2018年普通高等学校招生全国统一考试
文科数学试题参
一、选择题
1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．A 8．B 9．C 10．C 11．D 12．C 二、填空题
13．y=2x–2 14．9 15．3
2
16．8π
三、解答题
17．解：
（1）设{a n}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{a n}的通项公式为a n=2n–9．
（2）由（1）得S n=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，S n取得最小值，最小值为–16．
18．解：
（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y$=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．
利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为
y$=99+17.5×9=256.5（亿元）．
（2）利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y$=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
（ii ）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．学科@网 19．解：
（1）因为AP =CP =AC =4，O 为AC 的中点，所以OP ⊥AC ，且OP =．
连结OB ．因为AB =BC AC ，所以△ABC 为等腰直角三角形，且OB ⊥AC ，OB =12AC =2．
由222OP OB PB +=知，OP ⊥OB ． 由OP ⊥OB ，OP ⊥AC 知PO ⊥平面ABC ．
（2）作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由（1）可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ． 故CH 的长为点C 到平面POM 的距离．
由题设可知OC =12AC =2，CM =23BC ，∠ACB =45°．
所以OM ，CH =sin OC MC ACB OM ⋅⋅∠．
所以点C 到平面POM ． 20．解：
（1）由题意得F （1，0），l 的方程为y =k （x –1）（k >0）． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）．
由2(1)4y k x y x
=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 2
16160k ∆=+=，故2122
24
k x x k ++=．
所以2122
44
(1)(1)k AB AF BF x x k
+=+=+++=． 由题设知22
44
8k k +=，解得k =–1（舍去）
，k =1． 因此l 的方程为y =x –1．
（2）由（1）得AB 的中点坐标为（3，2），所以AB 的垂直平分线方程为 2(3)y x -=--，即5y x =-+．
设所求圆的圆心坐标为（x 0，y 0），则
0022
0005(1)(1)16.2
y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=
+⎪⎩，
解得0032x y =⎧⎨=⎩，或00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为
22(3)(2)16x y -+-=或22(11)(6)144x y -++=． 21．解：
（1）当a =3时，f （x ）=32
13333
x x x ---，f ′（x ）=263x x --．
令f ′（x ）=0解得x
=3-x
=3+
当x ∈（–
∞，3-
3++∞）时，f ′（x ）>0； 当x
∈（3-
3+f ′（x ）<0．
故f （x ）在（–
∞，3-
3++
∞）单调递增，在（3-
3+
（2）由于2
10x x ++>，所以()0f x =等价于
3
2301
x a x x -=++．
设()g x =3
2
31
x
a x x -++，则g ′（x ）=2222(23)(1)x x x x x ++++≥0，仅当x =0时g ′（x ）=0，所以g （x ）在（–∞，+∞）单调递增．故g （x ）至多有一个零点，从而f （x ）至多有一个零点．学·科网 又f （3a –1）=2
2111626()0366a a a -+-=---<，f （3a +1）=103
>，故f （x ）有一个零点．
综上，f （x ）只有一个零点． 22．解：
（1）曲线C 的直角坐标方程为22
1416
x y +
=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．
（2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程
22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，则120t t +=． 又由①得1224(2cos sin )
13cos t t ααα
++=-+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率tan 2k α==-．
23．解：
（1）当1a =时， 24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． （2）()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．
而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞ ．下载本文
