一．填空：

1．曲线所围成的平面图形的面积为A = =b-a______

2.  ________

二．计算题：

1．求由抛物线 y2 = 2x 与直线 2x + y – 2 = 0 所围成的图形的面积。

解：（1）确定积分变量为y，解方程组

     得

即抛物线与直线的交点为（，1）和( 2 , - 2 ).故所求图形在直线y = 1和y = - 2 之间，即积分区间为［－2，1 ］。

（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［ y , y + dy ］,对应的窄条面积近似于高为［(１－y）-y2 ］,底为dy的矩形面积，从而得到面积元素

dA = [(１－y)- y2 ]dy

(3)所求图形面积 A = [（1- y）-y2 ]dy = [y - y2 – y]=   

2．求抛物线 y = - x2 + 4x - 3 及其在点（0，- 3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。

解：由y = - x2 + 4x – 3 得 。

抛物线在点（0，- 3）处的切线方程为 y = 4x – 3 ;在点（3，0）处的切线方程为 y = - 2x + 6 ; 两切线的交点坐标为 （  ，3 ）。

故 面积A = 

3．求由摆线 x = a (t – sint) , y = a( 1- cost) 的一拱（）与横轴所围成的图形的面积。

解：

4． 求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：r = 3 cos 及 r = 1 + cos

解：两曲线的交点由

故 A = 

= 

5．计算由摆线 x = a (t – sint ) , y = a ( 1- cost) 的一拱（），直线y = 0 所围成的图形分别绕X轴、Y轴旋转而成的旋转体的体积。

解： 

=

6．求由x2  + y 2 = 2和y = x2所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。

解：（1）取积分变量为x,为求积分区间，解方程组：{ ， 

得圆与抛物线的两个交点为{，{ ，所以积分区间为 [-1，1]。

（2）在区间[-1，1]上任取一小区间[x, x+dx]，与它对应的薄片体积近似于

[（2 - x2）- x4] dx ,从而得到体积元素  

dV = [（2 - x2）- x4]dx   =  （2 - x2- x4）dx.

（3）故 = （2 - x2- x4）dx = 

7．求圆盘绕Y轴旋转而成的旋转体的体积。

解  设旋转体积为V，则 

8．设有抛物线C：y = a – bx2 ( a > 0 , b > 0 )，试确定常数a , b 的值，使得C与直线y = x + 1 相切，且C 与X轴所围图形绕Y轴旋转所得旋转体的体积达到最大。

解：设切点坐标为( x , y ) ,由于抛物线与 y = x + 1相切，

故有 K = - 2bx = 1 , 得 

由  解得  ，即： 

由 

令  得 

9．设星形线方程为（ a > 0），求：

（1）由星形线所围图形的面积

（2）星形线的长度。

解：（1）由对称性得

A

（2）L = 

= 

= 

10．计算曲线 自原点到与具有铅直的切线最近点的弧长。

解：

曲线上具有铅直切线且与原点距离最近的点所对应的参数为，原点对应的参数 t = 1 。

故 

s = 

11．设S1为曲线y = x2 、直线y = t 2 （t为参数）及Y轴所围图形的面积；S2为曲线y = x2 、直线y = t 2 及x = 1所围图形的面积。问 t 为何值时，S = S1+S2取得最大值、最小值。

解：

令 

于是 

故 Smax = S(1) =  , Smin = 

三．证明题：

1.证明：曲线 y = sinx 的一个周期的弧长等于椭圆 2x2+ y2 = 2的周长。

证明：y = sinx 的一个周期的弧长

L1 = 

椭圆 2x2+ y2 = 2 即：化为参数方程为

其弧长为L2 = 

故 L1 = L2 下载本文