

10．（3分）如图，把某矩形纸片ABCD沿EF，GH折叠（点E、H在AD边上，点F，G在

BC边上），使点B和点C落在AD边上同一点P处，A点的对称点为A'、D点的对称点

＝8，S△D′PH＝2，则矩形ABCD的长为（）为D'，若∠FPG＝90°，S

△A′EP

A．6+10B．6+5C．3+10D．3+5

【解答】解：∵四边形ABC是矩形，

∴AB＝CD，AD＝BC，设AB＝CD＝x，

由翻折可知：PA′＝AB＝x，PD′＝CD＝x，

∵△A′EP的面积为8，△D′PH的面积为2，

又∵，∠A′PF＝∠D′PG＝90°，

∴∠A′PD′＝90°，则∠A′PE+∠D′PH＝90°，

∴∠A′PE＝∠D′HP，

∴△A′EP∽△D′PH，

∴A′P2：D′H2＝8：2，

∴A′P：D′H＝2：1，

∵A′P＝x，

∴D′H＝x，

＝D′P•D′H＝A′P•D′H，即，

∵S

△D′PH

∴x＝（负根舍弃），

∴AB＝CD＝，D′H＝DH＝，D′P＝A′P＝CD＝，A′E＝2D′P＝，∴PE＝，PH＝，

∴AD＝＝，

即矩形ABCD的长为，

故选：D．

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分，本题要求把正确结果填在答题纸规定的横线上，不需要解答过程）11．（3分）如图，△ABC中，D为BC的中点，以D为圆心，BD长为半径画一弧，交AC

于点E，若∠A＝60°，∠ABC＝100°，BC＝4，则扇形BDE的面积为．

【解答】解：∵∠A＝60°，∠B＝100°，∴∠C＝20°，

又∵D为BC的中点，

∵BD＝DC＝BC＝2，DE＝DB，

∴DE＝DC＝2，

∴∠DEC＝∠C＝20°，

∴∠BDE＝40°，

∴扇形BDE的面积＝，

故答案为：．

12．（3分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为3π+4．

【解答】解：观察该几何体的三视图发现其为半个圆柱，

半圆柱的直径为2，高为1，

故其表面积为：π×12+（π+2）×2＝3π+4，

故答案为：3π+4．

13．（3分）分式与的最简公分母是x（x﹣2），方程﹣＝1的解是x＝﹣4．

【解答】解：∵x2﹣2x＝x（x﹣2），

∴分式与的最简公分母是x（x﹣2），

方程，

去分母得：2x2﹣8＝x（x﹣2），

去括号得：2x2﹣8＝x2﹣2x，

移项合并得：x2+2x﹣8＝0，变形得：（x﹣2）（x+4）＝0，

解得：x＝2或﹣4，

∵当x＝2时，x（x﹣2）＝0，当x＝﹣4时，x（x﹣2）≠0，

∴x＝2是增根，

∴方程的解为：x＝﹣4．

14．（3分）公司以3元/kg的成本价购进10000kg柑橘，并希望出售这些柑橘能够获得12000元利润，在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，需要先进行“柑橘损坏率”统计，再大约确定每千克柑橘的售价，如表是销售部通过随机取样，得到的“柑橘损坏率”统计表的一部分，由此可估计柑橘完好的概率为0.9（精确到0.1）；从而可大约每千克柑橘的

实际售价为元时（精确到0.1），可获得12000元利润法利润．

柑橘总质量n/kg损坏柑橘质量m/kg柑橘损坏的频率（精确到

0.001）

………

25024.750.099

30030.930.103

35035.120.100

45044.540.099

50050.620.101【解答】解：从表格可以看出，柑橘损坏的频率在常数0.1左右摆动，并且随统计量的增加这种规律逐渐明显，所以柑橘的完好率应是1﹣0.1＝0.9；

设每千克柑橘的销售价为x元，则应有10000×0.9x﹣3×10000＝12000，

解得x＝，

所以去掉损坏的柑橘后，水果公司为了获得12000元利润，完好柑橘每千克的售价应为元，

故答案为：0.9，．

15．（3分）“书法艺求课”开课后，某同学买了一包纸练习软笔书法，且每逢星期几写几张，即每星期一写1张，每星期二写2张，……，每星期日写7张，若该同学从某年的5月1日开始练习，到5月30日练习完后累积写完的宣纸总数过120张，则可算得5月1日到5月28日他共用宣纸张数为112，并可推断出5月30日应该是星期几五、六、日．

【解答】解：∵5月1日～5月30日共30天，包括四个完整的星期，

∴5月1日～5月28日写的张数为：4×＝112，

若5月30日为星期一，所写张数为112+7+1＝120，

若5月30日为星期二，所写张数为112+1+2＜120，

若5月30日为星期三，所写张数为112+2+3＜120，

若5月30日为星期四，所写张数为112+3+4＜120，

若5月30日为星期五，所写张数为112+4+5＞120，

若5月30日为星期六，所写张数为112+5+6＞120，

若5月30日为星期日，所写张数为112+6+7＞120，

故5月30日可能为星期五、六、日．

故答案为：112；五、六、日．

16．（3分）已知AB为⊙O的直径且长为2r，C为⊙O上异于A，B的点，若AD与过点C 的⊙O的切线互相垂直，垂足为D．①若等腰三角形AOC的顶角为120度，则CD＝r，

②若△AOC为正三角形，则CD＝r，③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，则

CD＝r，④无论点C在何处，将△ADC沿AC折叠，点D一定落在直径AB上，其中正确结论的序号为②③④．

【解答】解：①∵∠AOC＝120°，

∴∠CAO＝∠ACO＝30°，

∵CD和圆O相切，AD⊥CD，

∴∠OCD＝90°，AD∥CO，

∴∠ACD＝60°，∠CAD＝30°，

∴CD＝AC，过点O作OE⊥AC，垂足为E，则CE＝AE＝AC＝CD，

而OE＝OC＝r，∠OCA≠∠COE，∴CE≠OE，∴CD≠r，故①错误；

②若△AOC为正三角形，

∠AOC＝∠OAC＝60°，AC＝OC＝OA＝r，

∴∠OAE＝30°，

∴OE＝AO，AE＝AO＝r，

过点A作AE⊥OC，垂足为E，

∴四边形AECD为矩形，

∴CD＝AE＝r，故②正确；

③若等腰三角形AOC的对称轴经过点D，如图，∴AD＝CD，而∠ADC＝90°，

∴∠DAC＝∠DCA＝45°，又∠OCD＝90°，

∴∠ACO＝∠CAO＝45°∴∠DAO＝90°，

∴四边形AOCD为矩形，

∴CD＝AO＝r，故③正确；

④过点C作CE⊥AO，垂足为E，

∵OC⊥CD，AD⊥CD，

∴OC∥AD，

∴∠CAD＝∠ACO，

∵OC＝OA，

∴∠AOC＝∠CAO，

∴∠CAD＝∠CAO，

∴CD＝CE，

在△ADC和△AEC中，

∠D＝∠AEC，CD＝CE，AC＝AC，

∴△ADC≌△AEC（HL），

∴AD＝AE，

∴AC垂直平分DE，则点D和点E关于AC对称，即点D一定落在直径上，故④正确．

故正确的序号为：②③④，

故答案为：②③④．

三、解答题（本大题共8小题，满分72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（10分）（1）计算：|1﹣|﹣×+﹣（）﹣2；

（2）已知m是小于0的常数，解关于x的不等式组：．

【解答】解：（1）原式＝

＝；

（2），

解不等式①得：x＞﹣2，

解不等式②得：x＞4﹣6m，

∵m是小于0的常数，

∴4﹣6m＞0＞﹣2，

∴不等式组的解集为：x＞4﹣6m．

18．（8分）如图，正方形ABCD，G是BC边上任意一点（不与B、C重合），DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．

（1）求证：AF﹣BF＝EF；

（2）四边形BFDE是否可能是平行四边形，如果可能请指出此时点G的位置，如不可能请说明理由．

【解答】解：（1）证明：∵正方形，

∴AB＝AD，∠BAF+∠DAE＝90°，

∵DE⊥AG，

∴∠DAE+∠ADE＝90°，

∴∠ADE＝∠BAF，

又∵BF∥DE，

∴∠BFA＝90°＝∠AED，

∴△ABF≌△DAE（AAS），

∴AF＝DE，AE＝BF，

∴AF﹣BF＝AF﹣AE＝EF；

（2）不可能，理由是：

如图，若要四边形是平行四边形，

已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形，

∵DE＝AF，

∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°，

而点G不与B和C重合，

∴∠BAF≠45°，矛盾，

∴四边形不能是平行四边形．

19．（7分）如图，一艘船由A港沿北偏东65°方向航行38km到B港，然后再沿北偏西42°方向航行至C港，已知C港在A港北偏东20°方向．

（1）直接写出∠C的度数；

（2）求A、C两港之间的距离．（结果用含非特殊角的三角函数及根式表示即可）

【解答】解：（1）如图，由题意得：

∠ACB＝20°+42°＝62°；

（2）由题意得，∠CAB＝65°﹣20°＝45°，∠ACB＝42°+20°＝62°，AB＝，过B作BE⊥AC于E，如图所示：

∴∠AEB＝∠CEB＝90°，

在Rt△ABE中，∵∠EAB＝45°，

∴△ABE是等腰直角三角形，

∵AB＝38，

∴AE＝BE＝AB＝，

在Rt△CBE中，∵∠ACB＝62°，tan∠ACB＝，

∴CE＝＝，

∴AC＝AE+CE＝，

∴A，C两港之间的距离为（）km．

20．（6分）已知自变量x与因变量y1的对应关系如表呈现的规律．x…﹣2﹣1012…

y1…12111098…

（1）直接写出函数解析式及其图象与x轴和y轴的交点M，N的坐标；

（2）设反比列函数y1＝（k＞0）的图象与（1）求得的函数的图象交于A，B两点，O ＝30，求反比例函数解析式；已知a≠0，点（a，y2）与（a，y1）分为坐标原点且S

△AOB

别在反比例函数与（1）求得的函数的图象上，直接写出y2与y1的大小关系．

【解答】解：（1）根据表格中数据发现：

y1和x的和为10，

∴y1＝10﹣x，

且当x＝0时，y1＝10，

令y1＝0，x＝10，

∴M（10，0），N（0，10）；

（2）设A（m，10﹣m），B（n，10﹣n），

分别过A和B作x轴的垂线，垂足为C和D，

∵点A和点B都在反比例函数图象上，

＝S△AOM﹣S△OBM

∴S

△AOB

＝×10×（10﹣m）﹣×10×（10﹣n）

＝30，

化简得：n﹣m＝6，

联立，得：x2﹣10x+k＝0，

∴m+n＝10，mn＝k，

∴n﹣m＝，

则，解得：k＝16，

∴反比例函数解析式为：，

解x2﹣10x+16＝0，得：x＝2或8，

∴A（2，8），B（8，2），∵（a，y2）在反比例函数上，（a，y1）在一次函数y＝10﹣x上，∴当a＜0或2＜a＜8时，y2＜y1；

当0＜a＜2或a＞8时，y2＞y1；

当a＝2或8时，y2＝y1．

21．（12分）为了发展学生的健康情感，学校开展多项体育活动比赛，促进学生加强体育锻炼，注重增强体质，从全校2100名学生60秒跳绳比赛成绩中，随机抽取60名同学的成绩，通过分组整理数据得到下面的样本频数分布表．

跳绳的次数频数

60≤x＜804

80≤x＜1006

100≤x＜12011

120≤x＜14022

140≤x＜16010

160≤x＜1804

180≤x＜200

（1）已知样本中最小的数是60，最大的数是198，组距是20，请你将该表左侧的每组数据补充完整；

（2）估计全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数；

（3）若以各组组中值代表各组的实际数据，求出样本平均数（结果保留整数）及众数；

分别写出用样本平均数和众数估计全校学生60秒跳绳成绩得到的推断性结论．【解答】解：（1）由题意：最小的数是60，最大的数是198，组距是20，可得分组，60﹣（4+6+11+22+10+4）＝3，

补充表格如下：

（2）∵全校有2100名学生，样本中成绩能达到最好一组成绩的人数为3，

∴2100×＝105人，

故全校学生60秒跳绳成绩能达到最好一组成绩的人数为105人；

（3）由题意可得：

70次的有4人，90次的有6人，110次的有11人，130次的有22人，150次的有10人，170次的有4人，190次的有3人，

则样本平均数＝（4×70+6×90+11×110+22×130+10×150+4×170+3×190）÷60≈127，众数为130，

从样本平均数来看：全校学生60秒跳绳平均水平约为127个；

从众数来看：全校学生60秒跳绳成绩在120到140之间的人数较多．

22．（7分）“通过等价变换，化陌生为熟悉，化未知为已知”是数学学习中解决问题的基本

思维方式，例如：解方程x﹣＝0，就可以利用该思维方式，设＝y，将原方程转化为：y2﹣y＝0这个熟悉的关于y的一元二次方程，解出y，再求x，这种方法又叫“换元法”．请你用这种思维方式和换元法解决下面的问题．

已知实数x，y满足，求x2+y2的值．

【解答】解：令xy＝a，x+y＝b，则原方程组可化为：

，整理得：，

②﹣①得：11a2＝275，

解得：a2＝25，代入②可得：b＝4，

∴方程组的解为：或，

x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝b2﹣2a，

当a＝5时，x2+y2＝6，

当a＝﹣5时，x2+y2＝26，

因此x2+y2的值为6或26．

23．（10分）某同学在学习了正多边形和圆之后，对正五边形的边及相关线段进行研究，发现多处出现者名的黄金分割比≈0.618．如图，圆内接正五边形ABCDE，圆心为O，OA与BE交于点H，AC、AD与BE分别交于点M、N．根据圆与正五边形的对称性，只对部分图形进行研究．（其它可同理得出）

（1）求证：△ABM是等腰三角形且底角等于36°，并直接说出△BAN的形状；

（2）求证：，且其比值k＝；

（3）由对称性知AO⊥BE，由（1）（2）可知也是一个黄金分割数，据此求sin18°的值．

【解答】解：（1）连接圆心O与正五边形各顶点，

在正五边形中，

∠AOE＝360°÷5＝72°，

∴∠ABE＝∠AOE＝36°，

同理∠BAC＝×72°＝36°，

∴AM＝BM，

∴△ABM是等腰三角形且底角等于36°，

∵∠BOD＝∠BOC+∠COD＝72°+72°＝144°，

∴∠BAD＝∠BOD＝72°，

∴∠BNA＝180°﹣∠BAD﹣∠ABE＝72°，

∴AB＝NB，即△ABN为等腰三角形；

（2）∵∠ABM＝∠ABE，∠AEB＝∠AOB＝36°＝∠BAM，∴△BAM∽△BEA，

∴，而AB＝BN，

∴，

设BM＝y，AB＝x，则AM＝AN＝y，AB＝AE＝BN＝x，

∵∠AMN＝∠MAB+∠MBA＝72°＝∠BAN，∠ANM＝∠ANB，∴△AMN∽△BAN，

∴，即，则y2＝x2﹣xy，

两边同时除以x2，得：，设＝t，则t2+t﹣1＝0，解得：t＝或（舍），

∴＝；

（3）∵∠MAN＝36°，根据对称性可知：∠MAH＝∠NAH＝∠MAN＝18°，

而AO⊥BE，

∴sin18°＝sin∠MAH＝

＝

＝．

24．（12分）已知某厂以t小时/千克的速度匀速生产某种产品（生产条件要求0.1＜t≤1），且每小时可获得利润60（﹣3t++1）元．

（1）某人将每小时获得的利润设为y元，发现t＝1时，y＝180，所以得出结论：每小时获得的利润，最少是180元，他是依据什么得出该结论的，用你所学数学知识帮他进行分析说明；

（2）若以生产该产品2小时获得利润1800元的速度进行生产，则1天（按8小时计算）可生产该产品多少千克；

（3）要使生产680千克该产品获得的利润最大，问：该厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．

【解答】解：（1）他是依据一次函数和反比例函数的增减性质得出结论；

令y＝60（﹣3t++1），当t＝1时，y＝180，

∵当0.1＜t≤1时，随t的增大而减小，﹣3t也随t的增大而减小，∴﹣3t+的值随t的增大而减小，

∴y＝60（﹣3t++1）随t的增大而减小，

∴当t＝1时，y取最小，

∴他的结论正确．

（2）由题意得：60（﹣3t++1）×2＝1800，

整理得：﹣3t2﹣14t+5＝0，

解得：t1＝，t2＝﹣5（舍），

即以小时/千克的速度匀速生产产品，则1天（按8小时计算）可生产该产品8÷＝24千克．

∴1天（按8小时计算）可生产该产品24千克；

（3）生产680千克该产品获得的利润为：y＝680t×60（﹣3t++1），

整理得：y＝40800（﹣3t2+t+5），

∴当t＝时，y最大，且最大值为207400元．

∴该厂应该选取小时/千克的速度生产，此时最大利润为207400元．下载本文